材料力学课件

第一章绪论及基本概念(Ch1.Introduction)§1—1.

材料力学的任务(BasicTaskofMechanicsofMaterials)§1—2.

材料力学与生产实践的关系§1—3.可变形固体的性质及其基本假设（DeformableSolidsandtheirBasicHypotheses）§1—4.

材料力学主要研究对象（杆件）的几何特征第一章绪论及基本概念(Ch1.Introduction)§1—5.杆件变形的基本形式（BasicFormsofBar’sDeformation）§1—６.外力及其分类（ExternalForcesandtheirClassification）§1—７.内力·截面法·应力（InternalForces、MethodofSection、Stress）§1—1.

材料力学的任务(BasicTaskofMechanicsofMaterials)建筑物和机械

荷载(Loads)结构(Structure)

——建筑物中承受荷载而起骨架作用的部分构件或零件(MembersorParts)

——结构的基本组成部分

对构件正常工作的要求可以归纳为如下三点：

(1)在荷载作用下构件应不致于破坏（断裂），即应具有足够的强度；

(2)在荷载作用下构件所产生的变形应不超过工程上允许的范围，也就是要具有足够的刚度；

(3)承受荷载作用时，构件在其原有形状下的平衡应保持为稳定的平衡，也就是要满足稳定性的要求。§1—1.

材料力学的任务(BasicTaskofMechanicsofMaterials)§1—1.

材料力学的任务(BasicTaskofMechanicsofMaterials)

材力的研究对象：构件(主要是其中的杆件);

材力的研究内容：

强度、刚度、稳定性;§1—1.

材料力学的任务(BasicTaskofMechanicsofMaterials)材料力学的任务就是:

研究构件的强度、刚度和稳定性的计算原理和方法，在既安全又经济的条件下，为构件选择适宜的材料、确定合理的截面形状和尺寸。§1—1.

材料力学的任务(BasicTaskofMechanicsofMaterials)材料力学的内容包括三个部分:

１.基本理论部分 ２.实验部分 ３.应用部分§1—1.

材料力学的任务(BasicTaskofMechanicsofMaterials)材料力学的内容包括三个部分:

１.基本理论部分 研究构件在外力作用下的内部力学响应，即构件的内力、应力和变形分析。内力是构件内部对外力作用的抗力。应力是内力的分布集度，它研究构件内部任一点周围单位面积上内力的大小。显然内力、应力和变形分析是构件强度、刚度和稳定性分析的基础。§1—1.

材料力学的任务(BasicTaskofMechanicsofMaterials)材料力学的内容包括三个部分:２.实验部分实验是材料力学的重要组成部分。通过实验才能找出力与变形的关系，确定各种材料抵抗破坏和变形的能力。同时实验也是验证理论和解决理论分析难于处理的问题的重要手段。§1—1.

材料力学的任务(BasicTaskofMechanicsofMaterials)材料力学的内容包括三个部分:３.应用部分

在上述两部分内容的基础上，根据构件的失效形式和提供的工作条件，建立相对统一的、安全和经济的控制条件（即强度条件、刚度条件和稳定性条件），以此为基础，为构件选择合适的材料、截面形状和尺寸。§1—1.

材料力学的任务(BasicTaskofMechanicsofMaterials)

材料力学是一门重要的技术基础课。它既是固体力学的入门课程，又是结构设计课程的重要基础。第一章绪论及基本概念(Ch1.Introduction)

§1—2.

材料力学与生产实践的关系第一章绪论及基本概念(Ch1.Introduction)§1—3.可变形固体的性质及其基本假设（DeformableSolidsandtheirBasicHypotheses）§1—3.可变形固体的性质及其基本假设

（DeformableSolidsandtheirBasicHypotheses）1,概念:

刚体~~~~可变形固体

RigidBody~~~~DeformableSolids

在理论力学中，物体的微小变形对其平衡和运动分析影响很小，可以略去不计，把物体简化为刚体。材料力学是研究构件的强度、刚度和稳定性问题，变形却是主要影响因素，必须加以考虑。§1—3.可变形固体的性质及其基本假设

（DeformableSolidsandtheirBasicHypotheses）1,概念:

刚体~~~~可变形固体

RigidBody~~~~DeformableSolids

所以在材料力学中除特别说明以外，都把构件作为可变形固体。可变形固体的性质是复杂的，为了突出研究问题的主要影响因素，略去次要影响因素，以便建立合理的适用的分析理论，必须对可变形固体材料的性质提出简化模型（或称假设)

§1—3.可变形固体的性质及其基本假设

（DeformableSolidsandtheirBasicHypotheses）2,基本假设：a,连续（Continuous)b,均匀（Homogeneous）

c,各向同性（Isotropic）各向异性(Anisotropy)

正交各向异性(Orthotropic)；§1—3.可变形固体的性质及其基本假设

（DeformableSolidsandtheirBasicHypotheses）

连续-----是指材料在结构上是密实的、无间隙的。变形前和变形后物体均充满连续介质。因此物体内各力学量如应力、应变和位移都是坐标的连续函数。均质-----是指变形固体内部各点处的力学性质完全相同。即材料的力学性质与坐标位置无关。最基本的材料性质模型是连续均质介质模型。

§1—3.可变形固体的性质及其基本假设

（DeformableSolidsandtheirBasicHypotheses）

关于材料性质与坐标方向的关系，则有各向同性体、正交各向异性体和各向异性体之分。各向同性---就是一点处各个方向的力学性质相同，即材料性质与坐标方向无关。各向异性----就是一点处不同方向的力学性质不相同，即性能是方向的函数。

正交各向异性体----指材料具有三个相互正交的材料性能主方向，在每一主方向上材料性能相同，在不同主方向上材料性能可以不同。§1—3.可变形固体的性质及其基本假设

（DeformableSolidsandtheirBasicHypotheses）

上述材料性质模型的合理性是从宏观角度来说的。由物质结构理论知道，从微观看，材料是不连续、不均匀和各向异性的。当宏观研究部分的尺寸较微观结构尺寸大得多，且无数微观结构杂乱无章排列时，这种微观上的不连续、不均匀和各向异性对宏观影响就是次要因素了。§1—3.可变形固体的性质及其基本假设

