2022届高考物理一轮复习第9章磁场第2节磁吃运动电荷的作用教案新人教版

第2节磁场对运动电荷的作用

［必备知识・全通关］夯实基础知识•扫除双基盲点

◎必备知识•填充

一、洛伦兹力的大小和方向

1.定义：磁场对运动电荷的作用力。

2.大小

时，F=0。

(2)v_L8时，F=qvB.

(3)/与6的夹角为。时，F=q展in，。

3.方向

(1)判定方法：左手定则

掌心一一磁感线垂直穿入掌心；

四指一一指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方面；

拇指一一指向洛伦兹力的方向。

(2)方向特点：FIB,FLv,即一垂直于8和r决定的平面。(注意8和P可以有任意夹

角)，如图所示：

甲r与8垂直乙-与方不垂直

洛伦兹力与粒子运动方向、磁感应强度方向的关系

4.做功：洛伦兹力不做功。

二、带电粒子在匀强磁场中的运动

1..若v〃B,带电粒子以入射速度r做匀速直线运动。

2.若时，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速度r做匀速圆周运动。

3.基本公式

2

(1)向心力公式：qvB=nr^Q

(2)轨道半径公式：r=M

（3）周期公式：7=红机。

QB

注意：带电粒子在匀强磁场中运动的周期与速率逑。

€＞学情自测•验收

一、思考辨析（正确的画“，错误的画“X”）

1.带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用。（义）

2.洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直。

（X）

9j［r

3.根据公式7=——，说明带电粒子在匀强磁场中的运动周期7与「成反比。

V

4.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关。

5.荷兰物理学家洛伦兹提出磁场对运动电荷有作用力的观点。（J）

二、走进教材

1.（人教版选修3—IP98Tl改编）下列各图中，运动电荷的速度方向、磁感应强度方向和电

荷的受力方向之间的关系正确的是（）

CD

［答案］B

2.（鲁科版选修3—1P.4）（多选）两个粒子,电荷量相等，在同一匀强磁场中受磁场力

而做匀速圆周运动（）

A.若速率相等，则半径必相等

B.若动能相等，则周期必相等

C.若质量相等，则周期必相等

D.若动量大小相等，则半径必相等

V2

CD［带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，qvB=%,可得R

mv〃2兀加一.八八、〜丁一r

茄可知C、D正确。］

［关键能力•全突破］总结常考考点•破解高考疑难

考点1对洛伦兹力的理解及应用［依题组训练］

1.图中a、6、c、d为四根与纸面垂直的长直导线，其横截面位于正方形的四个顶点上，

导线中通有大小相同的电流，方向如图所示。一带正电的粒子从正方形中心0点沿垂直于纸

面的方向向外运动，此时它所受洛伦兹力的方向是（）

z0.a

，*0*

­,/b

'J

A.向上B.向下

C.向左D.向右

B［带电粒子在磁场中受洛伦兹力，磁场为4根长直导线在。点产生的合磁场，根据安

培定则，a在。点产生的磁场方向为水平向左，8在。点产生的磁场方向为竖直向上，c在。

点产生的磁场方向为水平向左，d在。点产生的磁场方向竖直向下，所以合磁场方向水平向左。

根据左手定则，带正电粒子在合磁场中所受洛伦兹力方向向下，故B正确。］

2.（多选）如图所示，一轨道由两等长的光滑斜面和成■组成，两斜面在8处用一光滑

小圆弧相连接，。是比的中点，竖直线如右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，6处可认为处

在磁场中，一带电小球从1点由静止释放后能沿轨道来回运动，。点为小球在被右侧运动的

最高点，则下列说法正确的是（）

A.C点与1点在同一水平线上

B.小球向右或向左滑过占点时，对轨道压力相等

C.小球向上或向下滑过。点时，其所受洛伦兹力相同

D.小球从A到8的时间是从，到户时间的吸倍

AD［小球在运动过程中受重力、洛伦兹力和轨道支持力作用，因洛伦兹力永不做功，支

持力始终与小球运动方向垂直，也不做功，即只有重力做功，满足机械能守恒，因此C点与力

点等高，在同一水平线上，选项A正确；小球向右或向左滑过8点时速度等大反向，即洛伦

