浙江省温州市环大罗山联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题

绝密★考试结束前2023学年第一学期温州环大罗山联盟期中联考高二年级数学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知直线，则该直线倾斜角的度数为（）A．B．C．D．2．已知平面的法向量为，则直线与平面的位置关系为（）A．B．C．与相交但不垂直D．3．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（）A．B．C．D．4．已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离最小值为（）A．1B．2C．3D．45．已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（）A．B．C．D．6．已知圆和两点，若圆上有且仅有一点，使得，则实数的值是（）A．B．C．或D．7．在等腰直角中，，点是边的中点，光线从点出发，沿与所成角为的方向发射，经过反射后回到线段之间（包括端点），则的取值范围是（）A．B．C．D．8．在正方体中，棱长为2，平面经过点，且满足直线与平面所成角为，过点作平面的垂线，垂足为，则长度的取值范围为（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线，则下列说法正确的是（）A．若，则B．当时，两条平行线之间的距离为C．若，则D．直线过定点10．向量，则下列说法正确的是（）A．，使得B．若，则C．若，则D．当时，在方向上的投影向量为11．如图，在平行六面体中，．底面为菱形，与的所成角均为，下列说法中正确的是（）A．B．C．D．12．已知点是圆上的两个动点，点是直线上的一定点，若的最大值为，则点的坐标可以是（）A．B．C．D．非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知圆，圆的弦被点平分，则弦所在的直线方程是______．14．已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为______．15．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为______．16．已知点分别是椭圆的上下焦点，点为直线上一个动点．若的最大值为，则椭圆的离心率为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在直三棱柱中，．（1）求证：；（2）求点到直线的距离．18．已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点．（1）求线段的长；（2）求的面积．19．如图所示，在几何体中，四边形为直角梯形，，底面．（1）求证：平面；（2）求直线与直线所成角的余弦值．20．已知抛物线的焦点为，斜率为1的直线与在第一、四象限的交点分别为、，与轴的交点为．（1）当时，求点的坐标；（2）设，若，求的值．21．如图，在三棱雉中，面面为等腰直角三角形，为线段上一动点．（1）若点为线段的三等分点（靠近点），求点到平面的距离；（2）线段上是否存在点（不与点、点重合），使得直线与平面的所成角的余弦值为．若存在，请确定点位置并证明；若不存在，请说明理由．22．已知与两边上中线长的差的绝对值为．（1）求三角形重心的轨迹方程；（2）若，点在直线上，连结，与轨迹的轴右侧部分交于两点，求点到直线距离的最大值．2023学年第一学期温州环大罗山联盟期中联考高二年级数学学科答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．12345678BBACACDA二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9101112BCDBCDABDAC非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．14．15．16．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【详解】（1）建立直角坐标系，其中为坐标原点．依题意得，因为，所以．（向量法分解正确2分，数量积2分）（2）（直接用点到线的距离公式，公式正确但运算错误给7分，公式正确且答案正确给10分）18．（1）联立直线与椭圆方程解得．．（答案算错，公式写对得1分）（2）由题可知，左焦点．（答案算错，公式写对得1分）19．解：（1）如图所示，以为原点，方向为轴正半轴，方向为轴正半轴，方向为轴正半轴建立空间直角坐标系．，又平面平面．（2）由（1）知直线所成线线角的余弦值为20．解：（1）设，则，由韦达定理得，，点坐标为（2）由①知，，21．如图，取中点，以点为原点建立空间直角坐标系（1）由题可知．建系坐标1分点为线段的三等分点（靠近点），设面的法向量为（法向量表示答案不唯一）（答案计算错误，公式写对得1分）（2）点为线段的三等分点（靠近点）或点为线段的十五等分点（靠近点）．理由如下：点是线段上的点，设设面的法向量为设直线与平面的夹角为．（答案计算错误，公式写对得1分）（如写，但题中未设“直线与平面的夹角为”，扣1分）两边同时平方，化简可得，解得．点为线段的三等分点（靠近点）或点为线段的十五等分点（靠近点）．22．设与的中点为，则由题意可得，由重心性质得||由双曲线的定义可知的轨迹为双曲线，易得