2022年高考数学模拟自测题（根据以往高频出现知识点编辑）(十五)

2022年高考数学模拟自测题(根据以往高频出现知

识点编辑)008

单选题(共8个，分值共：)

1、已知函数f(x)=产一;：x+22jWl(aeR),若关于x的不等式f(x)20恒成立，则实数a的取值范围为

()

A.[°JJB.[0,2]

C.[l,e]D.[0,e]

答案：D

解析：

CLW----

先判断aNO时，M-2ax+2QN0在(-8,1]上恒成立；若e*-QXN0在(1,+8)上恒成立，转化为x在

a—)上恒成立.

【本题详解】

当XW1时，由丁-2办+2a20恒成立，二次函数的对称轴为x=a,

(1)当时,A©在(Y°』上单调递减,则"工焉=川)=1>0恒成立，

(2)当“<1时，/(x)而,,="a)=a(2-a)20,所以04"1

综上可知，当“20时，/-2奴+2”20在(-<»,1]上恒成立；

当X>1时，e'-ar20恒成立，即x在。，欣)上恒成立，

“g(x)=—g(x)=——

令x,贝IJX-,

当x>l时，g'(x)>0,函数单增，又g6=e,所以处e；

综上可知，。的取值范围是[°向，

所以正确答案为：D

2、函数/(x)=6sin2x+3sinrco"的()

A.周期是兀，最大值为26B.周期是2m最大值为2百

363―

C.周期是〃，最大值为hD.周期是2兀，最大值为

答案：C

解析:

〃x)=6sinf2x-—+

利用二倍角公式，和三角恒等变换可得I6J2,再根据三角函数的性质，即可求出结果.

【本题详解】

1-cos2x3._

/(x)=\/3sin2x+3sinxcosx=73---------十—sin2x

因为22

=­sinz,x----cos2xH----=sin|2x---H-----

222I6)2

24_

所以函数的周期为三一”,

巫

2x---=—+2k7v,kGZx=—+k7t,keZ

当62，即3时,函数/(x)取最大值，最大值为

所以正确答案为：C.

3、已知直线/:>="的方向向量为1石)，则直线/的倾斜角为()

A.30°B.60℃.120°D.150"

答案：B

解析：

利用直线的方向向量求出其斜率，进而求出倾斜角作答.

【本题详解】

因直线/：丫=履的方向向量为°'G),则直线/的斜率上=石，直线/的倾斜角CH9(r,

于是得tan<z=6,解得c=60,

所以直线/的倾斜角为6。.

所以正确答案为：B

4、已知彳。，向量"=(%°/)，1=(2,7,~4),若打"贝IJx的值为()

A.-IB.IC.-2D.2

答案：D

解析：

根据给定条件利用空间向量垂直的坐标表示计算作答.

【本题详解】

因向量”后=(2,7,T),alb,则ad=2x-4=0,解得x=2,

所以X的值为2.

所以正确答案为：D

2

5、命题“VxeR,/一尢+1>0”的否定为（）

A.VxeR,A^-x+l<0B,VxgR,x2-x+1>0

22

C.HreR（X—x4-1>0p.HreR（X—x4-1<0

答案：D

解析：

根据全称命题的否定是特称命题即可得到答案.

【本题详解】

«VxsR,Y-x+l>0”的否定为：iveR,X2-X+1<0

所以正确答案为：D

£+-2

6、若椭圆〃2的右焦点与抛物线）”=8x的焦点重合，则椭圆的离心率为（）

瓜娓近

A.2B.3C.2D.近

答案：B

解析：

求出抛物线的焦点坐标，可得出。的值，进而可求得椭圆的离心率.

【本题详解】

抛物线）P=8x的焦点坐标为（2,0）,由已知可得/-2=2?,可得a=卡，

c_2_V6

因此，该椭圆的离心率为a瓜3

所以正确答案为：B.

7、已知命题P：TxeR,Y+2>°,则命题2的否定是（）

AVxwH,F+幺,oBG7?,x2+2,,0

QBxe7?,x24-2>OQex24-2<O

答案：B

解析：

根据全称命题的否定是特称命题，可得出选项.