兹力等大反向，小球对轨道的压力不等，选项B错误；同理小球向上或向下滑过尸点时，洛

伦兹力也等大反向，选项C错误；因洛伦兹力始终垂直6C,小球在段和比段（设斜面倾角

均为，）的加速度均由重力沿斜面的分力产生，大小为欧in0,由/得小球从/到占

的时间是从C到。的时间的也倍，选项D正确。］

3.(多选)带电小球以一定的初速度%竖直向上抛出，能够达到的最大高度为垢若加上

水平方向的匀强磁场，且保持初速度仍为的，小球上升的最大高度为玲；若加上水平方向的

匀强电场，且保持初速度仍为“，小球上升的最大高度为原若加上竖直向上的匀强电场，

且保持初速度仍为的，小球上升的最大高度为九，如图所示。不计空气阻力，贝4()

A.一定有力=加B.一定有水也

C.%与几无法比较D.力1与小2无法比较

AC［第1个图：由竖直上抛运动的最大高度公式得力=4。第3个图：当加上电场时,

由运动的分解可知：在竖直方向上有，谥=2/?3,所以％=加，故A正确；而第2个图：洛伦

兹力改变速度的方向，当小球在磁场中运动到最高点时，小球应有水平速度，设此时的球的

动能为瓦，则由能量守恒得：mgih+Ex=；mJ,又由于%;谥=磔九，所以力故D错误；第4

个图：因小球电性不知，则电场力方向不清，则高度可能大于公，也可能小于打,故B错误,

C正确。］

畲规律总结

1.洛伦兹力的特点

(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷。

(2)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。

(3)洛伦兹力一定不做功。

2.洛伦兹力与安培力的联系及区别

(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，洛仑兹力是安培力的微观解释，性质相同都是磁场力。

(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。

3.洛伦兹力与电场力的比较

洛伦兹力电场力

产生条件v^O且0不与6平行电荷处在电场中

大小F=qvB(v工价F=qE

力方向与场

FLB,F±vF//E

方向的关系

做功情况任何情况下都不做功可能做功，也可能不做功

考点2带电粒子在匀强磁场中的运动［讲典例示法］

1.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的思想方法和理论依据

一般说来，要把握好“一找圆心，二定半径，三求时间”的分析方法。在具体问题中，

2

要依据题目条件和情景而定。解题的理论依据主要是由牛顿第二定律列式：qvB=*,求半径

m4、一一,2Jtr2Km

r=历及JS动周期

2.两种方法定圆心

方法一若己知粒子轨迹上的两点的速度方向，则可根据洛伦兹力RLh分别确定两点

处速度的垂线，其交点即为圆心，如图（a）。

方法二若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，则可作出此两点的连

线（即过这两点的圆弧的弦）的中垂线，中垂线与速度方向的垂线的交点即为圆心，如图（b）。

(a)(b)

3.几何知识求半径

利用平面几何关系，求出轨迹圆的可能半径（或圆心角），求解时注意。：*＞（偏向角）

以下几个重要的几何特点：

（1）粒子速度的偏向角（0）等于圆心角（"），并等于4?弦与切线的夹

角（弦切角，）的2倍（如图所示），即小=a=29=3t。

（2）直角三角形的应用（勾股定理）。

找到的中点C,连接冗，则△/0G都是直角三角形。

4.求时间的两种方法

方法一：由运动弧长计算，/为弧长）；

方法二：由偏转角度计算，或=A］。

360I2五，

5.三类边界磁场中的轨迹特点

（1）直线边界：进出磁场具有对称性。

(a)(b)(c)

（2）平行边界：存在临界条件。

（3）圆形边界：等角进出，沿径向射入必沿径向射出。

［典例示法］（一题多变）如图所示，半径为X的圆是一圆柱形匀强

磁场区域的横截面（纸面），磁感应强度大小为6,方向垂直于纸面向外。

一电荷量为<7（9>0）、质量为勿的粒子沿平行于直径a®的方向射入磁场区

域，射入点与ab的距离为次已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向

间的夹角为60°,则粒子的速率为（不计重力）（）

qBRqBRAqBR2qBR

A•cB•C.cD.

