四边形专题讲义例题及答案

期末复习------四边形1.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用判别方法以及面积公式，并能运用这些知识进行有关的证明和计算.名称平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形定义的四边形是平行四边形的平行四边形是矩形的平行四边形是菱形的平行四边形是正方形的梯形是等腰梯形性质边角对角线对称性判定边角对角线面积*周长2.其它重点知识：〔1〕三角形的中位线定理:______________________________;〔2〕直角三角形斜边上的中线等于_________________;3.重要思想方法：全等，转化，几何变换等。4.在研究梯形的问题中，经常通过添加辅助线将其转化为三角形和特殊的平行四边形(1)平移腰 (2)作高(3)平移一条对角线 (4)延长两腰(5)假设一腰中点，作中心对称(6)底的中点平移两腰 (7)假设对角线互相垂直，平移对角线，必出Rt△(8):梯形ABCD，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD那么:①过D作DE∥AC交BC的延长线于E，可得出:△BDE是等腰直角三角形；ACDBFE②假设DF⊥BE于F，可得出ACDBFEbaABCFEMNHD※(9):梯形ABCD，AD∥BC，EF是中位线交对角线于M,N,那么baABCFEMNHD②③知识点1：平行四边形的定义、性质、判定1、如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连结DE并延长，交AB的延长线于F点，．添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是〔〕A．B． C． D．2、如图，在□ABCD中，AD＝8㎝，AB＝6㎝，DE平分∠ADC交BC边于点E，那么BE等于〔〕A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm3、如图，在□中，于且是一元二次方程的根，那么□的周长为〔〕A．B．C．D．ADCECBABCDE4、如图，在□ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DCADCECBABCDEEEBAFCD5.在□ABCD中，对角线BD、AC相交于点O，BE＝DF，过点O作线段GH交AD于点G，交BC于点H，顺次连接EH、HF、FG、GE，求证：四边形EHFG是平行四边形.6、在□ABCD中，AEBC于E，DF平分ADC交线段AE于F.〔1〕如图1，假设AE=AD，ADC=60,直接写出线段CD与AF+BE之间所满足的等量关系;〔2〕如图2,假设AE=AD，你在〔1〕中得到的结论是否仍然成立,假设成立,对你的结论加以证明,假设不成立,请说明理由；图1图2知识点2：三角形中位线；1将一张锐角三角形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形，这个新的图形可能是〔〕A．三角形B．平行四边形C．矩形D．正方形ACDBEO2、如果三角形的两边分别为ACDBEOA．4 B．4．5 C．5 D．5．53、如图，□ABCD的对角线、相交于点，点是的中点，的周长为16cm，那么的周长是________cm．4、顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是〔〕A．矩形B．直角梯形C．菱形D．正方形知识点3：矩形的性质、判定1．如图，四边形ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是．2、矩形的两条对角线相交于点，，那么矩形的对角线的长是〔〕A．2 B．4 C． D．mnnn〔2〕〔1〕3、矩形中，对角线、交于点，于假设那么．mnnn〔2〕〔1〕4、如图〔1〕，把一个长为、宽为的长方形〔〕沿虚线剪开，拼接成图〔2〕，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，那么去掉的小正方形的边长为〔〕EDBC′FCD′AA．B．EDBC′FCD′A5、如下图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．假设∠EFB＝65°，那么∠AED′等于〔〕A′GDBCA〔A〕70° 〔B〕65°〔CA′GDBCA6、如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，那么AG的长为〔〕A．1B．C．D．27、如图，矩形中，过对角线交点作交于那么的长是〔〕A．1．6 B．2．5C．3 D．8、将矩形纸片ABCD按如下图的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．那么BC的长为．9．假设将4根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形形状，并使面积为矩形面积的一半，那么这个平行四边形的一个最小内角是______度.10．如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是_____________．11．如下图，在矩形中，两条对角线相交于点．以、为邻边作第1个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第3个平行四边形……依次类推．假设矩形的面积为S，那么第n个平行四边形的面积为．ABCDEF12、如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BACABCDEF〔1〕求证：DA⊥AE；〔2〕试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论．13如图，在矩形ABCD中，BC=16厘米，DC=12厘米，动点P从点D出发，在线段DA上以每秒2厘米的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1厘米的速度向点B运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t〔秒〕.(1)设ΔBPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式〔不要求写自变量的取值范围〕；(2)如果PQ运动到某一时刻刚好经过BD中点，求此时t的值；(3)如果PQ运动到某一时刻刚好PQ=BQ，求此时t的值.BACD知识点BACD1、如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=

120°，那么对角线AC等于〔〕A．20 B．15 C．10D．52、菱形的边长和一条对角线的长均为，那么菱形的面积为〔〕A．B．C．D．3、在菱形ABCD中，，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，那么________度．4、为了得到一个锐角为60的菱形，剪口与折痕所成的角的度数应为〔〕A．15或30B．30或45C．45或60D．30或5、如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠局部是一个菱形，C1D1C1D1D2C2DCAB6.如图，边长为1的菱形中，．连结对角线，以为边作第二个菱形，使；连结，再以为边作第三个菱形，使；……，按此规律写出所作的第三个菱形的边长为______，第个菱形的边长为_____7、：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．〔1〕求证：AM=DM；〔2〕假设DF=2，求菱形ABCD的周长．8．点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N．〔1〕图16－1，当点M在AB边上时，连接BN．①求证：；②假设∠ABC=60°，AM=4，求点M到AD的距离；〔2〕如图16－2，假设∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x〔6≤x≤12〕．