人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第34讲 拓展三：圆锥曲线的方程（弦长问题）（原卷版）

第09讲圆锥曲线的方程（弦长问题）一、知识点归纳知识点一：弦长公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（最常用公式，使用频率最高）SKIPIF1<0知识点二：基本不等式SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时等号成立）二、题型精讲题型01求椭圆的弦长【典例1】（2023春·四川成都·高二校联考期末）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，且其中一个焦点与抛物线SKIPIF1<0的焦点重合．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)若直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于不同的A，B两点，且满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为坐标原点），求弦长SKIPIF1<0的值．

【典例2】（2023春·广西·高二校联考阶段练习）在直角坐标系xOy中已知SKIPIF1<0，P是平面内一动点，且直线PA和直线PB的斜率之积为SKIPIF1<0．记点P的运动轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)若直线l与曲线C相交于M，N两点．且线段MN的中点为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．

【变式1】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知平面内动点SKIPIF1<0与定点SKIPIF1<0的距离和SKIPIF1<0到定直线SKIPIF1<0的距离的比是常数SKIPIF1<0．(1)求动点SKIPIF1<0的轨迹方程；(2)设动点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0，过定点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0和曲线SKIPIF1<0交于不同两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求线段SKIPIF1<0的长．【变式2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校联考期末）已知椭圆C的焦点为F1（0，-2）和F2（0，2），长轴长为2SKIPIF1<0，设直线y=x+2交椭圆C于A，B两点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求弦AB的中点坐标及|AB|.题型02求椭圆的弦长的最值（范围）【典例1】（2023秋·浙江宁波·高二校联考期末）过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0的最大值是.【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田第十中学校考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，C上的点到其焦点的最大距离为SKIPIF1<0．(1)求C的方程；(2)若圆SKIPIF1<0的切线l与C交于点A，B，求SKIPIF1<0的最大值．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，左顶点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点.(1)求椭圆的SKIPIF1<0的标准方程；(2)若直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值.【典例4】（2023秋·湖南岳阳·高二湖南省汨罗市第一中学校联考期末）设椭圆SKIPIF1<0的左右焦点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆SKIPIF1<0恒有两个交点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0？若存在，写出该圆的方程，并求SKIPIF1<0的取值范围，若不存在，说明理由.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，它的四个顶点构成的四边形的面积为SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)设过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切且与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，求SKIPIF1<0的最大值．【变式2】（2023春·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的短轴长为4，离心率为SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上任意一点，SKIPIF1<0为坐标原点．(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)记线段SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交点为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆SKIPIF1<0的两个焦点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0在椭圆上，且使得SKIPIF1<0的点SKIPIF1<0恰有两个，动点SKIPIF1<0到焦点SKIPIF1<0的距离的最大值为SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)如图，以椭圆SKIPIF1<0的长轴为直径作圆SKIPIF1<0，过直线SKIPIF1<0上的动点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的两条切线，设切点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于不同的两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求弦SKIPIF1<0长的取值范围．题型03根据椭圆的弦长求参数【典例1】（2023春·上海静安·高二统考期末）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，设SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是非零常数，SKIPIF1<0分别为直线SKIPIF1<0的斜率.(1)求动点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程，并讨论SKIPIF1<0的形状与SKIPIF1<0值的关系；(2)当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0交曲线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为坐标原点.若线段SKIPIF1<0的长度SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程.【典例2】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，椭圆SKIPIF1<0的右顶点为SKIPIF1<0，上顶点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，离心率SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)若斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，且SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，若弦长SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，求斜率SKIPIF1<0的取值范围．【典例3】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，椭圆SKIPIF1<0的右顶点为A，上顶点为B，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，离心率SKIPIF1<0．(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为k的直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，且l与椭圆C相交于SKIPIF1<0两点，若弦长SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．【变式1】（2023春·上海浦东新·高二统考期末）椭圆C：SKIPIF1<0．(1)求椭圆C的离心率；(2)若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，且SKIPIF1<0，求点P的坐标；(3)如果l：SKIPIF1<0被椭圆C截得的弦长SKIPIF1<0，求该直线的方程．【变式2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，且椭圆SKIPIF1<0过椭圆SKIPIF1<0的焦点.