（DeformableSolidsandtheirBasicHypotheses）

因为无数微结构性质的统计平均值是稳定的。于是把这种物体简化成连续均匀、各向同性体是合理的。（如金属陶瓷、塑料和拌合均匀的混凝土材料。有些材料的微观构造为有序排列，如轧制钢板、顺纹木材或竹材，其宏观性质是正交各向异性的。而冷扭钢丝、纤维杂乱的木材是各向异性材料的实例。§1—3.可变形固体的性质及其基本假设

（DeformableSolidsandtheirBasicHypotheses）

应该把材料模型看成是在一定条件下符合实际的。它们并不是固定不变的。随着材料科学和对材料研究、认识的深入，材料模型也是发展的。例如构件在制造加工中会存在一些缺陷，造成局部不连续，并在某些情况下对构件的强度造成严重影响，导致早期破坏。这时即使在宏观研究中也必须对局部不连续性加以考虑，而采用局部不连续的介质模型。如断裂力学就是把构件简化为含缺陷的连续体。又如近代发展的高性能复合材料可以根据构件的受力情况和工程的实际需要，设计出宏观非均质的各向异性材料或正交各向异性材料。§1—3.可变形固体的性质及其基本假设

（DeformableSolidsandtheirBasicHypotheses）

在以后的讨论中，一般把构件看成连续、匀质、各向同性体。或连续、匀质、正交各向异性体。§1—3.可变形固体的性质及其基本假设

（DeformableSolidsandtheirBasicHypotheses）d,小变形要求:

材料力学所研究的构件在载荷作用下的变形与原始尺寸相比甚小，故对构件进行受力分析时可忽略其变形。

e,线弹性要求

f,平面假设张春晓:2001年2月第1次课.§1—4.

材料力学主要研究对象（杆件）的几何特征1,构件按几何特征分类:a,杆(BarRodShaftBeam):l>>h,l>>b；b,板(Plate)和壳(Shell):a>>t,b>>t；c,块体(Block):a～b～c；d,薄壁杆(Thin-WalledBars):l>>b>>t；块体§1—4.

材料力学主要研究对象（杆件）的几何特征

杆件的长度比高和宽要大得多，如梁、柱、轴等。横截面中厚度比长和宽小得多，称为薄壁杆件。平板和壳体的厚度均远小于另两个方向的尺度。（把平分厚度的面称为中面，平板的中面是平面；壳体的中面是曲面。）块体在三个方向的尺寸属于同一数量级。平板、壳体和块体均属弹性力学研究范畴，此处不作进一步介绍。§1—4.

材料力学主要研究对象（杆件）的几何特征杆件的几何特征:

横截面(CrossSection)、

轴线(AxialLine、Axis)；杆件的分类:

直杆(StraightBar)、

曲杆(CurvedBar)、

等截面杆、变截面杆、等直杆(PrismaticBar)§1—4.

材料力学主要研究对象（杆件）的几何特征轴线

——杆件截面形心的连线横截面

——与轴线正交的截面§1—4.

材料力学主要研究对象（杆件）的几何特征杆件有两个主要几何因素：轴线和横截面轴线是杆件截面形心的连线横截面是与轴线正交的截面§1—4.

材料力学主要研究对象（杆件）的几何特征轴线为直线的杆称为直杆轴线为曲线的杆称为曲杆横截面相同的杆称为等截面杆横截面大小不等的杆称为变截面杆等截面的直杆称为等直杆§1—5.杆件变形的基本形式（BasicFormsofBar’sDeformation）1,变形、位移及其关系

（Deformation～Displacement）;２,变形的物理描述——应变

（Strain）;３,杆件变形的基本形式（BasicFormsofBar’sDeformation）;1,变形、位移及其关系（Deformation～Displacement）:

线位移(LinearDisplacement)、角位移(AngleDisplacement)

线变形(LinearDeformation)、角变形(AngleDeformation)

伸长(Stretch)缩短(Shorten)§1—5.杆件变形的基本形式（BasicFormsofBar’sDeformation）1.变形、位移及其关系（DeformationandDisplacement)

构件受力发生变形,同时产生线位移和角位移。§1—5.杆件变形的基本形式（BasicFormsofBar’sDeformation）

物体某点变形后的位置与变形前的位置的连线称为线位移。物体上某线段或某截面在变形时所旋转的角度称为角位移。角位移的单位为弧度(rad)。§1—5.杆件变形

的基本形式

位移不一定涉及变形(如刚体位移),但物体的变形总包含有位移成分(各部分间的相对位移)。如图1.9所示杆,在Ｐ力作用下,该杆变形如图中虚线所示。图中显然除固定端外,杆轴线上各点产生了线位移,各横截面产生了角位移。例如自由端A点的线位移为AA’,自由端截面的角位移为θ。1.变形、位移及其关系（Deformationand

Displacement)

物体的变形也可分为线变形和角变形线变形指物体内某线段受力后的尺寸改变；角变形指物体上两相交线段的夹角在变形前后的变化量。§1—5.杆件变形的基本形式（BasicFormsofBar’sDeformation）§1—5.杆件变形的基本形式（BasicFormsofBar’sDeformation）２,变形的物理描述——应变（Strain）:线应变e(LinearStrain)、角应变g(AngleStrain)§1—5.杆件变形的

基本形式

例如图(ａ)中AＢ线段,受力前长度为Δx，受力后为A’B’，长度增加了Δu，Δu就是AＢ线段的线变形。显然,Δu的大小与AＢ线段原长Δx有关，而Δu与Δx的比值称为AＢ线段平均线应变。在一般情况下，物体各点处线应变不同，若令Δx趋于零，则极限值:称为Ａ点处沿ＡB方向的线应变。§1—5.杆件变形的

基本形式线应变和角应变统称应变。应变是有方向性的,即对于同一点，沿不同方向应变不相同。过一点各方向应变的集合称为一点的应变状态。

在图(ｂ)中，受力前实线OA和OB的夹角为α。受力后变成虚线O’A’和O’B’，夹角为α+Δα。Δα称为角变形。

若OA和OB变形前夹角为直角,且OA、OB逐渐缩短而趋于O点时,则受力后该直角的改变量称为O点在AOB平面上的角应变或剪应变,以g表示。§1—5.杆件变形的基本形式

