2023年新高一数学暑假课程（人教A版2019）第二十二讲基本不等式

第二十二讲：基本不等式【教学目标】1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．【基础知识】基本不等式（1）基本不等式：如果a>0，b>0，，当且仅当a＝b时，等号成立．其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．（2）变形：，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．【题型目录】考点一：基本不等式的理解考点二：基本不等式性质考点三：基本不等式证明不等式（一）考点四：基本不等式证明不等式（二）【考点剖析】考点一：基本不等式的理解例1．设，则下列不等式成立的是（） A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以；因为，所以，即，因为，所以，即，因此，故选：D变式训练1．下列不等式恒成立的是（） A．； B．； C．； D．．【答案】D【详解】对于A：取，，则，，此时.故A错误；对于B：取，，则，，此时.故B错误；对于C：取，，则，，此时.故C错误；对于D：因为，所以.故D正确.故选：D变式训练2．设，则下列不等式中成立的是（） A． B． C． D．【答案】B【详解】，，，.故选：B.变式训练3．若且，则，，，中的最大值的是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，实数且，可得，，又由，因为，可得，所以，所以，所以最大值为.故选：C.考点二：基本不等式性质例2．若且，则下列不等式中恒成立的是（）． A． B． C． D．【答案】D【详解】当时，，A错；时，满足，但，B错；时，满足，，C错．，则，，当且仅当时等号成立．D正确．故选：D．变式训练1．已知，且，则下列结论恒成立的是． A． B． C． D．【答案】C【详解】当都是负数时，不成立，当一正一负时，不成立，当时，不成立，因此只有是正确的.变式训练2．已知、，若，则下列不等式： =1\*GB3①； ②； ③； ④．其中恒成立的不等式序号是（） A．①、③ B．①、② C．②、③ D．②、④【答案】B【详解】对于①中，因为，所以是正确的；对于②中，由，则，所以，当且仅当时，即是等号成立，所以是正确的；对于③中，当时，，所以不正确；对于④中，当时，，所以不正确，故选B.变式训练3．已知，则下列不等式中不成立的是（）． A． B． C． D．【答案】D【详解】解：A：，故A正确；B：，故B正确；C：，故C正确；D：当时，，，此时不成立，故选:D.考点三：基本不等式证明不等式（一）例3．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（） A． B． C． D．【答案】D【详解】设，可得圆的半径为，又由，在中，可得，因为，所以，当且仅当时取等号．故选：D.变式训练1．三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．对任意实数a和b，有，当且仅当时，等号成立【答案】D【详解】直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则，在正方形的面积为，四个直角三角形的面积和为，因此有，即，当且仅当时，中间没有小正方形，等号成立．故选：D．变式训练2．数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（）． A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由图知：，在中，，所以，即，故选：C变式训练3．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（） A．（a＞0，b＞0） B． C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0）【答案】C【详解】由图形可知，，，在Rt△OCF中，由勾股定理可得，CF＝，∵CF≥OF，∴，故选：C.考点四：基本不等式证明不等式（二）例4．已知，，，求证：.【答案】证明见解析【详解】∵，，，∴，当且仅当，即时，等号成立，同理：，，当且仅当，时，等号成立，以上三式相加得：，当且当且仅当时，等号成立，所以.变式训练1．已知实数均大于0，证明：.【答案】证明见解析【详解】，当且仅当时取等号，证毕.变式训练2．（1）已知，，，求证：；（2）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】（1），当且仅当时等号成立，所以.（2），当且仅当时等号成立，因为a，b，c为不全相等的正实数，所以.变式训练3．已知，，，且．求证：．【答案】证明见解析【详解】因为a，b，c都为正实数，且，所以，当且仅当时取等号，所以．【课堂小结】1．知识清单：(1)基本不等式．(2)利用基本不等式比较大小．(3)利用基本不等式证明不等式．2．方法归纳：配凑法．3．常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件导致错误．【课后作业】1、．