2022年陕西省咸阳市高考数学模拟试卷（理科）（二）（二模）（附答案详解）

2022年陕西省咸阳市高考数学模拟试卷（理科）（二）（二

模）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合4={x\x2-x-2<0},B={x\y=ln(x—1)},则力AF=()

A.{x\x>2}B.{x|0<x<2}C.{x|l<x<2}D.{x\x>0]

2.复数z=W，则z的虚部是()

A.1B.-1C.iD.—i

3.己知命题p：Vx6(0,+oo),e”>x+l,则"为()

A.Vxe(0,4-oo),ex<x+1B.Vxg(0,+8),<%4-1

C.3%6(0,4-oo),<%4-1D.3x£(0,+oo),ex>x+1

y+2N0

4.若x,y满足约束条件％-y+1N0,贝收=%-2y的最小值为（）

%<1

A.-3B.1C.5D.-5

5.在正方体A8CD—4B1GD1，E,F分别为aCi与CiQ的中点，则异面直线公。与EF

所成角的大小为（）

A.3B.3C.gD*

6.函数/（%）=sin（x-.）-cosx的最小值为（）

A.1B.—1C.V3D.—V3

7.已知函数y=/（x）为定义在R上的奇函数，且/'（x+2）=-/（x）,当x6（-2,0）时，

f（x）=x,贝"（2021）=（）

A.2021B.1C.-1D.0

8.某单位决定从4名男党员干部和3名女党员干部中选取3人赴外地考察学习，若选出

的3人中既有男党员干部又有女党员干部，则不同的选取方案共有（）

A.60种B.34种C.31种D.30种

9.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注少中，称一个正方体内两个互相垂直

的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图），通过计算得知正方体的体积与

“牟合方盖”的体积之比为3：2.若在该正方体的外接球内任取一点，此点取自“牟

合方盖”内的概率为（）

10.已知cosaH0,且3s讥2a—4cos2a=4,则tcma=()

A.-2B.JC.7D.±；

343

11.已知QE(e,+8),则函数f(x)=Q仇％+QX—xe”的零点个数为()

A.0B.1C.2D.3

12.已知4、B是椭圆到捺+5=l(a>b>0)长轴的两端点，P、Q是椭圆上关于x轴对

称的两点，直线AP,BQ的斜率分别为心，k式人曲2手0),若椭圆的离心率为叱，

4

则|七+七|的最小值为()

A.2B.V3C.1D.|

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知的内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=24a=l,b=痘,

贝！k_.

14.已知平面向量五=(2,—3),|Z?|=V10>|a-b|=3>贝।后•6=.

15.给出以下命题：

①“a<3"是"3x0G[0,2],x1-a>0”的充分不必要条件；

②垂直于同一个平面的两个平面平行；

③若随机变量X〜N(3,a2),且p(X>6)=0.2,贝lJp(O<X<6)=0.4；

④已知点P(2,0)和圆。：/+、2=36上两个不同的点M,N,满足4MPN=90。,

Q是弦MN的中点，则点Q的轨迹是一个圆.

其中正确命题的序号是.

16.已知双曲线C：捻-2=l(a〉0,b>0)的左焦点为F,过F且与双曲线C的一条渐

近线垂直的直线2与另一条渐近线交于点P，交y轴于点力，若4为PF的中点，则双曲

线C的离心率为.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

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17.已知函数f(n)=2n-l(nGN*),数列｛砥｝满足=2^n)(nGN*).数列｛加｝为等差

数列，满足即=瓦，a3=b2~2.

(1)求数列｛an｝、｛时｝的通项公式;

(2)求数列｛an+的前几项和立.

18.某地区2015年至2021年居民家庭人均存款y(单位：万元)数据如表:

年份2015201620172018201920202021

年份代号t1234567

人均存款y2.93.33.64.44.85.25.9

变量t，y具有线性相关关系.现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方

程分别为：甲y=0.5t-2.3；乙y=-0.5t+2.3；丙y=0.5t+2.3,其中有且仅有

一位同学的计算结果是正确的.

(1)试判断谁的计算结果正确？

(2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差大于0.1,则称该数据为

“不可靠数据"，若误差为0,则称该检测数据是“完美数据”，这两者之外的其

余数据均称为“可靠数据”.现剔除不可靠数据，从剩余数据中随机抽取2个，求其

中“完美数据”个数的分布列和数学期望.