（BasicFormsofBar’sDeformation）

研究一点的应力状态和应变状态，就是研究围绕这一点取出的单元体各方向面上的应力和单元体的各方向上的应变。

杆件可以看成是由图(ａ)实线单元体(一般为微小正六面体）组成。当单元体边长减小而趋近于零时，就表示物体的一个点。

图(ａ)中虚线为仅发生ｘ方向线变形,图(ｂ)中虚线表示只发生一种角应变的情况，g表示Ａ点在xy平面内的剪应变。§1—5.杆件变形的基本形式

（BasicFormsofBar’sDeformation）

在这个模型下,构件的受力分析和运用静力平衡条件时可略去变形的影响，按不变形构件（刚体）进行分析和计算;在变形分析中，涉及微小变形的高阶微量项均可略去不计，从而使分析和计算大为简化，且不影响结果的可靠性。

最后应着重指出:在变形分析中广泛采用小变形模型(或假设)，即假定构件受力后产生的变形与构件原始尺寸相比较极其微小。§1—5.杆件变形的基本形式

（BasicFormsofBar’sDeformation）

例如图1.9所示构件自由端挠度v和截面转角q都是小变形,在用平衡条件求该构件支反力时就可不考虑其变形,用理论力学公式计算。§1—5.杆件变形的基本形式

（BasicFormsofBar’sDeformation）

在工程中也会遇到一些柔性构件，在外力作用下产生较大的变形，这时应按有限变形模型计算。

这里的小变形或大变形是一个相对概念，在应用中除与变形大小有关外，还与计算精度要求有关。绝大多数工程构件按小变形模型计算能满足精度要求。§1—5.杆件变形的基本形式（BasicFormsofBar’sDeformation）３,杆件变形的基本形式:a,拉伸或压缩(TensionandCompression),b,剪切(Shear),c,扭转(Torsion),d,弯曲(Bending)。§1—5.杆件变形的基本形式（BasicFormsofBar’sDeformation）３,杆件变形的基本形式:a,拉伸或压缩(TensionandCompression):

在杆的两端作用一对等值、反向、作用线与杆轴线重合的外力，则杆产生伸长变形或缩短变形，这种变形形式称为拉伸

或压缩。吊索、桁架杆件和千斤顶螺杆等受力时发生这种变形。b,剪切(Shear):

垂直杆轴作用一对等值、反向、作用线相距很近的外力，则杆在两外力之间的横截面沿外力方向发生相对错动，这种变形形式称为剪切。§1—5.杆件变形的基本形式（BasicFormsofBar’sDeformation）

键、销钉、铆钉和螺栓等连接件受力时主要发生剪切变形。c,扭转(Torsion):

在垂直于杆轴的两端平面内，作用一对等值、反向的力偶，则杆的横截面发生绕杆轴的相对转动，这种变形形式称为扭转。§1—5.杆件变形的基本形式（BasicFormsofBar’sDeformation）

汽车方向盘的转向轴、钻杆、机器传动轴等受力时主要发生扭转变形。§1—5.杆件变形的基本形式（BasicFormsofBar’sDeformation）d,弯曲(Bending):

在包含杆轴的纵向平面内，在杆轴两端作用一对等值反向的力偶，则杆的横截面发生绕垂直于杆轴的中性轴转动，变形后的杆轴线在纵向平面内成为曲线，这种变形形式称为弯曲。

梁式桥的横梁和纵梁、屋顶梁、桥式起重机的大梁、火车轮轴等受力时主要发生弯曲变形。§1—5.杆件变形的基本形式（BasicFormsofBar’sDeformation）

另有一些杆件同时发生几种基本变形，称为组合变形(CompositeDeformation)问题。

实际工程结构的杆件，当其只发生一种基本变形，或以一种基本变形为主，其它属于次要变形，可以略去不计时，称此类问题为简单变形问题。

例如图１.６(ａ)所示水塔,自重产生压缩变形,风力Ｑ作用产生弯曲变形。

图１.６(ｂ)所示立柱,受偏心压力作用,产生压缩和弯曲变形的组合变形。

皮带传动轴(图1.6(c))，其皮带张力既产生扭转变形,又在水平和垂直方向产生弯曲变形。

水轮机主轴(图1.6(ｄ))，发生自重产生的拉伸变形和水的冲力产生的扭转变形的组合变形。§1—６.外力及其分类（ExternalForcesandtheirClassification）1,概念:外力ExternalForces～内力InternalForces载荷Loads(ActiveForce)～约束反力Restraint(PassiveForce、RestrictedReactingForce)张春晓:2001年2月第2次课.§1—６.外力及其分类（ExternalForcesandtheirClassification）2,分类:a.按作用性质分:静载(StaticLoads)～动载(DynamicLoads)b.按作用时间长短分:恒载(DeadLoads)～活载(LiveLoads)c.按作用部位分:体积力(BodyLoads)～表面力(SurfaceLoads)

表面力再按作用范围分:

分布力(DistributiveLoads)～集中力(ConcentratedLoads)

分布力又可进一步分为线载荷和面载荷§1—７.内力·截面法·应力（InternalForces、MethodofSection、Stress）1,内力(InternalForces):

实质:附加内力特点:截面上的分布力工程内力:截面上的分布力之合力特性:内力具有有限性(P≤Pmax)§1—７.内力·截面法·应力（InternalForces、MethodofSection、Stress）2,截面法(MethodofSection):

一截、二代、三平衡杆件标准内力简化方式:

向横截面形心简化；杆件常见标准内力:

轴力N(AxialForce)、

剪力Q(ShearForce)、

扭矩T(TorsionalMoment，Torque)、

弯矩M(BendingMoment)§1—７.内力·截面法·应力（InternalForces、MethodofSection、Stress）3,应力(Stress):平均应力AverageStress(M)点的应力StressofPointM总应力TotalStressp正应力(法向应力)NormalStress(s＝p·cosa)剪应力(切应力)ShearingStress(t＝p·sina)

