专题24.7切线的判定-【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【人教版】

【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题24.7切线的判定【名师点睛】切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．【典例剖析】【例1】．（2021秋•闽侯县期中）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的直线互相垂直，垂足为点D，AC平分∠DAB．求证：直线CD是⊙O的切线．【分析】连接OC，根据半径相等，可得∠OAC＝∠OCA，由AC平分∠DAB，可推出∠OCA＝∠CAD．进而得出OC∥AD．再由AD⊥DC，得出OC⊥DC．运用切线的判定可证得结论．【解答】证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠CAD．∴∠OCA＝∠CAD．∴OC∥AD．∵AD⊥DC，∴∠OCD＝180°﹣∠ADC＝90°．∴OC⊥DC．∵OC为半径，∴直线CD是⊙O的切线．【变式1】．（2021秋•溧水区期中）如图，OA＝OB＝13cm，AB＝24cm，⊙O的直径为10cm．求证：AB是⊙O的切线．【分析】过点O作OC⊥AB，垂足为点C，根据勾股定理可得OC＝5＝⊙O的半径，进而根据经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，即可证明AB是⊙O的切线．【解答】证明：过点O作OC⊥AB，垂足为点C，∵OA＝OB＝13cm，AB＝24cm，∴AC＝AB＝12cm，在Rt△OAC中，根据勾股定理，得OC＝＝5，∵⊙O的直径为10cm∴⊙O的半径r为5cm，∴OC＝r，∴AB是⊙O的切线．【例2】．（2021秋•盱眙县期中）如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）已知：BC＝8cm，AD＝3cm，求线段AE的长．【分析】（1）连接OD，只要证得∠EDO＝90°即可得到DE是⊙O的切线；（2）根据线段中点的定义和勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OD，∵D是BC的中点，∴BD＝CD．∵OA＝OB，∴OD∥AC．又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线；（2）∵D是BC的中点，∴BD＝CD＝BC＝4（cm），∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴AC＝AB，∵AD＝3cm，∴AC＝＝＝5（cm），∵DE⊥AC，∴DE＝＝＝（cm），∴AE＝＝＝（cm）．【变式2】．（2021•怀宁县模拟）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并证明；（2）若BE＝8，DE＝16，求⊙O的半径．【分析】（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OBE中，根据OE2＝EB2+OB2，可得（16﹣r）2＝r2+82，推出r＝6，即可解决问题．【解答】解：（1）相切，证明：如图，连接OC，在△OCB与△OCD中，，∴△OCB≌△OCD（SSS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，又∵OD为⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，∴（16﹣r）2＝r2+82，∴r＝6，∴⊙O的半径为6．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2021秋•滨海县期末）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（）A．以OA为半径的圆 B．以OB为半径的圆 C．以OC为半径的圆 D．以OD为半径的圆【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断．【解答】解：∵OD⊥a于D，∴以点O为圆心，OD为半径的圆与直线a相切．故选：D．2．（2022春•石鼓区校级月考）下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆 B．一个三角形只有一个外接圆 C．和半径垂直的直线是圆的切线 D．三角形的外心到三角形三边的距离相等【分析】直接根据确定圆的条件、外接圆的性质以及切线的定义的知识求解即可求得答案；注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆；故本选项错误；B、一个三角形只有一个外接圆；故本选项正确；C、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；故本选项错误；D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；故本选项错误．故选：B．3．（2021•杭州三模）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A．点（0，3） B．点（1，3） C．点（6，0） D．点（6，1）【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF＝90°时F点的位置即可．