【本题详解】

因为全称命题的否定是特称命题，

由命题尸：八€凡/+2>°,

则命题。的否定是：mxeRX2+2<0

所以正确答案为：B.

3

0

8、已知«=log0,22,*=3\c=log32）则°,。,c的大小关系为（）

A.a<b<CQc<a<b

C.a<c<bD.b<c<a

答案：C

解析：

根据指数函数以及对数函数的单调性，分别判断出a,b,c三个数的范围，从而比较三者大小关系.

【本题详解】

«=log(,2<log().2l=0)斤3°3>1,0<。=1吗2<1

故a<c<b,

所以正确答案为：C.

多选题（共4个，分值共：）

3

9、下列函数中，在区间（1/）上为增函数的是（）

+1

A.y=2'By=iog2（x-i）c,=虫-2历.y=tanx

答案：ABD

解析：

利用函数的性质逐项判断即得.

【本题详解】

3

对于A,"2川在区间（1/）上为增函数，故A正确；

3

对于B,y=bg2（x-）在区间（1/）上为增函数，故B正确；

MX2-2X,X>2[

对于C,[-x+2x,x<2,在区间（i,2）上为减函数，故c错误;

3

对于D,y=tanx在区间。2）上为增函数，故D正确.

所以正确答案为：ABD.

10、下列结论正确的有()

A.若y=2—+3x-l,贝|jy'=4x+3

71,.71

y=cos-y=-sin-

B.若4,则.4

-2

C,若y=m(2x+l),则”2X+1

4

X.1-x

y=一y=---

D.若.一贝卜eJ

答案：ACD

解析：

利用导数的运算公式和法则逐个分析判断即可

【本题详解】

若y=2f+3x-l,则N'=4X+3,A正确

71

y=cos—,3

若.4,则y=°，B不正确.

.S［、y'=--------(2x+l)=-----,C

若y=ln(2x+l),则•2X+12X+1正确.

J=—修丫er

若e,贝ij正确.

所以正确答案为：ACD

z」+£

11、关于复数22（i为虚数单位），下列说法正确的是（）

A.|z|=1B.z+z2=—IC.z3=—ID.（z+l）3=i

答案：AB

解析：

根据复数模的计算公式求得复数的模，可判断A;根据复数的乘方运算可判断B,C,D.

【本题详解】

z=-；+当i-|=J（一;y+g）2.

由复数22，可得V22,故A正确；

Z3=九=（一”亭i）T+奈）=（_9一净）2=1

故c错误;

/1\3/1、2/八,1石.、2/1后、/1%.

(z+l)'=(z+l)(z+l)=(-+—1)­(-+—1)=(--+—-1)-+—1=-1

22222222

故D错误,

所以正确答案为：AB.

12、关于曲线°：-+/=2国+23，下列说法正确的是（）

A.曲线,围成图形的面积为4%+8

B.曲线,所表示的图形有且仅有2条对称轴

5

c.曲线C所表示的图形是中心对称图形

D.曲线C是以(口)为圆心，2为半径的圆

答案：AC

解析：

根据曲线解析式特征画出图形，逐一判断各选项即可.

【本题详解】

对于A：图形在各个象限的面积相等，在第一象限中的图形，是以(1/)为圆心，枝为半径的圆的一半加一个

S]=—万x(可]+，X2X2=7+2,.

直角三角形所得，2L'>J2，所以曲线C围成图形的面积为S=4'=4乃+8,故人正

确；

对于B,由图可知，曲线C所表示的图形对称轴有工轴，)'轴，直线丁二%,直线)'=四条，故B错误；

对于C,由图可知，曲线C所表示的图形是关于原点对称的中心对称图形，故C正确；

对于D,曲线C的图形不是一个圆，故D错误.