2/77m2mm

审题指导：解此题关键有两点:

（1）射入点与ab的距离为今由此可确定射入点与圆心的连线和竖直方向之间的夹角是

30°。

（2）粒子的偏转角是60°,由此确定粒子的轨迹圆弧对应的圆心角为60°。

B［如图所示，粒子做圆周运动的圆心a必在过入射点垂直于入射速度方向的直线EF

上，由于粒子射入、射出磁场时运动方向间的夹角为60°,故圆弧£愉

b

R

对应圆心角为60°,所以您为等边三角形。由于OtD=~,所以

NEOiD=60°,为等边三角形，所以可得到粒子做圆周运动的

半径由qvB=',得/=皿^,B正确。］

Km

［变式1］此［典例示法］中，带电粒子在圆柱形匀强磁场区域中的运行时间为（）

nmnm2n勿nm

ARC-------f）

6qB3qB3qBqB

0

B［粒子在磁场中做圆周运动，转过的圆心角。=6。。，则在磁场中运行时间片访

60°2nmnm

T-----X---=--,项正确。］

360。qB3qKB

［变式2］此［典例示法］中，若带电粒子对准圆心沿直径瑟的方向射入磁场区域，粒子

射出磁场与射入磁场时运动方向的夹角仍为60°,则粒子的速率为（）

.QBRqBR#qBR季qBm

A.cB.•1J（

ZinminK

C［由题意粒子运动轨迹如图所示，则NaQc=60°,NaQc

qBR

=120°o由几何知识得二="兄又qvB=i/,则v=—=^9

vrmm

C项正确。］

［变式3］此［典例示法］中，若带电粒子速率不变，磁场方向

改为垂直纸面向里，带电粒子从磁场射出时与射入磁场时运动方向的夹角为（）

A.30°B.45°

C.60°D.120°

D［因带电粒子的速率不变，

.、U1V2g

由qvB=得

r

r=R,

则粒子运动轨迹如图所示，由几何知识得

/微尸=120°,D项正确。］

畲规律忠结

无论带电粒子在哪类边界磁场中做匀速圆周运动，解题时要抓住三个步骤:

即画出轨迹，并确定圆心，利用几何方法求半径;

<—、:轨迹半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转：

Q我联护角度与圆心角、运动时间相联系,在磁场中运动：

一♦的时间与周期相联系：

。二二二二二二二二二二二二二二

乙福■冰」即牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期

迪少：公式、半径公式

［跟进训练］

考向1带电粒子在直线或平行边界磁场中的运动

1.（2020•湖南长沙模拟）如图所示，一个理想边界为四、网,的匀强磁场区域，磁场宽度

为4方向垂直纸面向里。一电子从。点沿纸面垂直网以速度的进入磁场。若电子在磁场中

运动的轨迹半径为2d。0'在"V上，且如'与加，垂直。下列判断正确的是（）

0Q

P------x------

七XXXkx］右

左XXX

M.O...'.............N

A.电子将向右偏转

B.电子打在网,上的点与〃'点的距离为d

C.电子打在助V上的点与。'点的距离为4d

D.电子在磁场中运动的时间为誓

I）［电子带负电，进入磁场后，根据左手定则判断可知，所0,0Q

受的洛伦兹力方向向左，电子将向左偏转，如图所示，A错误；设左唆"右

X入'A/,AA&

电子打在.，邮上的点与0,点的距离为X,则由几何知识得：x=rM'