应力的量纲(Dimensions):[F]/[L]2

应力的常用单位:1Pa＝1N/m2,1MPa=106Pa,1GPa=109Pa§1—７I.内力（InternalForces）

这种由外力引起的内部作用力的改变，称为附加内力。简称内力。显然内力在截面上是分布力，通常把这种分布力的合力定义为内力，以反映杆件对外力的抗力。

杆件受外力作用发生变形,其内部质点间产生相对位移，同时改变质点间相互作用力。§1—７I.内力（InternalForces）

一般内力作用在截面的形心，可为一个力矢量或一个力偶矢量或二者并在。内力更常以选定的坐标系的力分量和力矩分量表示。内力用截面法确定。如图(a)受力杆件，Ｆ截面的内力如图(b)所示。图上R为主矢，M为主矩。§1—７II.截面法（MethodofSection）

截面法:

一截、二代、三平衡；

杆件标准内力的简化方式:向横截面形心简化

杆件常见标准内力:

轴力

N(AxialForce)、剪力

Q(ShearForce)、扭矩

T(TorsionalMoment，Torque)、弯矩

M(BendingMoment)

应力是内力的分布集度，即点处单位面积上内力的大小。§1—７III.应力（Stress）

为了表示截面上不同点处受力的

差别，必须引入应力的概念。§1—７III.应力（Stress）

pm=DP/DA

例如图1.7(a)所示杆件Ｆ截面任意点Ｋ处应力，围绕Ｋ点取微小面积DA(见图1.7©)，DＡ上作用的微内力为DＰ，于是DＡ上平均应力:§1—７III.应力（Stress）

由于内力在截面上一般并不均匀分布，pm将随DＡ大小而变化，不能真实反映Ｋ点内力的分布集度。pm=DP/DAｐ称为总应力或全应力。

Ｋ点的真实应力应该是DＡ逐渐减小而趋于Ｋ点时,DＰ与DA比值的极限值,即:平均应力:§1—７III.应力(Stress)σ称为正应力或法向应力:τ称为剪应力或切应力:s＝p·cosat＝p·sinaa

更常用的表示方法是把p分解为两个分量:

垂直于截面的分量σ和在截面内的分量τ。如图1.7(d)。§1—７.内力·截面法·应力（InternalForces、MethodofSection、Stress）

对于杆件的强度来说，应力比内力有更深入的描述。例如图１.８所示杆件，在拉力Ｐ作用下，各横截面内力是相同的。当随着拉力P增大，显然杆件在最小截面

m—m处最先破坏。因为该截面上的应力首先达到材料破坏的极限值，因此杆件的强度是用应力来度量的。§1—７.内力·截面法·应力（InternalForces、MethodofSection、Stress）

Ｋ点的总应力p与截面方向有关。过Ｋ点在另外方向取一截面，类似式(1.1）可定义另外一个不同的总应力矢量。过Ｋ点可以有无限多个不同方向的截面，相应可得无限多个不同的总应力矢量。因此，仅有一个方向截面的应力矢量，不能全面描述一点的应力特性。而过一点各方向截面上应力矢量的集合称为该点的应力状态。本章小结内容要求:１.材料力学研究对象、任务和内容．２.材料力学研究的材料模型是均匀连续体，有各向同性、正交各向异性和各向异性之分。材力主要讨论各向同性和部分正交各向异性材料。变形上有小变形模型和有限变形模型。材力主要讨论小变形模型。３.杆件的几何特征和基本变形形式。４.内力、应力、应变和位移的概念。重点:强度、刚度、稳定性、内力、应力、变形和位移的概念。本章小结思考题1.1下列结论中哪些是正确的？

(1)若物体产生位移，则必定同时产生变形.(2)若物体各点均无位移，则该物体必定无变形.(3)若物体产生变形，则物体内总有一些点会产生位移.1.3本章提出了哪些模型(假设)？为什么要有这些模型？怎样判断这些模型的合理性？1.4指出以下概念的区别：内力和应力；变形和位移；均匀性与各向同性．1.5杆件的基本变形有拉伸（压缩）、剪切、扭转和弯曲四种，而应变只有线应变和角应变两种，对吗？为什么？本章小结1.2在理论力学中，广泛应用力的可移性原理和力偶在平面内可转移性原理。结合思考题1.2图说明在材料力学中可否应用？什么情况下不能应用？什么情况下可以应用？材料力学第二章轴向拉伸和压缩(Ch2.AxialTensionandCompression)§2-1轴向拉伸和压缩的概念

TheBasicConceptofAxialTensionandCompression

Introduction:(AxialTensionBar...AxialCompressionBar)受力特点:是杆在两端各受一集中力Ｐ作用，两个Ｐ力大小相等，指向相反，且作用线与杆轴线重合。如果两个Ｐ力是一对离开端截面的力，则将使杆发生纵向伸长，这样的力称为轴向拉力;如果是一对指向端截面的力，则将使杆发生纵向缩短，称为轴向压力。

变形特点：主要变形是纵向伸长或缩短

Elongation(伸长)；Contraction(缩短)轴向拉伸和压缩杆件的受力特性是:在杆的每一个截面上,仅存在轴向内力一个分量。若为直杆,外力的合力必须沿杆轴线作用。相应的变形特点为:轴向伸长(拉)或缩短(压),并伴随横向收缩或膨胀。即纵伸横缩，纵缩横伸。§2-1轴向拉伸和压缩的概念

TheBasicConceptofAxialTensionandCompression

§2-2内力internalforce·截面法methodofsection

·轴力axialforce及

轴力图axialforcesfigureⅠ.内力internalforce:

内力是指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成。Ⅱ.截面法·轴力:由于内力是物体内相邻部分之间的相互作用力,为了显示内力,可应用截面法。设一等直杆在两端轴向拉力Ｐ的作用下处于平衡,欲求杆件Ⅰ、Ⅱ两部分之间横截面ｍ－ｍ上的内力(图2－3ａ)。为此,假想一平面沿横截面ｍ－ｍ将杆件截分为Ｉ、Ⅱ两部分,任取一部分(如部分Ｉ),弃去另一部分(如部分Ⅱ)。并将弃去部分对留下部分的作用以截开面上的内力来代替(图2－3ｂ)。对于留下部分Ｉ来说,截开面ｍ－ｍ上内力Ｎ就成为外力。由于整个杆件处于平衡状态,故其留下部分Ｉ也应保持平衡。于是,考虑留下部分Ｉ的平衡,即可计算杆件核截面ｍ－ｍ上的内力Ｎ。由平衡方程:ΣＸ=０,即:Ｎ-Ｐ==０得Ｎ==Ｐ（ａ）式中,Ｎ为杆件任一横截面ｍ－ｍ上的内力。由共线力系的平衡条件可知,内力Ｎ也与杆的轴线重合,即垂直于横截面并通过其形心。这种内力称为轴力,并规定用记号Ｎ表示。§2-2内力internalforce·截面法methodofsection

