2022年人教版新九年级暑期数学培优-第十七讲 用待定系数法求二次函数的解析式（教师版）

第十七讲用待定系数法求二次函数的解析式

【学习目标】

1.会用待定系数法求二次函数的表达式.

2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.

【新课讲解】

知识点1：一般式法二次函数的表达式

1.待定系数法求解二次函数一般式步骤：

(1)设：表达式

(2)代：坐标代入

(3)解：方程(组)

(4)还原：写解析式

2.一般式法求二次函数表达式的方法

这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.

其步骤是：

①设函数表达式为y=ax2+bx+c；

②代入后得到一个三元一次方程组；

③解方程组得到a,b,c的值；

④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.

【例题1】已知二次函数的图象经过点(一1,-5),(0,一4)和(1,1).求这个二次函数的表达式.

【答案】y=2x?+3x-4.

【解析】设这个二次函数的表达式为y=ax?+bx+c.

依题意得

a-b+c=-5,a=2,

,c=—4,解得,b=3,

a+b+c=1,、c=-4,

这个二次函数的表达式为y=2x2+3x-4.

知识点2：顶点法求二次函数的表达式方法

这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：

2

①设函数表达式是y=a(x-h)+k;

②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；

③将另一点的坐标代入原方程求出a值；

④a用数值换掉，写出函数表达式.

【例题2】一个二次函数的图象经点(0,1),它的顶点坐标为(8,9),求这个二次函数的表达式.

【答案】见解析。

【解析】因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9),因此，可以设函数表达式为

y=a(X-8)2+9.

又由于它的图象经过点(0,1),可得0=a(0-8)2+9.

解得a=-9/64

...所求的二次函数的解析式是

9、

片——8)2+9.

64

知识点3：交点法求二次函数的表达式

这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.

交点法求二次函数的表达式其步骤是：

①设函数表达式是y=a(x-x))(x-x2)；

②先把两交点的横坐标xi,X?代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；

③将方程的解代入原方程求出a值；

④a用数值换掉，写出函数表达式.

【例题3】二次函数的图像与坐标轴三个交点是(-3,0),(-1,0),(0,-3),试出这个二次函数的表达式.

【答案】y=-x2-4x-3.

【解析】3,0)(-1,0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是

y二a(x-xi)(x-X2).(其中x1、x?为交点的横坐标.因此得

y=a(x+3)(x+1).

再把点(0,-3)代入上式得

/.a(0+3)(0+1)=-3

解得a=-1,

・••所求的二次函数的表达式是

y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.

知识点4：特殊条件的二次函数的表达式

【例题4】已知二次函数y=ax?+c的图象经过点(2,3)和(一1,一3),求这个二次函数的表达式.

【答案】y=2x2-5

【解析】•.•该图象经过点(2,3)和(-1,一3),

,3=42,

!。+。，解得，,。=

I-3=a+c,5・

.♦•所求二次函数表达式为y=2x2-5

注意;y=ax2Vy=ax，k、y=a(x-h)\y=a(x-h)?+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.

重要：用待定系数法求解二次函数解析式方法总结：

待定系数法

已知条件所选方法

求二次函数解析式

①已知三点坐标用一般式法：J=Ov2+bx+c

②已知顶点坐标或

用顶点法：j=ag1y+k

对称轴或最值

③已知抛物线与X轴用交点法：j=a(x-*i)(*-X2)

的两个交点(为而为交点的横坐标)

用待定系数法求二次函数的解析式过关检测

注意：满分100分，答题时间60分钟

一、单选题（每个小题4分，共32分）

1.某函数图象刚经过（1,1）,该函数的解析式可以是（）

2

A.y=x-B.y=—C.y=2x-2D.y=x+l

x

【答案】A

【解析】把（1,D分别代入四个选项中的解析式，即可判断.

A-把x=l代入＞得y=l,故函数y=%2经过点（1,1）；

2?

B.把x=l代入y=一得y=2,故函数y=一不经过点（1,1）；

xx

C.把%=1代入y=2x-2得y=0,故函数y=2x-2不经过点（1,1）；

D.把x=l代入y=x+i得y=2,故函数y=x+i不经过点（1,1）。

2.过原点的抛物线的解析式是（）

A.y=3x2-lB.y=3x2+1C.y=3（x+1）2D.y=3x2+x

【答案】D

【解析】经过原点（0,0）的抛物线，当龙=0时，y=0代入计算即可判断.

