三重积分的计算方法与应用的探究

三重积分的计算方法与应用的探究摘要通过本文，旨在掌握三重重积分在物理学及实际生活中的应用，比如体积，质量，重心、转动惯量等方面的应用，并详细介绍利用三重积分法下的空间物体的质量，重心、转动惯量的求法。关键词：三重积分；计算方法；应用 目录TOC\o"1-5"\h\z\u1引言 12三重积分的概念和性质 12.1三重积分的概念 12.2三重积分的性质 23三重积分的计算方法 33.1化三重积分为累次积分 43.2三重积分换元法 53.3利用奇偶性和对称性计算三重积分 63.4利用曲面积分计算三重积分 84三重积分的实际应用 94.1立体的体积 94.2空间物体的质量 104.3重心 104.4转动惯量 115总结 13参考文献 14致谢 151引言在高校数学教育体系中，三重积分的计算及应用一直是数学分析中的重点，但同时也是难点，本文在研习相关资料的情况下，较全面地给出了三重积分计算的几种典型方法。并介绍了三重积分在物理学中的应用，比如利用三重积分计算立体体积、质量、重心等，希望这几种方法能对学习者具有一定的指导意义。2三重积分的概念和性质 2.1三重积分的概念类似于第一型曲线积分，求一个空间立体V的质量M就可导出三重积分．设密度函数为，为了求V的质量，我们把V分割成n个小块V1，V2，…,Vn，在每个小块Vi上任取一点，则其中为小块的体积，． 设是定义在三维空间可求体积的有界区域V上的有界函数．现用若干光滑曲面所组成的曲面网来分割，它把分成个小区域V1，V2，…,Vn，记Vi的体积为（=1,2,…,），．在每个Vi中任取一点，作积分和． 定义：设为定义在三维空间可求体积的有界闭区域上的函数，是一个确定的数，若对任给的正数，总存在某一个正数，使得对于的任何分割，只要，属于分割的所有积分和都有，则称在上可积，数称为函数在上的三重积分，记作其中称为被积函数，称为积分变量，称为积分区域． 当≡1时，在几何上表示的体积.2.2三重积分的性质三重积分具有与二重积分相应的有关性质．类似于二重积分，有若在区域上可积，为常数，则在上也可积，且若，在区域上可积，则在上也可积，且若在上都可积，且无公共内点，则在上也可积，且若，在区域上可积，且，，则若在区域上可积，则在上也可积且．若在区域上可积，且则这里是积分区域的的体积．（中值定理）若在有界区域上连续，则存在，使得，这里是积分区域的体积．（线性性质）(1)

(k为常数)，被积常数中的常数因子可以提到三重积分号外面。(2)设α、β为常数，则，函数的和（或差）的三重积分等于各个函数的三重积分的和或差。（可加性质）如果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域，则在G上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和。（不等性质）