【解答】解：∵过格点A，B，C作一圆弧，∴三点组成的圆的圆心为：O′（2，0），∵只有∠O′BD+∠EBF＝90°时，BF与圆相切，∴当△BO′D≌△FBE时，∴EF＝BD＝2，∴F点的坐标为：（5，1），∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）和（1，3）．故选：B．4．（2021•绍兴模拟）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（）A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点【分析】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．【解答】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；B、∵∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝∠A+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；C、∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，∴不能判定BC是⊙A切线；故选：D．5．（2020秋•拱墅区校级月考）如图，点A在⊙O上，下列条件不能说明PA是⊙O的切线的是（）A．OA2+PA2＝OP2 B．PA⊥OA C．∠P＝30°，∠O＝60° D．OP＝2OA【分析】利用勾股定理的逆定理得到△OAP为直角三角形，则根据切线的判定定理可对A、B选项进行判断；利用三角形内角和计算出∠OAP＝90°，则根据切线的判定定理可对C选项进行判断；由于由OP＝2OA不能得到∠OAP＝90°，则根据切线的判定定理可对D选项进行判断．【解答】解：∵OA2+PA2＝OP2，∴△OAP为直角三角形，∴OA⊥PA，∴PA为⊙O的切线，所以A、B选项不符合题意；∵∠P＝30°，∠O＝60°，∴∠OAP＝90°，∴OA⊥PA，∴PA为⊙O的切线，所以C选项不符合题意；∵OP＝2OA不能确定∠OAP＝90°，∴D选项符合题意．故选：D．6．（2019秋•江北区期末）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是（）A．（5，2） B．（2，4） C．（1，4） D．（6，2）【分析】根据切线的判定在网格中作图即可得结论．【解答】解：如图，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是（6，2）．故选：D．7．（2019秋•金山区期末）已知在矩形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝13．⊙C的半径长为12，下列说法正确的是（）A．⊙C与直线AB相交 B．⊙C与直线AD相切 C．点A在⊙C上 D．点D在⊙C内【分析】根据点和圆的位置关系及直线和圆的位置关系判断即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝13，AB＝5，∴BC＝＝＝12，∵⊙C的半径长为12，∴⊙C与直线AB相切，故A选项不正确，∵CD＝AB＝5＜12，∴⊙C与直线AD相交，故B选项不正确，∵AC＝13＞12，∴点A在⊙C外，故C选项不正确，∵CD＝5＜12，∴点D在⊙C内，故D选项正确，故选：D．8．（2019秋•孟村县期末）如图，点D是△ABC中BC边的中点，DE⊥AC于E，以AB为直径的⊙O经过D，连接AD，有下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切线．其中正确的结论是（）A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④【分析】根据直径所对的圆周角是直角，即可判断出选项①正确；由O为AB中点，得到AO为AB的一半，故AO为AC的一半，选项③正确；由OD为三角形ABC的中位线，根据三角形的中位线定理得到OD与AC平行，由AC与DE垂直得到OD与DE垂直，即∠ODE为90°，故DE为圆O的切线，选项④正确．【解答】解：∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，选项①正确；连接OD，如图，∵D为BC中点，O为AB中点，∴DO为△ABC的中位线，∴OD∥AC，又DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE为圆O的切线，选项④正确；又OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠EDA＝∠BDO，∴∠EDA＝∠B，选项②正确；由D为BC中点，且AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∴AC＝AB，又OA＝AB，∴OA＝AC，选项③正确；则正确的结论为①②③④．故选：D．9．（2019•宁德一模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，F是CE的中点，连接DF．则下列结论错误的是（）A．∠A＝∠ABE B． C．BD＝DC D．