A.当x=0时，丁=一170,不符合题意；

B,当尤=0时，y=l#o,不符合题意；

C.当x=o时，y=3声0,不符合题意；

D.当％=0时，y=0,符合题意。

3.已知点（a,8）在抛物线y=办2上，则。的值为（）

A.±2B.+2V2C.2D.-2

【答案】C

【解析】把点（。,8）代入y=办2,求解即可.

把点（a,8）代入y=a?,得：。3=8

解得：a=2

4.已知二次函数的图象经过点（-1,-5）,（0,-4）和（1,1）,则这二次函数的表达式为（)

A.产-6/+3x+4B.

C.y^^+lx-^D.

【答案】D

【解析】设所求函数的解析式为j-^+fe+c,

把(-1,-5),(0,-4),(1,1)分别代入，

a一h+c='-5(^=2

得：＜c=-4解得，b=3

a+b+c=l[c=-4

所求的函数的解析式为广源+3片4.

5.一个二次函数的图象的顶点坐标为（3,-1）,与y轴的交点（0,-4）,这个二次函数的解析式是（）

A.y=-x-2x+4B.y=——x+2x-4

33

1,

C.y=--（x+3）--1D.y=-x'9+6x-12

【答案】B

【解析】由于已知顶点坐标，则可设顶点式产。（x-3）2-1,然后把（0,-4）代入求出a的值即可得到

抛物线解析式.

设抛物线解析式为产a（x-3）2-1,把（0,-4）代入得：“•（-3）2-1=-%解得：,所以抛物

线解析式为-—（x-3）2-1=--X2+2X-4.

33

6.如图1,是某次排球比赛中运动员垫球时的动作，垫球后排球的运动路线可近似地看作抛物线，在图2

所示的平面直角坐标系中，运动员垫球时（图2中点A）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距

离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图2中点8）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为

2.24米），落地时（图2中点C）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（）.

1485

A.B.V=-----X2+-X+—

7515275152

c.yD.y—*

7515275152

【答案】A

【解析】根据题意结合函数的图象，得出图中A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出函数关系式即可.

0.26+2.24=2.5=*（米）

2

根据题意和所建立的坐标系可知，A（-5,-）,B（0,—）,C（—,0）,

222

设排球运动路线的函数关系式为y=ax2+bx+c,将A、B、C的坐标代入得：

co1

2

5

〈c=—,

2

255,八

—a+—b+c=0

42

.•・排球运动路线的函数关系式为>=一%一船+1

7.二次函数旷=办2+法+。3W0）的部分图象如图所示，则下列说法：①曲c>0；②2a+3=0；③

4（X+1）（X-3）=0；④203b=0.其中正确的个数为（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【解析】如图，由抛物线过（一1,0）,对称轴为x=L根据对称性得到抛物线的图像经过（3,0）,

①图象开口向下，.-.a<0,

与y轴交于正半轴，.".c>0,

对称轴在y轴右侧，.•.b>0,

则abc<0,故①错误；

②对称轴x=-2=l,解得，2a+b=0,故②正确;

2a

③由抛物线与x轴的交点坐标为：（—1,0）,（3,0）,

所以函数解析式为：y=a（x+l）（x-3）,

所以y的值是不断变化的，故③错误：

④•.•抛物线与x轴交于（-1,0）和（3,0）,

.*.a-b+c=0,9a+3b+c=0,

两式相加得，10a+2b+2c=0,

又b=-2a,

；.2c-3b=0,故④正确.

8.图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在图（1）位置时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面

2m,水面宽4m.如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）

B.y=2x2

D.y=0.5x2

【答案】C

【解析】由题意可得，设抛物线解析式为：y=ax2,由图意知抛物线过（2,-2）,故-2=ax22,解得：a=-0.5,

故解析式为y=-0.5x2,选C.

二、填空题（每空4分，共24分）

9.已知A（0,3）,B（2,3）是抛物线y=-x，bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是。

【答案】（1,4）.

【解析】把A、B的坐标代入函数解析式，即可得出方程组，求出方程组的解，即可得出解析式，化成顶点

式即可.

VA(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x"+bx+c上两点,

c=3

二代入得:

-4+2b+c=3'

解得:b=2,c=3,

y=-X2+2X+3

=-(x-1)2+4,

顶点坐标为（1,4）

10.已知点（一1,2）在二次函数>=依2的图象上，则人的值是

【答案】2

【解析】由题意，将点（一1,2）代入二次函数的解析式得：（-1）2山=2,

解得&=2

11.已知二次函数y=or2+4x+c,当x等于-2时，函数值是-1；当x=l时，函数值是5.则此二次函数

的表达式为.

【答案】y=2x2+4x-l

【解析】把两组对应值代入y=ax2+4x+c得到关于a、c的方程组，然后解方程组即可.

