202022学度高三文科期中考试答案

2022-2022学年高三文科期中考试试题答案一、单选题1．设，则“a=1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,【答案】C【解析】若直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行，则,且解得故选点睛：这是一道关于充分条件和必要条件判断的题目。考查的主要是充分条件，必要条件，熟练掌握掌握充分条件和必要条件的判定方法。本题中，利用直线平行的条件是解决问题的关键。2．若抛物线的准线为圆的一条切线，则抛物线的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出抛物线的准线方程为，再根据直线和圆相切求出p的值得解.【详解】∵抛物线的准线方程为，垂直于x轴．而圆垂直于x轴的一条切线为，则，即．故抛物线的方程为．故选：C．【点睛】本题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．圆与圆的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程．【详解】将两圆方程相减可得即当时，，当时，交点与，故选B．【点睛】本题考查圆与圆的位置关系．两圆方程分别为，，则两方程相减得，为：两圆相交时是相交弦所在直线方程，两圆相切时，是过切点的公共切线的方程．4．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【解析】【分析】求出点关于轴的对称点，再求出过且与已知圆相切的直线的斜率即为反射光线所在直线的斜率.【详解】点关于轴的对称点的坐标为，圆的圆心为，半径为.设过且与已知圆相切的直线的斜率为，则切线方程为即，所以圆心到切线的距离为，解得或，故选C.【点睛】解析几何中光线的入射与反射，常转为点关于直线的对称点来考虑，此类问题属于基础题.5．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（）A．内切 B．相交 C．外切 D．相离【答案】B【解析】化简圆到直线的距离，又两圆相交.选B6．已知两点，直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是()A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】求出直线所过定点，画出图形，再求出，的斜率，数形结合得答案．【详解】解：直线过定点，，，直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是．故选：．【点睛】本题考查直线系方程的应用，考查直线斜率的求法，体现了数形结合的解题思想方法，是基础题．7．已知直线与椭圆交于两点，且线段中点为，若直线（为坐标原点）的倾斜角为，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用点差法求解可得直线和斜率间的关系，进而得到，再根据椭圆离心率的定义可得所求．【详解】设，∵点在椭圆上，∴，两式相减整理得，∴，即，∴，∴，∴椭圆的离心率为．故选D．【点睛】求椭圆离心率或其范围的方法：①根据题意求出的值，再由离心率的定义直接求解．②由题意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去，然后转化成关于的方程(或不等式)求解．8．已知圆的半径为1，为该圆的两条切线，为两切点，那么的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：如图所示：设，则所以当且仅当时取“=”，故最小值为考点：向量的数量积的应用9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，准线为l，过点F倾斜角为的直线l'与抛物线交于不同的两点A，B（其中点A在第一象限），过点A作，垂足为M且，则抛物线的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设直线与轴交于点，连接，先证得为等边三角形，然后在中，求出即得到的值，进而可得结果.【详解】设直线与轴交于点，连接，因为直线的倾斜角为，所以，又，所以为等边三角形，即，则，在中，，所以，即，所以抛物线的方程为，故选D．【点睛】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．10．若直线与曲线有两个不同交点，则实数的范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】表示的曲线为圆心在原点，半径是1的圆在轴以及轴上方的部分，把斜率是1的直线平行移动，即可求得结论．【详解】∵有表示的曲线为圆心在原点，半径是1的圆在轴以及轴上方的部分．作出曲线有的图象，在同一坐标系中，再作出直线，平移过程中，直线先与圆相切，再与圆有两个交点，直线与曲线相切时，可得，∴，当直线经过点时，，直线，而该直线也经过，即直线与半圆有2个交点．．故选：D．【点睛】本题考查直线与曲线的交点问题，在同一坐标系中，分别作出函数的图象，借助于数形结合是求解的关键．11．已知F1,F2分别是双曲线C：x2a2A.3 B.3 C.2 D.2【答案】C【解析】【分析】求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，O【详解】由题意，F1−c,0,则F2到渐近线的距离为bc设F2关于渐近线的对称点为M,F2∴MF2又O是F1F2∴ΔMF∴由勾股定理得4c∴3c∴c=2a,∴e=2，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线与离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出a,c，从而求出e;②构造a,c的齐次式，求出e;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．12．设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（）A.必在圆内 B.必在圆上C.必在圆外 D.以上三种情形都有可能【答案】A【解析】【分析】判断点和圆的关系，则判断与2的关系即可。