19.如图，四边形ZBCD与BDEF均为菱形，FA=FC,

AB=2,且=4DBF=60°.

(1)求证：AC1BF；

(2)求二面角E-AF-B的余弦值.

20.已知抛物线C：y2=2px(p>0),过焦点尸作x轴的垂线与抛物线C相交于M、N两

点，SAMON=2.

(1)求抛物线C的标准方程：

(2)点4是抛物线C上异于点。的一点，连接力。交抛物线的准线于点D,过点。作x轴

的平行线交抛物线于点B，求证：直线48恒过定点.

21.已知函数/(x)=Inx-kx+1.

(1)若f(x)<0恒成立，求实数k的取值范围；

(2)证明：(1+0)(1+专)…(1+前<赢n„>1).

第4页，共18页

22.已知曲线Ci的参数方程为｛；二臂黑(。为参数)，曲线的参数方程为

(x=3

[々声(t为参数).以坐标原点。为极点，X轴的非负半轴为极轴，建立极坐

标系.

(I)求曲线G与曲线C2公共点的极坐标；

(U)若点4的极坐标为(2,71),设曲线与y轴相交于点B,点P在曲线C1上，满足PA1

PB,求出点P的直角坐标.

23.已知关于%的不等式-1|-|x+2|>|m+2|有解.

(1)求实数m的取值范围；

(2)设M是?n的最大值，若b>1,c>1,且(Q-l)(b-l)(c-1)=M,求

证：abc>8.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：集合4=(x\x2-x-2<0}={x|-1<x<2},

B={x\y=ln(x-1)}=(x\x>1],

则力CB={x[l<x<2}.

故选：C.

求出集合A,B,利用交集定义能求出AnB.

本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是

基础题.

2.【答案】B

【解析】解：复数z=营=(]£；；；[)=手=T,则z的虚部为一1.

故选:B.

利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出.

本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：命题是全称命题，则否定是：

3xG(0,+oo),ex<x+1,

故选：C.

根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可.

本题主要考查含有量词的命题的判断，利用全称命题的否定是特称命题进行判断是解决

本题的关键，是基础题.

4.【答案】A

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【解析】解：由约束条件作出可行域如图,

由z=x-2y,得丫=；一：，由图可知，当直线、=；一|过4时，

直线在y轴上的截距最大，z有最小值为-3.

故选：A.

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最

优解的坐标代入目标函数得答案.

本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题.

5.【答案】C

【解析】解：连接当。［、BD、

易知EF"B\Di〃BD,乙即为异面直线为D与EF所成角或其补角，

易知4A1BD等边三角形，故角为今

故选：C.

连接当久、BD、ArB,则EF//B1DJ/B。，乙4"B即为异面直线&D与EF所成角或其补

角，根据是等边三角形即可求解.

本题考查了异面直线及其所成角，属于基础题.

6.【答案】D

［解析］解:/(x)=sin(x-—cosx=—sinx—-cosx—cosx=-sinx--cosx=

62222

V5sin(x—

当sin(x-g)=-1时，/(x)取得最小值—V5.

故选：D.

利用两角差正弦公式和辅助角公式得到fQ)=V3Sin(x-^),再求最小值即可.

本题考查两角和与差的三角函数，考查学生的运算能力，属于中档题.

7.【答案】B

【解析】解：因为/(x+2)=-/(x),

所以f(x+4)=-〃>+2),

所以/(x+4)=/(x),所以函数的周期为4,

所以,(2021)=/(4X505+1)=/(I),

因为函数y=f(x)为定义在R上的奇函数，且当#e(—2,0)时，/(X)=X,

所以f(l)=-/(-I)=-(-1)=1,

所以f(2021)=1,

故选：B.

由已知条件可得函数的周期为4,然后利用周期化简结合奇函数的性质和已知的解析式

可求得结果.

本题考查了函数奇偶性和周期性的应用，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】解：根据题意，要求选出的3人中既有男党员干部又有女党员干部，分2种情况

讨论：

选出的3人为2男1女，有戏盘=18种安排方法，

选出的3人为1男2女，有屐废=12种安排方法，

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则有18+12=30种选法，

故选：D.

根据题意，分“选出的3人为2男1女”和“选出的3人为1男2女”2种情况讨论，求出每

种情况的选法数目，相加即可得答案.