2

-y/r,-（/=2cf-y/2d-cf=（2-^3）d,故B、C错误；设轨迹对应的圆心角为8,由几

dJiOrnd

何知识得sin=0.5,得O=W，则电子在磁场中运动的时间为t==T一,故D正

2d6vo3w>

确。］

考向2带电粒子在圆形边界磁场中的运动

2.（2017•全国卷H）如图所示，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，

户为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过户点，在纸面内沿不同方向射

入磁场。若粒子射入速率为口，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒

子射入速率为外，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作

用。则吟：口为（）

P匕

A/2：1

3：亚

C［相同的带电粒子垂直匀强磁场入射均做匀速圆周运动。粒子以匕入射，一端为入射

点、P,对应圆心角为60°（对应六分之一圆周）的弦外'必为垂直该弦入射粒子运动轨迹的直

径2n,如图甲所示，设圆形区域的半径为凡由几何关系知八=3几其他不同方向以s入射

的粒子的出射点在所对应的圆弧内。同理可知，粒子以打入射及出射情况，如图乙所示。

与R,可得不2：4=小：1。因为勿、q、8均相同，由公式r

由几何关系知r2=

=一可得P0cr,所以v：H=小：1。故选C。］

nri2v

考向3带电粒子在三角形或四边形边界磁场中的运动

3.（2019•全国卷H）如图所示，边长为，的正方形aAd内存在匀强磁场，磁感应强度大

小为B,方向垂直于纸面（abed所在平面）向外。ab边中点有一电子发射源“可向磁场内沿

垂直于勖边的方向发射电子。已知电子的比荷为上则从a、d两点射出的电子的速度大小分

B［若电子从a点射出，运动轨迹如图线①，有qv“B

_r,_lqBR“qBlkBl.，

一呢,Ra—〃解得V——.—.,右电子从d点AA射

R04a加4勿4

出，运动轨迹如图线②，有qVdB=哙,必=(凡一9+7,

qBRd3qBl3kBi3工

解得匕/=---=——=一1，选项B正确。］n

勿4/4

考点3带电粒子在磁场中运动的临界、极值和多解问题［讲典例示法］

卫型］

带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题

分析临界、极值问题常用的四个结论

(D刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。

(2)当速率/一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。

(3)当速率「变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况

画出运动轨迹的草图，找出圆心，再根据几何关系求出半径及圆心角等。

(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，入射点和出射点为磁场直

径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)0

［典例示法1］(2020•全国卷III-Tw)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别

为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所

示。一速率为『的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为加

电荷量为e,忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区

域内，磁场的磁感应强度最小为()

mv„3mv

A.-~B.-C.--D.T

2aeae4ae5-ae

X

C［为使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，电子进入匀强磁场中做匀速圆

周运动的半径最大时轨迹如图所示，设其轨迹半径为r,轨迹圆圆心为机磁场的磁感应强度

最小为6,由几何关系有犷G+r=3a,解得r=5a,电子在匀强磁场中做匀速圆周运动有

2q

evB无解得如言选项C正确。］

畲方法技巧解决临界极值问题的方法技巧

(1)数学方法和物理方法的结合：如利用“矢量图”“边界条件”等求临界值，利用“三

角函数”“不等式的性质”“二次方程的判别式”等求极值。

(2)一个“解题流程”突破临界问题

临界点

(3)从关键词找突破口：题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等

词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐含的规律，找出临

界条件。

［跟进训练］

1.平面〃犷和平面之间的夹角为30°,其横截面(纸面)如图所示，平面〃〃上方存在

匀强磁场，磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为用，电荷量为

q(g〉0)。粒子沿纸面以大小为『的速度从QV的某点向左上方射入磁场，速度与〃犷成30°角。

已知该粒子在磁场中的运动轨迹与QV只有一个交点，并从。犷上另一点射出磁场。不计重力。

粒子离开磁场的出射点到两平面交线。的距离为()

...B..

♦一下0：....