过点SKIPIF1<0且不与坐标轴平行或重合的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点.(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)若存在直线SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【变式3】（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）椭圆E的方程为SKIPIF1<0，短轴长为2，若斜率为SKIPIF1<0的直线与椭圆E交于SKIPIF1<0两点，且线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l：SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，且与椭圆E交于M，N两点，且SKIPIF1<0，求直线l的方程.题型04求双曲线的弦长【典例1】（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.(1)求C的标准方程；(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.【典例2】（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知双曲线C的渐近线为SKIPIF1<0，且过点SKIPIF1<0．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线SKIPIF1<0与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长SKIPIF1<0．【变式1】（2023秋·广东湛江·高二统考期末）设第一象限的点SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0上的一点，已知C的一条渐近线的方程是SKIPIF1<0．(1)求b的值，并证明：SKIPIF1<0；(2)若直线SKIPIF1<0和曲线C相交于E，F两点，求SKIPIF1<0．【变式2】（2023·江苏·高二专题练习）双曲线的焦点SKIPIF1<0的坐标分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，求：(1)双曲线的方程及其渐近线方程；(2)已知直线SKIPIF1<0与该双曲线交于交于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，求直线AB的弦长．题型05根据双曲线的弦长求参数【典例1】（2023春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0依次为双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，且SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0．(1)设此双曲线经过第一、三象限的渐近线为SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，求双曲线的离心率；(2)若SKIPIF1<0，以此双曲线的焦点为顶点，以此双曲线的顶点为焦点得到椭圆C，法向量为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆C交于两点M，N，且SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的一般式方程．【典例2】（2023秋·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程是SKIPIF1<0，右顶点是SKIPIF1<0.(1)求双曲线SKIPIF1<0的离心率；(2)过点SKIPIF1<0倾斜角为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与双曲线的另一交点是SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求双曲线SKIPIF1<0的方程.【变式1】（2023秋·浙江宁波·高二期末）已知焦点在x轴上的双曲线C的渐近线方程为SKIPIF1<0，(1)求双曲线C的离心率e(2)若直线SKIPIF1<0与C相交于不同的两点A，B，且SKIPIF1<0，求双曲线C的方程．【变式2】（2023秋·安徽合肥·高三校考期末）双曲线SKIPIF1<0的中心在原点，右焦点为SKIPIF1<0，渐近线方程为SKIPIF1<0．(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0，与双曲线SKIPIF1<0交于不同的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程．【变式3】（2023春·上海浦东新·高二上海市洋泾中学校考阶段练习）已知双曲线C：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，实轴长为2.(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线SKIPIF1<0被双曲线C截得的弦长为SKIPIF1<0，求m的值.题型06求抛物线焦点弦【典例1】（2023春·甘肃武威·高二统考开学考试）已知抛物线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0．(1)求抛物线的标准方程；(2)过抛物线焦点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0与抛物线交于SKIPIF1<0两点，已知线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0横坐标为4，求弦SKIPIF1<0的长度．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)斜率为SKIPIF1<0的直线过点SKIPIF1<0，且与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，求线段SKIPIF1<0的长.【典例3】（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知抛物线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0.(1)求抛物线SKIPIF1<0的方程，并求其准线方程;(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为SKIPIF1<0的直线，交抛物线于SKIPIF1<0两点，求线段SKIPIF1<0的长度.【变式1】（2023春·四川雅安·高二雅安中学校考阶段练习）已知抛物线SKIPIF1<0的准线的方程为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作倾斜角为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交该抛物线于两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求：（1）SKIPIF1<0的值；（2）弦长SKIPIF1<0【变式2】（2023秋·湖南怀化·高二统考期末）已知抛物线SKIPIF1<0的准线方程是SKIPIF1<0是抛物线焦点．(1)求抛物线焦点坐标及其抛物线方程：(2)已知直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，斜率为2，且与抛物线相交于SKIPIF1<0两点，求SKIPIF1<0．【变式3】（2023秋·四川宜宾·高二四川省宜宾市南溪第一中学校校考期末）已知抛物线SKIPIF1<0的顶点在原点，焦点坐标为SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的标准方程；(2)若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，求线段SKIPIF1<0的长．题型07求抛物线中非焦点弦【典例1】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0的图象在第一象限交于点P．若椭圆的右顶点为B，且SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的离心率．(2)若椭圆SKIPIF1<0的焦距长为2，直线l过点B．设l与抛物线SKIPIF1<0相交于不同的两点M、N，且SKIPIF1<0的面积为24，求线段SKIPIF1<0的长度．【典例2】（2023·广西·统考模拟预测）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0到准线的距离为2.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)若SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上的一动点，过SKIPIF1<0作抛物线SKIPIF1<0的切线SKIPIF1<0为切点，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0最小时.求SKIPIF1<0.【变式1】（2023春·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是坐标轴，它的准线过双曲线SKIPIF1<0的左焦点．(1)求抛物线C的方程；(2)若过点SKIPIF1<0且斜率为1的直线与抛物线C交于M，N两点，求SKIPIF1<0．【变式2】（2023秋·湖北·高二统考期末）已知抛物线C：SKIPIF1<0上第一象限的一点SKIPIF1<0到其焦点的距离为2．(1)求抛物线C的方程