·轴力axialforce及

轴力图axialforcesfigure

若取部分Ⅱ为留下部分,则由作用与反作用原理可知,部分Ⅱ在截开面上的轴力与前述部分Ｉ上的轴力数值相等而指向相反(图2－3b、c)。当然,同样也可以从部分Ⅱ上的外力,通过平衡方程来确定轴力Ｎ。对于压杆,也可通过上述过程求得其任一横截面ｍ－ｍ上的轴力Ｎ,其指向如图２－４所示。§2-2内力internalforce·截面法methodofsection

·轴力axialforce及

轴力图axialforcesfigure§2-2内力internalforce·截面法methodofsection

·轴力axialforce及

轴力图axialforcesfigure为了使由部分Ｉ和部分Ⅱ所得同一截面ｍ－ｍ上的轴力具有相同的正负号,联系到变形的情况,规定:

拉杆的变形是纵向伸长，其轴力为正，称为拉力。由图2－3b、c可见拉力是背离截面的。

压杆的变形是纵向缩短，其轴力为负，称为压力。由图2－4b、c可见，压力是指向截面的。上述分析轴力的方法称为截面法。它是求内力的一般方法,也是材料力学中的基本方法之一。截面法包括以下三个步骤：（１）截开：在需要求内力的截面处,假想地将杆截分为两部分；（２）代替：将两部分中的任一部分留下,并把弃去部分对留下部分的作用代之以作用在截开面上的内力(力或力偶)；（３）平衡：对留下的部分建立平衡方程,根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力。应该注意:截开面上的内力对留下部分而言已属外力了。§2-2内力internalforce·截面法methodofsection

·轴力axialforce及

轴力图axialforcesfigure必须指出，静力学中的力(或力偶)的可移性原理,在用截面法求内力的过程中是有限制的。一般地说,在采用截面法之前不要使用力的可移性原理，以免引起错误。而在采用截面法之后，研究留下部分的外力平衡，则纯粹属于静力学的范畴，可随意使用力的可移性原理。同理,将杆上的荷载用一个静力等效的相当力系来代替,在求内力的过程中也有所限制,这将在第四章的例题４－４中加以讨论。§2-2内力internalforce·截面法methodofsection

·轴力axialforce及

轴力图axialforcesfigure例如,图2-5a所示拉杆在自由端Ａ承受集中力Ｐ,由截面法可得:杆任一横截面ｍ－ｍ或n－n上的轴力Ｎ均等于Ｐ(图2-5b、c)。若将集中力Ｐ由自由端Ａ沿其作用线移至杆的Ｂ点处(图2－5d),则其ＡＢ段内任一横截面ｍ－ｍ上的轴力都将等于零(图2－5e),而ＢＣ段内任一横截面n－n上的轴力仍等于Ｐ(图2－5f),保持不变。这是因为集中力Ｐ由自由端A移至Ｂ点后,改变了杆件ＡＢ段的变形,而并不改变ＢＣ段的变形。§2-2内力internalforce·截面法methodofsection

·轴力axialforce及

轴力图axialforcesfigure例２-１.求图2.3(a)所示直杆1－1,２－２，３－３截面上的内力。解本题各外力均沿杆轴线方向作用，称为轴向受力杆。解题时，可先求出左端的约束反力，然后再用截面法求各截面内力。亦可不求约束反力，而分别取各截面以右为研究对象。可得左端的约束反力Ｒ＝５０ｋＮ，沿杆轴线方向向左作用。以整杆为研究对象，由,1.计算1－1截面内力取1一1截面以左为研究对象，如图2.3(b)所示。由平衡条件得:Ｎ1—Ｒ=０,Ｎ1＝Ｒ＝50kN

结果为正，说明Ｎ1的方向如图上所设方向，即为拉力。2．计算２－２截面的内力取２－２截面以左为研究对象，如图2.3（c）所示。由平衡条件，得:例２-１(续)这种在轴向荷载作用下的杆件，横截面上的另外五个内力分量都为零，即:Qy=Qz=My=Mz=T=0，可不必一一示出，也不列出另外五个内力方程。Ｎ2＋40—Ｒ＝0Ｎ2＝Ｒ—40＝10kN结果为正，表明Ｎ2为拉力。结果为负，说明Ｎ3的方向与所设方向相反，即Ｎ3为压力。在求内力时，当把截面上的内力均设为正内力时，则计算结果的符号与内力正负号规定一致。这种方法称为

设正法。下面各例均用设正法。例２-１(续)３.计算3-3截面的内力取３－３截面以有为研究对象，如图２.３(d)所示。由平衡条件得：

—Ｎ3—20＝0Ｎ3=—20kN§2-2内力·截面法·轴力及轴力图

Ⅲ．轴力图(AxialForcesFigure)当杆受到多个轴向外力作用时，在杆的不同部分中横截面上的轴力将各不相同。对等直拉杆或压杆作强度计算时，都要以杆的最大轴力为依据，为此就必须知道杆的各个横截面上的轴力，以确定其最大轴力。为了表明横截面上的轴力随横截面位置而变化的情况，可按选定的比例尺，用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，从而绘出表示轴力与截面位置关系的图线，称为轴力图，从该图上即可确定最大轴力的数值及其所在横截面的位置。习惯上将正值的轴力画在上侧，负值的画在下侧。§2-2内力·截面法·轴力及轴力图例题２－1一等直杆及其受力情况如图ａ所示。试作杆的轴力图。解：为了下面运算的方便，首先求出支反力Ｒ(图b)。由整个杆的平衡方程(ΣX=0):有:－Ｒ－Ｐ1＋Ｐ2－Ｐ3＋Ｐ4＝0得:R=10kN在求ＡＢ段内任一横截面上的轴力时，应用截面法研究截开后左段杆的平衡。假定轴力Ｎ1为拉力(图c)，由平衡方程求得ＡＢ段内任一横截面上的轴力为:N1=R=10kN结果为正值，故与原先假定的N1方向一致(即为拉力)。§2-2内力·截面法·轴力及轴力图