O".....一户断而

my_迦皿

2qBqBqBqB

D［如图所示为粒子在匀强磁场中的运动轨迹示意图，设出射点为

P,粒子运动轨迹与"V的交点为0,粒子入射方向与。V成30°角，则射/六、

出磁场时速度方向与QV成30°角，由几何关系可知，PQLON,故出射点I?'‘'''J

6..................."p~'M

到。点的距离为轨迹圆直径的2倍，即4兄又粒子在匀强磁场中运动的

轨迹半径4=祓所以D正确。］

2.（2020•河南郑州一模）如图所示，边界〃"与恻之间分布有

M

垂直纸面向里的匀强磁场，边界av上有一粒子源s。某一时刻，从

粒子源S沿平行于纸面，向各个方向发射出大量带正电的同种粒子XX

（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有粒子的初速度大小相0根。**X%

等，经过一段时间后有大量粒子从边界射出磁场。已知乙姒V=30°,从边界65”射出的粒

子在磁场中运动的最长时间等于京7为粒子在磁场中运动的周期），则从边界射出的粒子在

磁场中运动的最短时间为（）

TTTT

A.~B.TC.D.~

34T68

A［粒子在磁场中做匀速圆周运动，入射点是S,出射点在〃犷直线

上，出射点与S点的连线为轨迹的一条弦。当从边界Q"射出的粒子在磁

场中运动的时间最短时，轨迹的弦最短，根据几何知识，作ESLOM,则

梦为最短的弦，即粒子从S到£■的时间最短。由题意可知，粒子运动的最长时间等于行北此

时轨迹的弦为DS,设OS=d,则〃S=OStan30°当d,粒子在磁场中做圆周运动的轨道半

ESd

DSIQI，24/Q

径为：广=3=*〃，由几何知识有梦=OSsin300sin丁=—=-7厂=｝，则。=120°,

01

粒子在磁场中运动的最短时间为：A正确。］

3603

鳍型2

带电粒子在磁场中运动的多解问题

带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解。

多解形成原因一般包含4个方面:

类型分析图例

受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带

带电粒子负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动

XX/$<x\

电性不确轨迹不同，形成多解X片［

定如图所示，带电粒子以速度P垂直进入匀强磁场，如带

正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为6

在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方

向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解

磁场方向

如图所示，带正电粒子以速度/垂直进入匀强磁场，若

不确定—<

6垂直纸面向里，其轨迹为a,若6垂直纸面向外，其

轨迹为b

P_______

X

带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子；X/XX\x

临界状态

运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可

不唯一

能转过180。从入射界面这边反向飞出，于是形成多解

xx8xx

运动具有带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动

Wr

周期性往往具有周期性，因而形成多解1

［典例示法2］如图所示，在无限长的竖直边界4。和处'间，上、下部分分别充满方向

垂直于/板平面向外的匀强磁场，上部分区域的磁感应强度大小为氏，OF为上、下磁场的水

平分界线。质量为勿、带电荷量为的粒子从4c边界上与。点相距为a的尸点垂直于边

界射入上方磁场区域，经必上的。点第一次进入下方磁场区域，0与。点的距离为3a。不考

虑粒子重力。

(1)求粒子射入时的速度大小；

(2)要使粒子不从边界飞出，求下方磁场区域的磁感应强度应满足的条件；

(3)若下方区域的磁感应强度8=3氐，粒子最终垂直龙1边界飞出，求边界施与〃1间距

离的可能值。

审题指导：(1)粒子不从4c边界飞出的几何临界条件是运动轨迹与4C相切。

(2)要使粒子最终垂直然边界飞出，粒子经上下磁场偏转速度方向再次与射入磁场时的

方向一致。

［解析］(1)设粒子在⑺上方做圆周运动的半径为R运动轨迹如图甲所示，

由几何关系可知：(万一a)'+(3a)2=V

解得：R=5a

由牛顿第二定律可知：

QVBQ=m-j^

解得：片四。

111

(2)当粒子恰好不从力。边界飞出时，运动轨迹与4。相切，如图乙所示，设粒子在办'下

方做圆周运动的半径为人由几何关系得：

ri+ricosJ=3a

3

由(1)知cos。=三

0

15a

所以。=

根据qvB\=rn—

.T1

解得：8=学

故当用＞了时，粒子不会从4C边界飞出。

v5

(3)如图丙所示，当6=3反时，根据＜7出=町得粒子在〃下方的运动半径为r=§a

丙

设粒子的速度方向再次与射入磁场时的速度方向一致时的位置为则。与Px的连线一

定与冲平行，根据几何关系知：PR=4a

所以若粒子最终垂直应'边界飞出,

边界应■与4C间的距离为

L=nPP\=4〃a(〃=l,2,3…)。

［答案］⑴手⑵磁感应强度大于瞥⑶见解析

畲方法技巧巧解带电粒子在磁场中运动的多解问题

（1）分析题目特点，确定题目多解的形成原因。

（2）作出粒子的运动轨迹示意图（全面考虑多种可能性）.

（3）若为周期性重复的多解问题，寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出

现的条件。

［跟进训练］

1.（多选）一质量为以电荷量为q的负电荷在磁感应强度为8的匀强磁场中绕固定的正

电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷

的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（）

4qB3qB绝QB

A.V•D.

mmmm

AC［依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可

能方向相反。在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向

也是相反的。当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知4%七

行v，得=\B"aR，此种情况下，负电荷运动的角速度为v当4的负电荷所受的洛伦兹

RmRm

力与电场力方向相反时，有2为片耳，此种情况下，负电荷运动的角速度为3='

=戏,故A、C正确。］

2.（多选）（2020•山东潍坊检测）如图所示，一束电子以大小不F.........］同

的速率沿图示方向垂直飞入横截面是一正方形的匀强磁场区域，下列i判

断正确的是（）L>/4；13;工

Z--'/'

A.电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长

B.电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大

C.在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线不一定重合

D.电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同

e

BC［由力知，电子在磁场中运动时间与轨迹对应的圆心角成正比，所以电子在磁

4JI

场中运动的时间越长，其轨迹线所对应的圆心角6越大，电子飞入匀强磁场中做匀速圆周运

动，由半径公式r=箸口，轨迹半径与速率成正比，则电子的速率越大，在磁场中的运动轨迹

半径越大，故A错误，B正确；由周期公式上爱知，周期与电子的速率无关，所以在磁场

中的运动周期相同，若它们在磁场中运动时间相同，但轨迹不一定重合，比如：轨迹3、4与

5,它们的运动时间相同，但它们的轨迹对应的半径不同，即它们的速率不同，故C正确，D

错误。］

3.如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为8,J加和明〃是它的两条边界。

现有质量为卬、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界AM

射出，则粒子入射速率/的最大值可能是多少？

［解析］题目中只给出粒子“电荷量为,未说明是带哪种电

荷，所以分情况讨论。

若带电粒子带正电荷，轨迹是图中与AM相切的"圆弧，

mv

则轨迹半径

Bq

又d=R-Rsin45°

解得『2+」Bqd

in

3

若带电粒子带负电荷，轨迹是图中与楸相切的i圆弧,

mv

则轨迹半径*F

又d=R'+*sin45°

解得/=2fBqd,

m

BqdBqd

［答案］(2+m)二T(g为正电荷)或(2—m)二~(q为负电荷)

核心素养“动态圆”模型在电磁学中的应用

模型1“放缩圆”模型的应用

适粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，

速度方向一定，大

用这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而

小不同

条变化

件如图所示（图中只画出粒子带正电的情景），速度XXXX

XX.永一乂XX

轨迹圆r越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒x

子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速"?