本题考查排列组合的应用，注意分类计数原理的应用，属于基础题.

9.【答案】B

【解析】解：设正方体棱长为1,则正方体体对角线，=8，外接球半径R=更，所以

2

牟合方盖的体积匕=|,

外接球的体积v=£7rx(且)3=甄，所求概率P=京=焙.

故选：B.

设正方体棱长，根据体对角线长等于外接球的直径，然后根据体积比可得.

本题考查几何概型，考查学生的运算能力，属于中档题.

10.【答案】B

【解析】解：3sin2a-4cos2a=4,

6sinacosa-4cos2a+4sin2a.

----sWs%-----二%

6tana-4+4tan2a.

-------；----=4,

l+tan2a

22

・•・6tana—4+4tana=4+4tana9

4

Atana=3

故选：B.

根据二倍角公式和同角的三角函数的关系即可求出.

本题考查了同角的三角函数的关系和二倍角公式，属于基础题.

11.【答案】C

【解析】解：函数/(%)=+QX-xe”定义域为(0,+8),

求导得：f(x)=(x+l)(^-ex),令。(为=?一/，x>0,

显然g(x)在(0,+8)上单调递减，

而a>e,g(a)=1—ea<0,g⑴=a—e>0,

XQ

则存在沏e(l,a),使得g(%o)=0,即f=ef

当0<x<&时，g(x)>0,f'(x)>0;当x>x()时,g(x)<0,f'(x)<0,

因此，/(x)在(0,3)上单调递增，在(g,+8)上单调递减，

x

f(x)max=f(Xo)=alnx0+ax0-xoe°=a(/nx0+x()-1)>0，

111

而fG)=a/n-+1一丝=—alna+1一竺<—Q+1—空VO，

‘'aaaaa

则存在Xie(i,x0),使得f(Xi)=0,

即/(x)在(0,0)上存在唯一零点，

又，(a)=Q(，九a+a—e。),

令h(%)=Inx+x—ex,x>e,

则h'(无)=1+1-婚<0,

则/i(x)在(e,+8)上单调递减，Vx>e,/i(x)</i(e)=l+e—ee<l+e—e2<0.

于是得f(a)<0,则存在%2e(而箝)，使得/(不)=0,

即y(x)在(&,+8)上存在唯一零点，

综上得：函数/'(%)=出nx+ax-xe*的零点个数为2.

故选：C.

求出函数f(x)的导数，利用导数讨论f(x)单调性，确定其最大值为正，再借助零点存在

性定理推理作答.

本题考查了涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，

并结合零点存在性定理，分析解决问题，属于中档题.

12.【答案】D

【解析】解：由已知可得白m=l-e2建，

设点P(&,y。)，则Q(x0,-y。)，且有豺普=1,可得就=a2(i-孰

设点4(-a,0)、B(a,0),则也+的|=|y。+一尸0|_Iyo(、o-a)-yo(*o+a)

xQ+ax0-a(x0+a)(x0-a)

2ab2

北出一/北一小与一灯。।_1-ayo-ayo-2ay0।_।-2ay0,_(-2ay0

(x0+a)(x0-a)(x0+a)(x0-a)a2yo

=|2x就|=庭

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因为PQo，%）在椭圆上，所以y（）W[-瓦句，所以当y0=b时,

=2卢|的最小值为：=2.13

8yoi81yoi口J耳乂」8b83=2

故选：D.

求出号的值，推导出也+句=I孚I，所以当yo=b时，也+心1有最小值.

a"ayo

本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线中的最值问题等知识，属于中等题.

13.【答案】2

【解析】解：•・•△4BC中，B=2A,a=1,b=遍，

•••由正弦定理一、=号得：二~=旦=.'叵，

sm4stnBsinAsm2A2sinAcosA

整理得：COSA=—>

2

由余弦定理a?=b2+c2-2bccosA>得1=3+c2—3c,

解得：c-1或c=2,

当c=1时，a=c=1,b=a，此时/=C=30°,B=120°,不满足8=24,舍去；

当c=2时，a=1,b=W，此时4=30。，B=60°,C=90°,满足题意，

则c=2.

故答案为：2

由B=24,得到sinB=sin2A,利用正弦定理求出cosA的值，再利用余弦定理即可求出

c的值.

此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关

键.

14.【答案】7

【解析】解：平面向量五=(2,-3),|a|=V4+9=V13,

\b\=V10)|a-b|=3.