例题２－1(续1)同理。可求得BC段内任一横截面上的轴力(图ｄ)为:NⅡ=R+P1=50kN在求ＣＤ段内的轴力时，将杆截开后宜研究其右段的平衡，因为右段杆比左段杆上包含的外力较少，并假定轴力NⅢ为拉力(图c)。由ΣX=0，即:

-NⅢ-P3＋P4=0(设正法)得:NⅢ=-P3+P4=-5kN结果为负值，说明原先假定的NⅢ的指向不对，应为压力。同理，可得DE段内任一横截面上的轴力ＮⅣ为:ＮⅣ=Ｐ4=20ｋＮ(拉力）例题２－1(续2)按前述作轴力图的规则，作出杆的轴力图如图f所示。Ｎmax发生在BC段内的任一横截面上，其值为５0kN。§2-2内力·截面法·轴力及轴力图

§２－３横截面(crosssection)及

斜截面(obliquesection)上的应力(stress)Ⅰ．应力的概念:平均应力总应力正应力s

为p的法向分量;剪应力t为p的切向分量。应力具有如下特征：（ｌ）应力是在受力物体的某一截面上某一点处定义的，因此，讨论应力必须明确是在哪一个截面上的哪一点处。（２）在某一截面上一点处的应力是矢量。通常规定离开截面的正应力为正，指向截面的正应力为负，即拉应力为正，压应力为负;而对截面内部(靠近截面)的一点产生顺钟向力矩的剪应力为正，反之为负。（３）应力的量纲为ＭＬ-1Ｔ-2。应力的单位为帕，其符号为Pa①。（４）整个截面上各点处的应力与微面积dA之乘积的合成，即为该截面上的内力。§２－３横截面及斜截面上的应力

Ⅱ．拉（压）杆横截面上的应力拉（压）杆横截面上的内力为轴力，其方向垂直于横截面，且通过横截面的形心，而截面上各点处应力与微面积dA之乘积的合成即为该截面上的内力。显然，截面上各点处的剪应力不可能合成为一个垂直于截面的轴力。因而，与轴力相应的只可能是垂直于截面的正应力。但是，由于还不知道正应力在截面上的变化规律，所以无法求出它。为此，可考察杆件在受力后表面上的变形情况，并由表及里地作出杆件内部变形情况的几何假设，再根据力与变形间的物理关系，得到应力在截面上的变化规律，然后再通过应力与dA之乘积的合成即为内力这一静力学关系，得到以内力表示的应力计算公式。§２－３横截面及斜截面上的应力

Ⅱ．拉（压）杆横截面上的应力平面假设:假设原为平面的横截面在杆变形后仍为平面。对拉杆来说，平面假设的特点是杆变形后两横截面沿杆轴线作相对平移，所以，其间的所有纵向线段的伸长都相同，也就是说，拉杆在其任意两个横截面之间的伸长变形是均匀的。由于假设材料是均匀的，而杆的分布内力集度又与杆的变形程度有关，因而，从上述均匀变形的推理可知，拉杆在横截面上的分布内力也是均匀分布的。于是，横截面上各点处的正应力s都相等。然后，按静力学求合力的概念，得:即得拉杆横截面上正应力s

的计算公式:式中，Ｎ为轴力，Ａ为杆的横截面面积。§２－３横截面及斜截面上的应力

的适用条件Ⅱ．拉（压）杆横截面上的应力１．端部施加荷载方式的影响图3.5示出了三种静力等效的不同加载方式。图3.5(a)表示整个端面均匀加载，它满足横截面上应力均布的条件,上式对全杆各横截面均适用。而后两种(图3.5(b)和(c))加载方式则不然,它们在离加载点较远处正应力才在横截面上均匀分布，在加载点附近应力分布很复杂。这就是圣维南原理．该原理指出：

静力等效的力作用杆端方式不同，只会使杆端距离不大于杆横向尺寸的范围的应力分布受到影响。因此，对图3.5(b),(c)的加载情形，在杆端阴影线范围内公式不适用，其余部分仍适用。§２－３横截面及斜截面上的应力

的适用条件Ⅱ．拉（压）杆横截面上的应力２．应力集中的影响实际构件，由于工作需要，常常具有孔洞、台肩、沟槽和螺纹等构造，导致杆件在接近孔槽边缘的局部区域内截面尺寸发生急剧变化并产生应力集中。例如，有孔板条(图3.6(a))受到轴向拉伸时，1－1截面的应力分布是不均匀的，在孔壁附近各点的应力大于该截面的平均应力(图3.6(b))。

具有应力集中的截面的最大应力smax与该处横截面上平均应力sm的比值，称为理论应力集中系数a，即

式中sm表示削弱了的横截面上的平均应力。a＞1，其值通过理论计算或实验确定，可由有关手册中查出。研究表明，截面尺寸改变越急剧，即变化梯度越大，a值越大。因此，工程构件应尽可能避免带尖角的槽或切口，尽量做到平缓变化，以减小应力集中的影响。应力集中具有局部性，在离开孔稍远处，例如２－２截面(图3.6(c))，应力便均匀分布了。§２－３横截面及斜截面上的应力

的适用条件Ⅱ．拉（压）杆横截面上的应力３．带锥度杆的拉伸或压缩

图3.7(a)带锥度拉杆，设截面为等厚变宽的矩形，锥角为2a。取出图示阴影线所示单元体，如图3.7(b)。斜边为自由边，设其面积为dA。根据单元体的平衡条件：t’dAcosa＝sxdAsina

sydAcosa＝tdAsina引入剪应力互等定理t＝t’，求得(3.6)由式(3.6)可见,横截面上存在剪应力,平面假设不再成立，式不再适用。对小锥度杆,可略去横截面上剪应力的影响，仍可用式(3.1)计算横截面上的正应力。但横截面面积随x而改变:(当2a＝10o时，求得t＝0.87sｘ，sy=0.0076sｘ）§２－３横截面及斜截面上的应力