如果在G上，f(x,y,z)≤φ(x,y,z)，则有，特殊地，若函数f(x,y,z)在Ω上可积，则|f(x,y,z)|亦在Ω上可积，且有。（估值性质）

设M、m分别为f(x,y,z)在闭区域G上的最大值和最小值，V为G的体积，则有mV≤≤MV。3三重积分的计算方法 3.1化三重积分为累次积分定理1﹑若函数在长方体上的三重积分存在，且对任意，存在，则积分也存在，且（1）证 用平行于坐标轴的直线做分割,它把分成有限多个小长方体设分别是在上的上确界和下确界．对任意，．现按下标相加，有以及．（2）上述不等式两边是分割的下和与上和．由在上可积，当时，下和与上和具有相同的极限，所以由（2）式得在上的连续函数，函数在上的三重积分存在，且对任意，．亦存在，则积分存在，且（3）证定义其中，对应用定理1，则有3.2三重积分换元法柱面坐标变换（４）由于变换的函数行列式按（４）式，三重积分的柱面坐标变换元公式为球坐标变换由于当在上取值时，，所以在球坐标变换下，按公式（４），三重积分的球坐标换元公式为这里为在球坐标变换下的原象．3.3利用奇偶性和对称性计算三重积分上述定义中，若以为对称平面将区域分为和两部分，则的体积=的体积，当时，．且有 事实上，设区域以平面：为对称平面，，则．下面找出与的关系． 设过点与的直线为，由于直线与平面垂直，因此直线的方程为：．设直线与平面的交点为，解方程组得点的坐标为其中由于点又是与连线的重点，所以，从而进一步得：．而，对作变换：雅克比式：当为上的奇函数时，，因此：．当为上的偶函数时，，因此：． 故有3.4利用曲面积分计算三重积分设空间区域由分片光滑的双侧封闭曲面围成，函数在上连续，且具有一阶连续的偏导数，若而，则其中取外侧．证明取，，，则，，，从而由于函数在上连续，且具有一阶连续的偏导数，所以，，在上连续，且具有一阶连续的偏导数，由高斯公式：得从而4三重积分的实际应用4.1立体的体积由三重积分的几何意义知例1求曲面与所围成的立体体积.解由锥面和球面围成，采用球面坐标，由由三重积分的性质知,4.2空间物体的质量由三重积分的物理意义知，当物体在处的体密度为时，其质量为例2设一物体是由平面上的曲线绕轴旋转而成的曲面与平面=5所围成的闭区域，在任一点的体密度为=，求物体的质量。解曲线绕轴旋转得的旋转抛物面方程为,故由抛物面与z=5所围成．知，在xoy平面上的投影为．由三重积分的物理意义知.物体的质量为:M===4.3重心设是密度为的空间物体，在上连续，因的质量为，对平面的静力矩为，由重心坐标的概念有，以分别表示的重心的各个坐标，应有，所以类似地有:若为常数，则例3求密度均匀的上半椭球体的重心．解：设椭球体方程为，表示由对称性知==0，而=4.4转动惯量质点对轴的转动惯量是质点的质量和到转动轴的距离的平方的乘积，即.当讨论空间物体的转动惯量问题时，利用讨论质量、重心等相由的方法可得：设空间物体的密度函数为，它对轴的转动惯量为 =，同样地 =， =，对平面的转动惯量为 =，对平面的转动惯量为 =，对平面的转动惯量为 =，对原点的转动惯量为 =.例5

求半径为a

的均匀半圆薄片(面密度为常量)对于其直径边的转动惯量解

取坐标系如图

则薄片所占闭区域D可表示为

D{(x

y)|

x2y2a2

y0}

而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量Ix

DDxdddyI222sin

0240032

sin4

sindadda

2441241Maa

其中221aM为半圆薄片的质量

类似地

占有空间有界闭区域、在点(x

y

z)处的密度为(x

y

z)的物体对于x、y、z轴的转动惯量为

dvzyxzyIx),,()(22

dvzyxxzIy),,()(22

dvzyxyxIz),,()(22三重积分的对称性及其应用

设Ω为空间有界闭区域，f（x，y，z）在Ω上连续；

如果Ω关于xOy（或xOz或yOz）对称，且f（x，y，z）关于z（或y或x）为奇函数，则：

∫∫∫f（x，y，z）dv=0.

Ω

如果Ω关于xOy（或xOz或yOz）对称，Ω1为Ω在相应的坐标面某一侧部分，且f（x，y，z）关于z（或y或x）为偶函数，则：

∫∫∫f（x，y，z）dV=2∫∫∫f（x，y，z）dv

Ω

Ω1

如果Ω与Ω’关于平面y=x对称，则：∫∫∫f（x，y，z）dv=∫∫∫f（y，x，z）dvΩ

Ω’1

5总结 综上所述,化成低重积分的不同方式,采用不同坐标系化成三次积分以及采取不同的积分次序这三者是计算三重积分的基本思路和方法。参考文献[1]尹松庭,刘彩云.利用一题多解培养大学生的数学思维能力[J].内江师范学院学报,2018,33(02):34-36.[2]景慧丽,屈娜.一个二重积分的计算方法探讨[J].商丘职业技术学院学报,2018,17(01):74-76.[3]房明磊,耿显亚,李强.关于三重积分的一题多解[J].高教学刊,2017(24):108-109+112.[4]牛艳秋.积分学教学方法的探讨[J].赤峰学院学报(自然科学版),2017,33(22):17-18.[5]黄永,李彦红.函数对称性简化多元函数积分问题研究[J].昭通学院学报,2017,39(05):9-11+31.[6]李想.三重积分交换积分次序[J].现代经济信息,2017(20):464.[7]李延波,薛小清.交互式凸组合方法的不确定变时滞中立型系统的鲁棒镇定[J].数学的实践与认识,2017,47(20):113-121.[8]刘忠志.微元法的应用[J].湖南科技学院学报,2017,38(10):13-15.[9]张海燕,李耀红,李冬楠.一例三重积分多种解法的比较分析[J].宿州学院学报,2017,32(08):97-99.[10]赛琳伟.高等数学中多元积分的总结[J