可得五2—2五•3+12=9，

即13+10—2五=9,

解得己-b=7-

故答案为：7.

利用向量的模的运算法则，转化求解向量的数量积即可.

本题考查向量的数量积的求法，向量的模的运算法则的应用，是基础题.

15.【答案】①④

u

【解析】解：对于①：由maG[0,2],以一a20,得a<4,所以“a<3”是3x0G[0,2],

欧一a20”的充分不必要条件，故①正确；

对于②：垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交，故②不正确；

对于③：因为随机变量X〜N(3,M),且p(XN6)=0.2,所以p(XW0)=0.2,

所以p(0<X<6)=1-0.2-0.2=0.6,故③不正确；

对于④：设点Q(x,y),由题意得PQ2=Q“2=OM2—OQ2,

则(X-2)2+y2=36-(M+y2),化简得(x-l)2+y2=17,所以点Q的轨迹是一个

圆.故④正确，

故答案为：①④.

对于①：由e[0,2],xl-a>0,得a<4,根据充分必要条件的定义可判断；

对于②：由垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交，可判断；

对于③：根据正态分布的性质计算可判断；

对于④：设点Q(x,y),由题意得PQ2=QM2=OM2-OQ2,代入点坐标，化简根据圆

的定义可判断.

本题考查了对命题真假的判断，也考查了学生的推理能力，属于中档题.

I6.(答案】>/3

【解析】解：如图，

FP所在直线方程为y=：(x+c),

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b

y=-X

联立:，解得Xp

ly=(x+c)b2-a2

•・,4为PF的中点，c-=c,可得炉=2M,

bz-az

则e=£=JI=RI=。

故答案为：V3，

由已知可得PF所在直线方程，与y=-?x联立，可得P点横坐标，再由4为PF的中点,

得手三=c,可得炉=2。2,由此可得双曲线的离心率.

bz-a2

本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题.

17.【答案】解：(1)由题知,f(n)=2n-l,%=2，(")(n6N*).

从而垢=22n-1.

贝期—2,a3=6,

设等差数列｛厮｝的公差为d，则2d=4,

・•・d=2,an=24-2(n-1)=2nfnE/V*.

2n1

(2)由(1)知，an+bn=2n+2-,nWN*.

...„™+2(^=2x42-2+n+n2.

【解析】(1)由题知，/(n)=2n—1.b"=2"n)(n6N*),可得6n.可得%=2,a3=6,

利用等差数列的通项公式可得斯.

2n1

(2)由(1)知，an+bn=2n+2-,n€N*.利用求和公式即可得出.

本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力,

属于基础题.

18.【答案】解：(1)由题知：£=1+2+3+；+5+6+7=%亍=2.9+3.3+3.6+；4+4.8+5.2+5.9=娟,

将x=4代入甲方程得：y=0.5x4-2.3=-0,3丰4.3,

将x=4代入乙方程得：y=-0.5x4+2.3=0.3丰4.3,

将x=4代入丙方程得：y=0.5X4+2.3=4.3,

所以丙的计算结果正确；

(2)由回归方程估计得到的数据分别为：(1,2.8),(2,3.3),(3,3.8),(4,4.3),(5,4.8),(6,5.3),

(7,5.8),

则(3,3.8)为1个不可行数据，(2,3.3),(5,4.8)为完美数据，其余为可靠数据，

则剔除“不可靠数据”后，共有6个数据，其中“完美数据”有2个，从中随机抽取2个,

设其中“完美数据“个数为X,则X=0,1,2,

「4=。)=誓=*。3=1)=等=盘/3=2)=等=也

所以X的分布列为:

X012

681

P

151515

所以欧=。乂2/+2x；|.

【解析】(1)根据线性回归方程过样本中心，结合代入法进行求解判断即可：

(2)根据(1)的结论，结合古典概型的运算公式、数学期望公式进行求解即可.

本题考查了回归方程，离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题.

19.【答案】证明：(1)设4c与8。交于。点，连接尸0,

•••四边形/BCD为菱形，•••AC1BD,。为4c的中点，

,:FA=FC,•••AC1OF,

又OFCBD=0,二AC1平面BDEF,

而BFu平面BDEF,AC1BF；

解:(2)连接DF,•••四边形BDEF为菱形,S.Z.DBF=60°,

；.△DBF为正三角形，。为BO的中点，

•••OF1BD,5LAC1OF,且ACnBD=。，••.OF_L平面ABC。,

以0为坐标原点，分别以。力，OB,。尸所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

AB-2,Z.DAB=60°,•••AB=BD=BF=2,OF=V3-

则4(75,0,0)，8(0,1,0),F(0,0,V3)，E(o,-2,V3).