若，则下列不等式成立的是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】由已知，利用基本不等式得出，因为，则，，所以，，∴.故选：C.2、如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是（） A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P【答案】B【详解】依题意，根据基本不等式可知，，，所以.所以，即.故选：B3、小明骑自行车从甲地前往乙地，前一半路程以速度骑行，后一半路程以速度骑行，且，其全程的平均速度为，则下列关系中不正确的是（） A． B． C． D．【答案】D【详解】根据题意，设甲地到乙地的距离为，则小明从甲地到乙地的时间为，则其平均速度为，A选项正确；，则，即，由基本不等式可得，，所以，，B选项正确，D选项错误；，，C选项正确.故选：D.4、若，，且，则下列代数式中最大的是（） A． B． C． D．【答案】B【详解】由，，且知，所以最大值为A、B中的一个.，由于，所以，所以，所以为四个代数式中最大的.故选：B5、若，则下列不等式①；②；③；④中，正确的不等式有（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【详解】因为，所以.因此，且，且②、③不正确.所以，所以①正确，由得､均为正数，所以，（由条件，所以等号不成立），所以④正确.故选：C.6、（多选）下列命题中正确的是（） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时，【答案】AC【详解】解:选项A.，，等号成立的条件是，故A正确；时，，，所以时，的最小值是2，等号成立的条件是，没有最大值,故B不正确；选项C.，，等号成立的条件是，等号取不到，即，根据“或”命题的性质可知C正确；时，，等号成立的条件是，即时，但条件，所以等号取不到，即最小值不存在，故D不正确.故选：AC.7、．若a，，则“”是“”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】因为，当且仅当时等号成立，所以，即；当时，，但，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.8、若为非零实数，则以下不等式：①；②；③；④.其中恒成立的个数是（） A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【详解】解：对于①，由重要不等式可知①正确；对于②，，故②正确；对于③，当时，不等式的左边为，右边为，可知③不正确；对于④，令可知④不正确．故恒成立的个数为个.故选：C.9、已知a＞0，b＞0，给出下列三个不等式：①；②；.其中正确的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【详解】依题意，，，，当且仅当时等号成立，①②正确，当且仅当时等号成立，③正确.正确的个数是3,选D.10、三国时期的数学家赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理进行证明时绘制了弦图，其大致图像如图所示．以下选项中，可利用该图作为几何解释的是（） A．如果，，那么； B．如果，那么； C．对任意实数a和b，有，当且仅当时等号成立； D．如果，那么．【答案】C【详解】设直角三角形的两条直角边为，斜边为，则外围的正方形的面积为，即，四个阴影面积之和为，当时，内部的小正方形缩为一个点，所以，所以对任意实数a和b，有，当且仅当时等号成立.故选：C.11、若，则下列关系正确的是（） A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，因为，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，因为，当且仅当时取等号，所以，即，，当且仅当时取等号，综上所述，，当且仅当时取等号，故选：A.12、《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（） A． B． C． D．【答案】D【详解】由图形可知，，，由勾股定理可得，在中，由可得.故选：D.13、已知，，均为正实数，求证：若，则．【答案】证明见解析【详解】证明：因为，，均为正实数，由基本不等式得，当且仅当时，即a=1取等号，同理，当且仅当时，即b=1取等号，，当且仅当时，即c=1取等号，以上三式相加，得所以，当且仅当时，取等号．14、已知正数满足，证明；【答案】（1）证明见解析；【详解】（1）由基本不等式可得，同理，，所以即，当且仅当时等号成立，故成立．15、证明下列式子（1）已知,证明：；（2）已知,证明：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【详解】(1)因为.因为,故,即.故成立.(2)由基本不等式可得,故.同理有,.相加可得,当且仅当时取等号.即得证.16、已知，，，且.证明：（1）若，，，证明：；（2）设，，，且，证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】（1）由题