Ⅱ．拉（压）杆斜截面上的应力§２－３横截面及斜截面上的应力

Ⅱ．拉（压）杆斜截面上的应力结论:（１）在a=0O的截面(横截面)上，正应力最大，剪应力为零。（２）在a=90O的截面(纵截面)上，正应力和剪应力均为零。（３）在a=±45O的斜截面上,剪应力取极值。（４）拉(压)杆互为垂直的两个面上剪应力大小相等，转向相反。§２－３横截面及斜截面上

的应力§２－３横截面及斜截面上的应力作业:2-2(d),2-4,2-5,2-7材料力学第二章轴向拉伸和压缩(Ch2.AxialTensionandCompression)§２－４拉(压)杆的变形(DeformationofAxialForcedBar)·胡克定律(Hooke’sLaw)变形Deformation:

Dl=l1-l横向Lateral变形:

Dd=d1-d线应变LinearStrain:1,轴向应变AxialStrain:ε=Dl/l=const2,横向应变LateralStrain:

e’=Dd/d显然:

e

·e’<0受力变形关系:

Dl=Nl/EA(or:σ=Ee;σ≤σp)其中:

E----弹性模量ElasticModulus;EA---杆的轴向刚度AxialRigidityofBarσp---比例极限ProportionalLimit纵横向应变关系:e’=-me

(σ≤σp)其中:

m

---横向变形系数(or:

泊松比Poisson’sRatio)

§２－４拉（压）杆的变形(DeformationofAxialForcedBar)·胡克定律(Hooke’sLaw)例题2-5求例题2-4中所示薄壁圆环在内压力p=2MPa作用下的径向应变和圆环直径的改变量。已知材料的弹性模量E=210GPa。解:在例题2-4中已经求出圆环在任一横截面上的正应力s=40MPa，若正应力不超过材料的比例极限，则可按公式(2-6)算出沿正应力s方向(即沿圆周方向)的线应变e为圆环的周向应变e等于其径向应变ed，因为根据上式即可算出圆环在内压力p作用下的直径(d=222mm)增大量为§２－４拉（压）杆的变形(DeformationofAxialForcedBar)·胡克定律(Hooke’sLaw)

例:图示阶梯形钢杆，AB段和CD段的横截面面积相等A1＝500mm2，BC段横截面积A2＝300mm2。已知材料的弹性模量E=200GPa。试求:1,各杆段的应力。2,Ｄ端的位移。解:1,绘轴力图如图(b)所示。2,求各段应力:3,计算Ｄ端位移:(Ｄ端位移DＤ即为杆的总变形，应为各段变形的代数和)。即:计算结果为负，说明Ｄ端发生向左的位移。§２－４拉（压）杆的变形(DeformationofAxialForcedBar)·胡克定律(Hooke’sLaw)例:某矿井升降机如图(a)所示，因吊索很长，其自重引起的应力和变形应予以考虑。设钢索长为l,横截面面积为Ａ,材料容重为g，弹性模量为E。试求:钢索在自重和起吊载荷P作用下产生的应力和变形(设起吊是匀速的)。的内力为Nx=R0-gAx=gA(l-x)+P故:Ｎmax＝gAl+P)。索为等截面的,其x截面上的应力为sx=Nx/A=g(l-x)+P/A。最大应力发生在索的最上端横截面上,其值为smax=Nmax/A=gl+P/A解:1,计算应力:(索上端支反力R0=P+gAl。用截面法求得x截面2,计算变形:式中Ｗ=gＡl为杆的总重量。上式表明:杆的重量引起的伸长部分，相当于不考虑自重，而在杆的下端作用一半重量的集中荷载引起的伸长。§２－４拉（压）杆的变形(DeformationofAxialForcedBar)·胡克定律(Hooke’sLaw)桁架节点位移:例:

图(a)所示托架,杆1和杆2均为钢杆,弹性模量E=200GPa,横截面面积分别为A1=200mm2,A2=250mm2,荷载P=10kN,l1=2m。试求节点Ａ的位移。解:1,求各杆轴力:(取节点A为研究对象,画受力图如图(b),由平衡条件求得两杆轴力分别为)（拉）（压）2,求各杆的变形:作业:2-12,2-13,2-15§２－４拉（压）杆的变形(DeformationofAxialForcedBar)·胡克定律(Hooke’sLaw)3,求节点Ａ的位移:由于两杆的变形,节点A位移至A’点,A’点是以B为圆心,(l1＋Dl1)为半径作圆弧与以C为圆心,(l2＋Dl2)为半径作圆弧的交点。由于变形相对于杆的原长很微小,这种作图方法和计算A’点位移很不方便,但正因为变形微小,可将上述两圆弧用过A1和A2两点并分别垂直于杆１和杆２的两垂线代替(图(c))。此图称为节点A的位移图。由节点A的位移图可知,节点A的水平位移dAH和垂直位移dAV分别为节点Ａ的总位移为:§2－5

拉(压)杆内的应变能

StrainEnergyofAxialForcedBar

弹性体在受力后要发生变形,同时弹性体内将积蓄能量。例如钟表的发条(弹性体)被拧紧(发生变形)以后,在它放松的过程中将带动齿轮系使指针转动,这样,发条就作了功。这说明拧紧了的发条具有作功的本领,这是因为发条在拧紧状态下积蓄有能量。为了获得计算这种能量的依据,下面研究弹性体在受外力作用而变形的过程中,外力所作的功与弹性体内所积蓄的能量在数量上的关系。现以受重力作用且仅发生弹性变形的拉杆为例,利用能量守恒原理来找出上述关系。设杆(图2-11)的上端固定,在其下端的小盘上逐渐增加重量。每加一点重量,杆将相应地有一点伸长,已在盘上的重物也相应地下沉,因而重物的位能将减少。由于重量是逐渐增加的,故在加载过程中,可认为杆没有动能改变。按能量守恒原理,略去其它微小的能量损耗不计,重物失去的位能将全部转变为积蓄在杆内的能量。因为杆的变形是弹性变形,故在卸除荷载以后,这种能量又随变形的消失而全部转换为其它形式的能量。通常将这种伴随着弹性变形的增减而改变的能量称为弹性应变能。在所讨论的情况下,应变能就等于重物所失去的位能。ExternalWorkinElasticRange:§2－5