圆心共线

xXxx\>^x

度方向的直线W上xx'，"-彳&X

界定以入射点一为定点，圆心位于外'直线上，将半径放缩作轨迹圆，

方法从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法

［示例1］（2020•全国卷I•「,）一匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向

外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、6d与直径共线，ac间的距离等于半圆的半

径。一束质量为加、电荷量为g（g>0）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒

子具有各种速率，不计粒子之间的相互作用.在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为

（）

7nm5w山4nm3「0

A'~^BB'~\qBQ拓7D'-2^B

C［带电粒子在匀强磁场中运动，运动轨迹如图所示，

由洛伦兹力提供向心力有qvB=nr^,解得运动时间t:::::

=’，=蔡，为带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角，‘飞%；%，?”&

粒子在磁场中运动时间由轨迹所对圆心角决定。采用放缩法，粒子垂直ac射入磁场，则轨迹

圆圆心必在直线ac上，将粒子的轨迹半径从零开始逐渐放大，当rW0.5以斤为a6的半径）和

时，粒子从ac、6d区域射出磁场，运动时间等于半个周期。当0.5底r<l.57?时，粒

子从弧劭上射出，轨迹半径从0.57?逐渐增大，粒子射出位置从a点沿弧向右移动，轨迹所

对圆心角从n逐渐增大，当半径为"时，轨迹所对圆心角最大，再增大轨迹半径，轨迹所对

圆心角减小，因此轨迹半径等于万时，所对圆心角最大，为仇,="+2=?，粒子最长运

oo

动时间为:亨。］

3qB

［跟进训练］

1.（2020•福州模拟）如图所示，匀强磁场的边界为直角三角形abc,一束带正电的相同

粒子以不同的速度「沿儿方向从6点射入磁场，不计粒子的重力。关于粒子在磁场中的运动

情况，下列说法正确的是()

」文x!

/'xxx!

,xXxxxx!

A.入射速度越大的粒子，在磁场中的运动时间越长

B.入射速度越大的粒子，在磁场中的运动轨迹越长

C.从油边出射的粒子在磁场中的运动时间都相等

D.从ac边出射的粒子在磁场中的运动时间都相等

mv

C［带电粒子进入磁场做匀速圆周运动，轨迹半径,速度越大，半径越大，从ac

边出射的粒子，速度越大，运动轨迹越短，对应的圆心角e越小，根据匕=出7和7=号可

ZJiQD

知，粒子在磁场中的运动时间越短，选项A、B、D错误；从瑟边出射的粒子速度的偏向角都

0

相同，而粒子在磁场中做圆周运动的轨迹所对的圆心角等于速度的偏向角，由力可知,

乙JI

粒子在磁场中的运动时间相等，选项C正确。］

模型2“旋转圆”模型的应用

粒子源发射速度大小一定、方向不同的带厂*

电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做(已分)

速度大小一定，方

匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度八

向不同

适用

为的，则圆周运动半径为不=今。如图所示

条件

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点。为圆心、

轨迹圆圆心共圆

半径7?=号的圆上

界定将一半径为仁受的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子

qB

方法

的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法

［示例2］如图所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为6,方向垂直纸面向里，边界

跟y轴相切于坐标原点。点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为『的某种带电粒

子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍。已知该带电粒子的质

量为以电荷量为s不考虑带电粒子的重力。

(1)推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨迹半径；

(2)求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角。,、

/XX\

‘XXXX'.

,XXXX/x

XX/

［解析］(1)带电粒子进入磁场后，受洛伦兹力作用，由牛顿第二定律得

v„,mv

Bqv=in-,则r=­o

rBq

(2)粒子的速率均相同，因此粒子轨迹圆的半径均相同，但粒子射入磁场的速度方向不确

定，故可以保持圆的大小不变，只改变圆的位置，画出“动态圆”，通过“动态圆”可以观

察到粒子运动轨迹均为劣弧，对于劣弧而言，弧越长，弧所对应的圆心角越大，偏转角越大,

则运动时间越长，当粒子的轨迹圆的弦长等于磁场直径时，粒子在磁场空间的偏转角最大，

sin即“x=60。o

［答案］⑴瓦⑵6。。

［跟进训练］

2.如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面

XXXXX

向里，磁感应强度的大小6=0.60To磁场内有一块平面感光板a\〃〃〃/〃//〃/////入b

X