AE=(-V3.-2.V3)，AF=(-V3,0,V3),同=(一百,1,0)，

设平面4EF的一个法向量为元=(%乃*1),平面4FB的一个法向量为沅=(x2,y2,z2),

由(记•AE=-V3x1-2yl+y/3z1°,取zi=l,得元=(1,0,1)；

(n•AF=-y/3x-i+V5z1=0

由(沆•AB=-—\/3x+y2=0

2取Z2=1,得记=(1,V5,1).

(m-AF=-V3X2+V3Z2=0

mn_1+1_x/To

・•・cos<m,n>=

|m|-|n|一Vs-V2——

由图可知，二面角E-4F—B为钝角,

第14页，共18页

则二面角E-AF-B的余弦值为一回.

5

【解析】(1)设4c与BD交于。点，连接F。，由已知证明4C1BD,AC1OF,可得4cl

平面BDEF,进一步得到4c1BF；

(2)连接DF,由已知证明4DBF为正三角形，。为BD的中点，可得。F1BD,又AC1OF,

且力CCBD=O,则0F1平面ABCD,以0为坐标原点，分别以。4,OB,OF所在直线

为x,y,z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面4EF的一个法向量与平面AFB的一个

法向量，再由两法向量所成角的余弦值可得二面角E-AF-B的余弦值.

本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空

间向量求解空间角，是中档题.

由题意知：=孙=gp，代入抛物线方程得：VM=P，=-P，

所以sAMON=I|MN|X\0F\=ix2pxip=2,解得p=2,

从而抛物线C的方程为y2=4x.

(2)

设做?，月)，B(?,y2)，yi*0>72*

则。(一1/2)，讪=(?,%)，而=(一142)，

由4,0,。三点共线得：Y,y2=-yi)即％丫2=-4,

由题意知：直线AB不与x轴平行，设其方程为x=my+c,

代入抛物线方程得：y2—4my—4c=0.所以为丫2=-4以

故—4c=-4,即c=1>

从而直线4B方程为x=my+1,恒过定点(1,0).

【解析】(1)利用与,=xN=xF=[p求出、M，YN>即可把SAMON表示程关于P的函数，

结合SAMON=2解方程，即可求出结果；

(2)设4(?,乃)，B(^,y2),分别表示出面，9的坐标，即可利用A,0,D三点共线求

出y/2的值，再设4B方程为x=my+c,联立抛物线方程即可求解得到y,2=-4c,

最后求出c的值，即可判断直线AB所过的定点.

本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题.

21.【答案】(1)解：由/(x)W0得，nx—kx+lSO在(0,+8)上恒成立，得k之竺要■在

(0,+8)上恒成立，

构造函数g(x)=等，则g'(x)=(EX+】)隅，(欣+】)=要，

由g'(x)>0得xe(0,1),由g'(x)<0得x6(1,+8),所以g(x)的最大值为g(l)=1,

所以kNl；

(2)证明：由(1)知，当k=1时，-kx+140在(0,+8)恒成立，得，nx+1Sx在

第16页，共18页

（0,+8）上恒成立，令％=i+*（n£N*,n>l）,

得】n（l+专）I所以1+专Ue港,所以（1+专）（1+专）（1+专）…（1+2）三”•k•

••e港=e衰+者+**+a,

因为正<月=（吠1）1但+1）=式1/码1一百1、）,所仁匚以[、[至1+，三1+，…+,莪1,1,1/11.11.

..4--___-+—________）

n-2nn-1n+r

=5+然->京）所以（1+款1+专）…（1+*）<赢neN*,n>1）成立.

【解析】⑴由f(%)<0得In%-kx+1<0在(0,+8)上恒成立，得k>七-在(0,+8)上

恒成立，然后构造函数9(为=等，求该函数在(0,+8)上的最大值即可；

(2)由(1)知,当k=l时，1nx-依+1W0在(0,+8)恒成立，得仇工+14％在(0,+8)上

恒成立，令x=l+^(neN*,n>l),结合吃<一：可证明此题.