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．CBCBMAND〔图16-1〕CMBNAD〔图16-2〕知识点5、正方形的性质和判定1、菱形的对角线相交于点请你添加一个条件：，使得该菱形为正方形．BCEADF2、如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，假设M、N分别是AD、BC边的中点，那么A′N=;假设M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点〔，且n为整数〕，那么A′NBCEADF3、假设正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE＝3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，那么BM的长为．4、如图，正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，那么图中阴影局部的面积是cm25、如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点〔P与A、C不重合〕，点E在射线BC上，且PE=PB.〔1〕求证：①PE=PD；②PE⊥PD；ABCPDE〔2〕设AP=x,△PBE的面积为y.求出yABCPDE6.在正方形ABCD中，对角线AC、DB交于点O，E是CD边上一点，AE与对角线DB交于点M，连接CM．〔1〕如图，点F是线段CB上一点，AF与DB交于点N，连接CN．假设∠CME=30°，∠CNF=50°．求:∠EAF的度数；〔2〕假设点F’是CB延长线上一点，AF’与DB的延长线交于点N’，连接CN’．如果∠CME=，∠CN’F’=，请用含有、的代数式表示∠EAF’的度数:________．〔只需填写结论〕知识点6、梯形的性质和判定1、梯形中，，，，，，那么的长为〔〕A．2B．3 C．4 D．52、直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，那么当PA+PD取最小值时，△APD的边AP上的高为〔〕ADCBEA、B、C、D、ADCBE3、如图，梯形的两条对角线交于点，图中面积相等的三角形共有对．4、在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，∠B=30°，AD=CD=6，那么AB的长度为〔〕A．9 B．12 C．18 D．5、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3cm，AB＝4cm，∠B＝60°，那么下底BC的长为6、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，以下四个结论：①，②OA=OD，③，④S=S，其中正确的选项是A．①②B．①④C．②③④D．①②④7、如图，在等腰梯形ABCD中，，对角线于点O，，DCABEFO垂足分别为E、F，设AD=a，DCABEFOA．B．C．D．8、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC，∠B＝60º．DCAB(1)求证：ABDCAB(2)假设DC＝6，求梯形ABCD的面积．9、如图，在直角梯形纸片中，，，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．连接并展开纸片．〔1〕求证：四边形是正方形；ECBDAGF〔2〕取线段的中点，连接ECBDAGF试说明四边形是等腰梯形．知识点7、操作问题1如图：△ABC中，AC﹤AB﹤BC.在图中作出一条直线l，使得直线l分别与AB,BC边交于点M.N，并且沿直线l将△ABC剪开可拼成一个等腰梯形，请画出直线l及拼接后的等腰梯形，并简要说明你的剪拼方法2.根据题意作出图形，并答复相关问题：〔1〕请在右面网格中设计一个图案〔图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形〕，要求所设计的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，并且图案的顶点在格点上，面积等于.请将你所设计的图案用铅笔涂黑.〔2〕在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90，D是BC边上的中点，E是AB边上一动点，作出使EC+ED的值最小的点E.(不写作法，保存作图痕迹)，此时EC+ED的最小值是________3.在劳技课上，老师请同学们在一张长为9cm，宽为8cm的长方形纸板上，剪下一个腰长为5cm的等腰三角形〔要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边长上〕．请你帮助同学们画出图形并计算出剪下的等腰三角形的面积．〔求出所有可能的情况〕知识点8几何综合1．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．〔1〕请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；〔2〕如图，在中，点分别在上，设相交于点，假设，．请你写出图中一个与相等的角，并猜测图中哪个四边形是等对边四边形；〔3〕在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．2．：如图1，平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为〔6，0〕，〔0，2〕．点D是线段BC上的一个动点〔点D与点B，C不重合〕，过点D作直线＝－＋交折线O－A－B于点E．〔1〕在点D运动的过程中，假设△ODE的面积为S，求S与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；〔2〕如图2，当点E在线段OA上时，矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形O′A′B′C′，C′B′分别交CB，OA于点D，M，O′A′分别交CB，OA于点N，E．探究四边形DMEN各边之间的数量关系，并对你的结论加以证明；〔3〕问题〔2〕中的四边形DMEN中，ME的长为____________．图1解：〔1〕图1图图2〔2〕图13．探究图1问题1：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．假设DE=DF，那么的值为_____．拓展问题2：如图2，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，图2垂足分别为点E，F，连接DE，DF．图2求证：DE=DF．证明：推广问题3如图3，假设将上面问题2中的条件“CB=CA〞变为“CB≠CA〞，其他条件不变，试探究图3DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．图3解：知识点8答案1．解：〔1〕∵矩形OABC中，点A，C的坐标分别为，，∴点B的坐标为．假设直线经过点C，那么；假设直线经过点A，那么；假设直线经过点B，那么．图6=1\*GB3①当点E在线段OA上时，即时，〔如图6〕图6∵点E在直线上，当时，，∴点E的坐标为．∴．图7=2\*GB3②当点E在线段BA上时，即时，〔如图7〕图7∵点D，E在直线上，当时，；当时，，∴点D的坐标为，点E的坐标为．∴图8．图8综上可得：〔2〕DM=ME=EN=ND．证明：如图8．∵四边形OABC和四边形O′A′B′C′是矩形，∴CB∥OA，C′B′∥O′A′，即DN∥ME，DM∥NE．∴四边形DMEN是平行四边形，且∠NDE=∠DEM．∵矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形O′A′B′C′，∴∠DEM=∠DEN．∴∠NDE=∠DEN．∴ND=NE．∴四边形DMEN是菱形．∴DM=ME=EN=ND．〔3〕答：