4a-8+c=-l

根据题意得:

a+4+c=5

所以抛物线解析式为y=2x?+4x—1,

故填：y=2x2+4x—1.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题

目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当己知抛物线上三点时，常选

择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解：当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶

点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.

12.写出一个图象开口向上，且经过点（0,1）的二次函数的解析式：.

【答案】y=f+i等

【分析】设二次函数的表达式为尸ax2+bx+c(a#0),根据开口向上,a>0,可取a=l,将(0,1)代入得出c=l,

即可得出二次函数表达式.

【详解】设二次函数的表达式为丁=公2+法+。似£0),

•.•图象为开口向上，且经过(0,1),

/.a>0,c=l,

二二次函数表达式可以为：y=/+l(答案不唯一).

13.二次函数了=融2的图象过(2,2),则二次函数的表达式为.

【答案】y^-x2

-2

【解析】将点(2,2)代入二次函数丁=办2中即可求出a的值，从而可确定二次函数的表达式.

•.•二次函数y=a?的图象过(2,2),

r.2=ax2?，

解得6F=—，

2

19

/.二次函数的表达式为y=^x

14.求经过A(l,4),B(-2,1)两点，对称轴为x=-1的抛物线的解析式.

【答案】y=x2+2x+l

【解析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目

给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择

一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点

式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.

根据对称轴解析式，设抛物线顶点式解析式，然后把点A、B的坐标代入解析式，利用待定系数法求函数解

析式求解即可.

设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+k,

•抛物线经过A(1,4),B(-2,1)两点，

4a+k=4,

。+攵=1,

。=1,

解得《

k=0,

二这个抛物线的解析式为y=(x+1)2,gpy=x12+32x+l.

三、解答题(共44分)

15.(8分)已知抛物线产0?+桁+。经过(-1,0),(0,-3),(2,3)三点.

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

1175

【答案】⑴尸2r-x-3；(2)抛物线的开口向上，对称轴为广一，顶点坐标为(一，——).

448

【分析】(1)将三点代入丫=加+取+和得到三元一次方程组，解方程组即可得到a,b,c的值，从而得到

抛物线的解析式.

(2)把解析式化成顶点式，根据抛物线的性质即可得出结论.

a-b+c-0a-2

【详解】解：(1)把(-1,0),(0,-3),(2,3)代入)，=加+公+c,得＜C=-3，解得"=一1.

4a+2b+c=3c=-3

所以，这个抛物线的表达式为尸源-》-3.

125

(2)产2/-x-3=2(x---)2----,

48

1125

所以，抛物线的开口向上，对称轴为广上，顶点坐标为(一，-三)

448

【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质.熟练掌握待定系数法是解题的

关键.

16.(8分)在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过A(-2,0),B(4,0),C(1,3)三点.求这

个二次函数的解析式.

r1228

［答案］y=—xH—x+一

333

【分析】利用抛物线与x轴的两交点坐标，可设交点式y=a(x+2)(x—4),然后把C点坐标代入求事。即

可.

【详解】•.•二次函数的图象经过A(-2,0),B(4,0),

:.设二次函数的解析式为y=«(x+2)(x-4),

•.•图象过点C(l,3),

.•.3=a(l+2)(l-4),

解得：a=—,

3

I198

二次函数的解析式为y=——(x+4)=———x+—,

128

故二次函数的解析式为：y=—x2+-x+-.

-333

【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题

目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点

式来求解.

17.(12分)已知：对称轴为x=l的抛物线经过A(-1,0),B(2,一3)两点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)设点P是该抛物线在第四象限内的图象上的一个动点，连接PO交直线A3于点。，当Q是OP中点

时，试求点P的坐标.

【答案】(1)y=x2-2x-3；(2)点P(匕逝，$5).

22

【分析】(1)对称轴为x=l的抛物线经过A(-1,0),则抛物线与x轴的另外一个交点坐标为：(3,0),

则抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x-3),即可求解；

(2)设点P(m,m2-2m-3),当Q是OP中点时，则点Q(」相,心^^口)，即可求解.

22

【详解】解：(1):对称轴为x=l的抛物线经过A(-1,0),

...抛物线与x轴的另外一个交点为(3,0),

则抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),

将点B的坐标代入上式并解得a=1,

故抛物线的解析式为：y=x2-2x-3

(2)设点P(m,m2-2m-3),m>0

设直线AB的解析式为y=kx+b

—k+b=Q

将点A、B的坐标代入一次函数解析式，得,°

2%+6=-3

k=—\

解得，\

b=—\

所以，直线AB的表达式为：y=-x-1,

1ivi~