所以正确答案为：AC

填空题(共3个，分值共：)

13、已知函数/'(x)=/一6久2+9%—2,给出以下命题:

①若函数y=/(x)+3bx不存在单调递减区间，则实数b的取值范围是(1,+8)；

②过点M(0,2)且与曲线y=/'(x)相切的直线有三条；

③方程f(x)=六的所有实数的和为16；

④方程g(x)=(1+x)ex+f(/(%)-(^+9)),则g(x)的极小值为一会

其中真命题的序号是.

答案：②④

解析：

对于①：求导，由判别式小于等于0得出实数b的取值范围；对于②：利用导数的几何意义得出方程3诏-

6

12劭+9=也二的根，得出切线的条数；对于③：根据对称性得出所有实数的和；对于④：利用导数得出极

x0

值.

【本题详解】

解：因为y=/(x)+3bx=x3-6x2+(9+3b)x-2,

所以y=3x2-12x+9+3b,若函数y=x3-6x2+(9+3b)x-2不存在单调递减区间，

则有4=122—12(9+3b)SO,解得所以①错误；

设过点M(0,2)的直线与曲线y=/(x)相切于点(x(),yo),

322

/(%)=x—6x+9x—2的导数为/'(x)=3%—12%+9,则有3诏—12x0+9=次二，

xo

又点(&,%))在曲线y=f(%)上，所以定-6%o+9x0-2=y0,

_

代入上式，得就-3XQ+2=(%o-1)[々)一(1+V3)][x0-(1V3)]=0,

解得几=1或n=1+遮或&=1-V3,

所以过点M(0,2)且与曲线y=/(%)相切的直线有三条，②正确；

函数/(%)=X3—6%24-9%—2=(%—2)3—3(%—2),

由y=/一3%为奇函数，关于原点对称，可得/(》)的图象关于点(2,0)对称，

且函数y=二的图象也关于点(2,0)对称，

L-X

所以方程/(%)=2的所有实数根的和为2x2x2=8,③错误.

④化简得g(%)=(14-x)ex—|(%2+4x)=g(%)=(24-x)ex-e(2+x)

=(2+x)(ex—e),当%>l,x<-2,g(x)>0,g(x)单调递增,当-2<x<l,g(x)<0g(x)单调递减.故

g(x)极小值为g(l)=综上所述，真命题的序号为②④.

故答案为：②④.

14、已知等差数列｛即｝的公差不为0,%=1,且。2,。4,。8成等比数列，设｛%｝的前。项和为加，则

Su=•

答案：66

解析：

根据a2,a4>。8成等比数列，求出数列的公差，进而求得Su

7

【本题详解】

设等差数列S"｝的公差为d,

2

根据。2，成等比数列得：a4=a2a8,

即（l+3d）2=（l+d）（l+7d）,解得d=l,或d=0（舍去），

故Su=11x1+x1=66,

故答案为：66.

15、已知向量,和3的夹角为150。，且同=百，侬+司=2,则B在五上的投影为

答案：-2百或

解析：

对|2旨+同=2两边平方化简，求出|同，再利用数量积的几何意义可求得结果

【本题详解】

由12a+h|=2,得4或+4a-b+b2=4,

因为向量益和族的夹角为150。，且㈤=旧，

所以4x3+475cos150。同+同2=4,得问“-6同+8=0,

（向-2）（同-4）=0,

所以同=2或间=4,

当问=4时，族在益上的投影为间COS150。=4x（-/）=-2V3,

当同=2时,坂在2上的投影为同cosl50。=2x（一4）=-V3,

综上，族在江上的投影为一2迎或一迎，

故答案为：-2百或-遍

解答题（共6个，分值共：）

16、求下列函数的定义域:

(1)y=2+£；

(2)y=V3—X-A/X—1;

(3)y=(x—i)°+ja

V2-x-x2

(4)y=1——

)Vx+1-l

答案:

(1)(—8,2)U(2,+oo)

(2)[1,3]

(3)(-l,l)U(l,+a>)

(4)[-1,0)U(0,1]

8

解析：

(1)根据分母不为0,列式可求出；

(2)根据二次根式的被开方数大于等于0,列式可求出；

(3)根据底数不为0以及二次根式的被开方数大于等于0且分母不为0,列式可得出.