拉(压)杆内的应变能

StrainEnergyofAxialForcedBar韧性模量(ModulusofToughness):轴向变形下的外力功WorkofExternalForcedinAxialDeformation:∵dW＝dT＝PdDl∴故:弹能模量:(ModulusofResilience)§2－5

拉(压)杆内的应变能

StrainEnergyofAxialForcedBar(是使试件断裂所需要的比功，故tf越大→此材料抵抗冲击和突加荷载的可靠性也越大)。变形能StrainEnergy

and比能EnergyDensity(StrainEnergyperUnitVolume):外力作功(T)→引起构件变形→产生内力→(s～e)将外力功(T)转化为内能(U)----因是构件变形引起，故称为变形能。当(s≤se)时称为弹性变形能,它为可完全恢复的内能,故:比能(杆件单位体积内储存的变形能):(s≤se时)u的量纲([力][长度]/[长度]3),常用单位：J/m3。材料进入塑性阶段后，有:(其中:)注:U和u恒为正。§2－5

拉(压)杆内的应变能

StrainEnergyofAxialForcedBar例:图(a)所示架，杆1和杆2均为钢杆，弹性模量E=200GPa，横截面面积分别为A1=200mm2，A2=250mm2，荷载P=10kN，l1=2m。试求节点Ａ的垂直位移。解:§2－5

拉(压)杆内的应变能

StrainEnergyofAxialForcedBar例:求图示三根圆截面杆的应变能，并比较其大小，设三杆用同一种线弹性材料制成，弹性模量为E。解:(a)杆:(b)杆:(c)杆:因此:材料力学第二章轴向拉伸和压缩(Ch2.AxialTensionandCompression)§２－6材料在拉伸和压缩时的力学性能MechanicalPropertyofMaterials材料在外力作用下所呈现的有关强度和变形方面的特性，称为材料的力学性能。材料力学性能是构件强度、刚度和稳定计算的重要组成部分，也是合理选用材料和从事新材料研究的重要依据。材料的力学性能都要通过试验来测定。本节主要介绍工程中常用材料在拉伸和压缩时的力学性能。材料的力学性能除因材料不同而不同以外，还受试验条件、加力方式等很多因素的影响。同一材料在常温、高温和低温的不同条件下测得的力学性能各不相同；在快速加载下测得的力学性能与缓慢加载条件下测得的力学性能也有显著差别；同一材料在拉、压、扭转和弯曲不同变形形式下表现出不同的力学性能。因此应针对不同情况，分别试验，以确定不同情况下的力学性能。为了使测得的材料力学性能可以互相对比，应严格按照有关试验规范的要求进行测定。§２－6材料在拉伸和压缩时的力学性能MechanicalPropertyofMaterialsⅠ.材料的拉伸和压缩试验(TensileTestandCompressionTestofMaterials)Ⅱ.

低碳钢试样的拉伸图及其力学性能(Load——deflectiondiagramintensionaboutmildsteel)Ⅲ.

其它金属材料在拉伸时的力学性能(Mechanicalpropertyofothersmetalmaterialsintension

)Ⅳ.

金属材料在压缩时的力学性能(MechanicalpropertyofmetalmaterialsinCompression)

Ⅴ.几种非金属材料的力学性能(Mechanicalpropertyofsomenonmetalmaterials)§２－6材料在拉伸和压缩时的力学性能

Ⅰ.材料的拉伸和压缩试验试验条件:常温、静载(undergraduallyappliedloodatroomtemperature)试验标准:GB228－87。标准试件(Standardspecimen):如图，圆形试件，板形试件使用Standardspecimen便于相互比较圆形试件又分长试件(l＝10d)和短试件(l＝5d)两种标距(GageLength)l压缩试件:短圆柱体，短棱柱体试验设备:万能试验机变形仪mildsteel（软钢）＝低碳钢(low-carbonsteel)如Q235号钢Characteristic:1,弹性阶段Elasticrange;2,屈服阶段Yieldrange;3,强化阶段Hardeningrange;4,颈缩阶段Neckingrange§２－6材料在拉伸和压缩时的力学性能

Ⅱ.

低碳钢试样的拉伸图及其力学性能llAPD==es1,Load——deflectiondiagramintensionaboutmildsteel:tensilediagram(P——△L)

diagram:§２－6材料在拉伸和压缩时的力学性能

Ⅱ.

低碳钢试样的拉伸图及其力学性能P∝Δlσ∝εσ=Eε()1,弹性阶段Elasticrangesp:比例极限proportionallimitse:弹性极限elasticlimitep=0()工程上常认为为同一点2,屈服阶段Yieldrange(流动阶段Sliprange)P基本不变,ΔL却不断增加,对抛光的试件,可以看到与杆轴线约成45度方向上的条纹(滑移线sliplines),表明材料此时的塑性变形由剪应力(tmax

=s/2)引起。

Yieldpoint(以下屈服点为准)ss:屈服极限Yieldinglimit

或流动极限Sildelimit§２－6材料在拉伸和压缩时的力学性能

Ⅱ.

低碳钢试样的拉伸图及其力学性能4,颈缩阶段Neckingrange(局部变形阶段

Localizeddeformationrange)此时在某一较弱的横截面及其附近横向尺寸显著缩小,出现所谓“颈缩”现象。breakingpoint(f):在F点拉断后,弹性变形ee部分恢复，剩下塑性变形ep(plasticstrain)物体进入塑性阶段后，总变形

e＝ee＋ep3,强化阶段Hardeningrangesb

:强度极限(抗拉强度）

Ultimatestrength§２－6材料在拉伸和压缩时的力学性能

Ⅱ.

低碳钢试样的拉伸图及其力学性能

在强化阶段后期和颈缩阶段,由于变形较大,故б＝P/A

和e=Δl/l

并不能表示试件的真实应力（truestress）和真实应变（truestrain)故：б＝Ｐ／Ａ常称为名义应力Nominalstress(Conventionalstres