DF是⊙O的切线【分析】首先由AB是⊙O的直径，得出AD⊥BC，推出BD＝DC，根据F是CE的中点，得出DF是△BEC的中位线，得到DF∥BE，∠DFC＝∠BEC＝90°，再由OA＝OB，推出OD是△ABC的中位线，得DF⊥OD，即DF是⊙O的切线，最后由假设推出不正确．【解答】解：连接OD，AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°（直径所对的圆周角是直角），∴AD⊥BC；而在△ABC中，AB＝AC，∴AD是边BC上的中线，∴BD＝DC（C选项正确）；∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴DB＝DC，∠BAD＝∠CAD，∴＝，（B选项正确）∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，即：OD∥AC，∵F是CE的中点，∴DF是△BEC的中位线，∴DF∥BE∴DF⊥AC，∴DF⊥OD．∴DF是⊙O的切线（D选项正确）；只有当△ABE是等腰直角三角形时，∠A＝∠ABE＝45°，故A选项错误，故选：A．10．（2018秋•柯桥区期末）如图，∠ABC＝70°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径做⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线绕点B按顺时针方向旋转（）A．35°或70° B．40°或100° C．40°或90° D．50°或110°【分析】设旋转后与⊙O相切于点D，连接OD，则可求得∠DBO＝30°，再利用角的和差可求得∠ABD的度数．【解答】解：如图，设旋转后与⊙O相切于点D，连接OD，∵OD＝OB，∴∠OBD＝30°，∴当点D在射线BC上方时，∠ABD＝∠ABC﹣∠OBD＝70°﹣30°＝40°，当点D在射线BC下方时，∠ABD＝∠ABC+∠OBD＝70°+30°＝100°，故选：B．二．填空题（共6小题）11．（2021秋•北京期末）在下图中，AB是⊙O的直径，要使得直线AT是⊙O的切线，需要添加的一个条件是∠TAC＝∠B（答案不唯一）．（写一个条件即可）【分析】要使得直线AT是⊙O的切线，只要证明∠OAT＝90°即可，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而得∠B+∠BAC＝90°，所以只要满足∠TAC＝∠B即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，当∠TAC＝∠B时，∠TAC+∠BAC＝90°，即∠OAT＝90°，∵OA是圆O的半径，∴直线AT是⊙O的切线，故答案为：∠TAC＝∠B（答案不唯一）．12．（2022•朝阳区校级一模）如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作⊙M，当OM＝4cm时，⊙M与OA相切．【分析】作MH⊥OA于点H，如图，根据切线的判定方法得到当MH＝2cm时，⊙M与OA相切，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得到OM＝4cm，【解答】解：作MH⊥OA于点H，如图，当MH＝2cm时，⊙M与OA相切，因为∠O＝30°，所以此时OM＝2MH＝4cm，即OM＝4cm时，⊙M与OA相切．13．（2021秋•金安区校级期末）如图所示，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于M，N两点，⊙O的半径为1，将⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动2﹣或2+s时，直线MN恰好与圆O相切．【分析】作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，设直线EF的解析式为y＝x+b，由⊙O与直线EF相切结合三角形的面积即可得出关于b的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可求b值，从而得出点E的坐标，根据运动的相对性，即可得出结论．【解答】解：作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示．设直线EF的解析式为y＝x+b，即x﹣y+b＝0，∵EF与⊙O相切，且⊙O的半径为1，∴b2＝×1×|b|，解得：b＝或b＝﹣，∴直线EF的解析式为y＝x+或y＝x﹣，∴点E的坐标为（，0）或（﹣，0）．令y＝x﹣2中y＝0，则x＝2，∴点M（2，0）．∵根据运动的相对性，且⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，∴移动的时间为2﹣秒或2+秒．故答案为：2﹣或2+．14．（2020秋•大石桥市期中）如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心、3cm为半径作⊙M．当OM＝6cm时，⊙M与OA相切．【分析】设⊙M与OA相切于N，连接MN，N为切点，根据MN⊥AO，∠AOB＝30°，2cm为半径，利用直角三角形中30°的角所对的直角边是斜边的一半解答．【解答】解：设⊙M与OA相切于N，连接MN，∵MN⊥AO，∠AOB＝30°，3cm为半径，∴OM＝2MN＝2×3＝6cm．故当OM＝6cm时，⊙M与OA相切，故答案为：6．15．（2020•乐东县一模）如图，⊙O的半径为6cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB＝OA，动点P从点A出发，以πcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为2秒或10秒时，BP与⊙O相切．