(4)根据二次根式下被开方数非负以及分母不为零列不等式组，解得结果.

(1)

当且仅当X—230,即XH2时，函数y=2+2有意义，所以这个函数的定义域为(一8,2)U(2,+8).

X—2

(2)

函数有意义，当且仅当解得1SXS3,所以这个函数的定义域为口,3].

(3)

(x—1。0

函数有意义，当且仅当1-二20解得x>—1,且xxl,

IX+1

(%+1。0

所以这个函数的定义域为(一LI)U(1,+8).

(4)

2—x—>0,

函数的定义域由不等式组｛%+1>0^’确定

“+1-1H0

(—2<x<1,

解不等式组，得x>-lfBP%e[-1,0)u(04].

(XH0

所以函数y=磊号的定义域为[-1,0)U(0,1].

17、已知二次函数/(%)=/一2缶-1)%+6在区间(-8,5]上单调递减，求实数a的取值范围.

答案：a26

解析：

根据对称轴与区间的位置关系，即可得到答案；

【详解】

易知函数/Xx)=%2-2(a-l)x+6的图象的对称轴为直线x=a—1,

由题意知/'(x)在区间(-8,5]上单调递减，

所以a-125,解得a26.

18、已知函数f(x)=g(x)+/i(x),g(x)关于M成正比，h(x)关于五成反比，且g(l)=2,九⑴=-3.求:

(1)函数f(x)的解析式及其定义域；

(2)/(4)的值.

答案：

(1)/(%)=2%2—乎，定义域是(0,+8);

9

(2)-

2

解析：

⑴设出g(x)=3：2与九⑺=等利用待定系数法求出自与修从而得到/'(x)的解析式及其定义域；(2)

利用第一问求出的解析式，求出f(4).

(1)

设g(%)=k"(fc1GR,且々1。0),

九3=强(fc2es,且七*0)，

由于g(l)=2,/i(l)=-3,

所以g(l)=fci=2,九(1)=k2=—3.

所以f(x)=2/一套=2/一学，定义域为(0,+8)

(2)

由⑴得，八4)=32-|=M

19、求函数丫=1。9式1一/)的单调区间，并求函数的最小值.

2

答案：单调增区间为［0,1),单调递减区间为1,0)，最小值ymm=0.

解析：

先求得y=log^l-M)的定义域，再利用复合函数的单调性即可求得结果.

2

【详解】

要使y=logi(l-M)有意义，则1—*2>0,

2

所以x2〈l,则一lVxVl,因此函数的定义域为(一1,1).令t=l—x2,xG(-l,1).

当x£(—1,0］时，x增大，t增大，y=ZogK减小，所以当x£(—1,0］时，y=］。g(1一/)单调递减；

22

同理，当x£［0,1)时，y=ZogKl--)单调递增.

2

故函数丫=/。9式1一标)的单调增区间为［0,1),减区间为(-1,0),

2

且函数的最小值%nin=10gg-02)=0.

2

一.tan(2n-a)cos(^—a)cos(6n-d)

20、求证：-----.(3/2/3c----=-tana

sin(a+—］cosla+—］

答案：证明见解析

解析：

对等式左边用诱导公式进行化简证明

【详解】

左边=3曲二皿丝=—tana=右边，所以原等式成立.

-cosasina

21>化简：cos'汨/戊_巴)cos(，+a).

sin(n-0L)\2/\27

10

答案：一cos2a

解析：

利用诱导公式化简即可得答案.

【详解】

解：原式=吟詈1.刖卜(尹同(一sina)

二^2^?,ksi吗一司Lsina)

=£^(—cosM—sina)=—cos2a.

双空题(共1个，分值共：)0

22、我们通常称离心率为亨的椭圆为"黄金椭圆”.如图，已知椭圆C:g+g=l(a>b>0),4,4分别为

左、右顶点，Bi,Bz分别为上、下顶点，&,F2分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，现给出以下四个