【分析】根据切线的判定与性质进行分析即可．若BP与⊙O相切，则∠OPB＝90°，又因为OB＝2OP，可得∠B＝30°，则∠BOP＝60°，根据弧长公式求得弧AP长，除以速度，即可求得时间．【解答】解：如图所示：连接OP，∵当OP⊥PB时，BP与⊙O相切，∵AB＝OA，OA＝OP，∴OB＝2OP，∠OPB＝90°，∴∠B＝30°，∴∠O＝60°．∵OA＝6cm，弧AP＝＝2π，∵圆的周长为：12π，∴点P运动的距离为2π或12π﹣2π＝10π，∴当t＝2秒或10秒时，有BP与⊙O相切．故答案为：2秒或10秒．16．（2021•宁波模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线BD上的动点，以BP为直径作圆，当圆与矩形ABCD的边相切时，BP的长为或．【分析】BP为直径的圆的圆心为O，作OE⊥AD于E，OF⊥CD于F，如图，设⊙O的半径为r，先利用勾股定理计算出BD＝5，根据切线的判定方法，当OE＝OB时，⊙O与AD相切，根据平行线分线段成比例定理得＝，求出r得到BP的长；当OF＝OB时利用同样方法求出BP的长．【解答】解：BP为直径的圆的圆心为O，作OE⊥AD于E，OF⊥CD于F，如图，设⊙O的半径为r，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∴BD＝＝5，当OE＝OB时，⊙O与AD相切，∵OE∥AB，∴＝，即＝，解得r＝，此时BP＝2r＝；当OF＝OB时，⊙O与DC相切，∵OF∥BC，∴＝，即＝，解得r＝，此时BP＝2r＝；综上所述，BP的长为或．故答案为或．三．解答题（共10小题）17．（2020秋•铁锋区期中）AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE＝CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数．【分析】（1）连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC＝90°即可证明BC是⊙O的切线；（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数；【解答】（1）证明：连接OB∵OB＝OA，CE＝CB，∴∠A＝∠OBA，∠CEB＝∠ABC又∵CD⊥OA∴∠A+∠AED＝∠A+∠CEB＝90°∴∠OBA+∠ABC＝90°∴OB⊥BC∴BC是⊙O的切线．（2）解：连接OF，AF，BF，∵DA＝DO，CD⊥OA，∴AF＝OF，∵OA＝OF，∴△OAF是等边三角形，∴∠AOF＝60°∴∠ABF＝∠AOF＝30°18．（2020秋•同安区期中）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．【分析】连接OC，如图，由于OA＝OB，CA＝CB，根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB，然后根据切线的判定定理得到结论．【解答】证明：连接OC，如图，∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB，∴直线AB是⊙O的切线．19．（2022春•义乌市期中）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若∠CAB＝120°，AB＝6，求BC的值．【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠C和∠B＝∠OPB，则∠OPB＝∠C，于是可判断OP∥AC，由于PD⊥AC，所以OP⊥PD，然后根据切线的判定定理可得到PD是⊙O的切线；（2）由AB为直径得∠APB＝90°，根据等腰三角形的性质得BP＝CP，所以∠BAP＝60°，在Rt△BAP中，根据含30度的直角三角形三边的关系得AP＝AB＝3，BP＝AP＝3，所以BC＝2BP＝6．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OP＝OB，∴∠B＝∠OPB，∴∠OPB＝∠C，∴OP∥AC，∵PD⊥AC，∴OP⊥PD，∴PD是⊙O的切线；（2）解：连接AP，如图，∵AB为直径，∴∠APB＝90°，∴BP＝CP，∵∠CAB＝120°，∴∠BAP＝60°，在Rt△BAP中，AB＝6，∠B＝30°，∴AP＝AB＝3，∴BP＝AP＝3，∴BC＝2BP＝6．20．（2021秋•鼓楼区期中）如图，在正方形ABCD中，E是BD上一点，射线AE交CD于点F，交BC的延长线于点G，过点C，F，G画圆，连接CE．求证：CE是圆的切线．【分析】连接圆心O与C点，根据等腰三角形的性质得到∠OCF＝∠OFC，根据全等三角形的性质得到∠DAE＝∠DCE，求得∠OCF＝90°，由切线的判定定理即可得到结论．【解答】证明：连接圆心O与C点，∵OC＝OF，∴∠OCF＝∠OFC，∵∠OFC＝∠DFA，∴∠OCF＝∠DFA，在正方形ABCD中，DA＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，在△ADE和△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴∠DAE＝∠DCE，∵∠DAE+∠DFE＝90°，∴∠DCE+∠OCF＝90°，即∠OCE＝90°，∵OC⊥CE且C在圆上，∴CE是圆的切线．21．（2021