其中的关系来自的两根，故两根关系用韦达定理得出。【详解】因为的两个实根分别为和，故，，故又椭圆离心率，故，即，故点必在圆内。选A.【点睛】本题使用韦达定理以及离心率的化简，遇到时，因为已知离心率的范围，故转换成都是的关系，凑出离心率从而带入求范围。二、填空题13．已知是直线的倾斜角，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】先求出，再将所求式子分子、分母同时除以，然后将代入即可。【详解】由是直线的倾斜角，可得，所以.【点睛】本题主要考查直线的斜率公式及齐次式弦化切问题，属基础题。14．已知点是椭圆上一点，其左、右焦点分别为，若的外接圆半径为，则的面积是_______．【答案】或【解析】【分析】由的外接圆半径为，又已知，故可用正弦定理算出或，再分两种情况用焦点三角形面积公式即可。【详解】由题得，，由正弦定理得，又，代入得，故或，又当在上顶点时，，故或均能够满足。故当时，，当时，，故填或。【点睛】由外接圆半径联想到用正弦定理，又要求焦点三角形面积，故用。15．是双曲线右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为_______________．【答案】6【解析】【分析】注意两个圆的圆心分别是双曲线的两个焦点，利用双曲线定义做，连接与左焦点延长与下半圆交于点，交上半圆于点，显然是最大值.【详解】圆的圆心是，半径是，圆的圆心是，半径是，连接与左焦点延长与下半圆交于点，交上半圆于点，显然是最大值，故答案是：6.【点睛】该题考查的是有关双曲线上的点到两个元上的点的距离的差的最大值问题，在求解的过程中，涉及到的知识点有点与圆上的动点的距离的最大值与最小值等于其到圆心的距离与半径的和与差，双曲线的定义，属于简单题目.16．过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，为坐标原点．若，则的长________．【答案】【解析】【分析】画出图像，根据抛物线的定义求得，利用相似三角形，对应边成比例，列方程求得的长.【详解】设,如图：；，由相似于三角形FHB得：.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查相似三角形的性质，属于基础题.三、解答题17．设数列的各项均为正数，的前n项和，（1）求数列的通项公式；（2）设等比数列的首项为2，公比为q（），前n项和为.若存在正整数m，使得，求q的值.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）先由求出，再由时，，求出通项，进而可求出结果；（2）先由（1）得到，根据，得到，结合题意求出或，分情况讨论，即可求出结果.【详解】（1）当时，，则.当时，，即，所以.因为数列的各项均为正数，所以，所以，所以数列是公差为4的等差数列，所以.（2）由（1）知，.由，得，所以.因为，所以，即，由于，所以或.当时，，解得（舍负），当时，，解得（舍负），所以q的值为或.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.18．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，相交于点，，为的中点，.（1）求证：平面；（2）求证：平面【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】（1）连结，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）根据线面垂直的判定定理，即可直接证明结论成立.【详解】（1）连结.因为四边形是平行四边形，，相交于点，所以为的中点.因为为的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）因为，为的中点，所以.由（1）知，，所以.因为，，平面，，所以平面.【点睛】本题主要考查线面平行，线面垂直的判定，熟记判定定理即可，属于常考题型.19．某地合作农场的果园进入盛果期，果农利用互联网电商渠道销售苹果，苹果单果直径不同则单价不同，为了更好的销售，现从该合作农场果园的苹果树上随机摘下了50个苹果测量其直径，经统计，其单果直径分布在区间内（单位：)，统计的茎叶图如图所示：（Ⅰ)按分层抽样的方法从单果直径落在，的苹果中随机抽取6个，则从，的苹果中各抽取几个？（Ⅱ)从（Ⅰ)中选出的6个苹果中随机抽取2个，求这两个苹果单果直径均在内的概率；（Ⅲ)以此茎叶图中单果直径出现的频率代表概率，若该合作农场的果园有20万个苹果约5万千克待出售，某电商提出两种收购方案：方案：所有苹果均以5.5元/千克收购；方案：按苹果单果直径大小分3类装箱收购，每箱装25个苹果，定价收购方式为：单果直径在内按35元/箱收购，在内按45元/箱收购，在内按55元/箱收购.包装箱与分拣装箱费用为5元/箱（该费用由合作农场承担).请你通过计算为该合作农场推荐收益最好的方案.【答案】（Ⅰ)4个；（Ⅱ)；（Ⅲ）方案是【解析】【分析】（Ⅰ）单果直径落在，，，的苹果个数分别为6，12，分层抽样的方法从单果直径落在，，，的苹果中随机抽取6个，单果直径落在，，，的苹果分别抽取2个和4个；（Ⅱ）从这6个苹果中随机抽取2个，基本事件总数，这两个苹果单果直径均在，内包含的基本事件个数，由此能求出这两个苹果单果直径均在，内的概率；（Ⅲ）分别求出按方案与方案该合作农场收益，比较大小得结论．【详解】（Ⅰ)由茎叶图可知，单果直径落在，的苹果分别为6个，12个，依题意知抽样比为，所以单果直径落在的苹果抽取个数为个，单果直径落在的苹果抽取个数为个（Ⅱ）记单果直径落在的苹果为，，记单果直径落在的苹果为，若从这6个苹果中随机抽取2个，则所有可能结果为：，，，，，，，，，，，，，，，即基本事件的总数为15个.这两个苹果单果直径均落在内包含的基本事件个数为6个，所以这两个苹果单果直径均落在内的概率为.（Ⅲ）按方案：该合作农场收益为：（万元）；按方案：依题意可知合作农场的果园共有万箱，即8000箱苹果，则该合作农场收益为：元，即为31.36万元因为，所以为该合作农场推荐收益最好的方案是.【点睛】本题考查概率、最佳方案的确定，考查茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．在平面直角坐标系xOy中，己知椭圆C：的左、右顶点为A，B，右焦点为F.过点A且斜率为k（）的直线交椭圆C于另一点P.（1）求椭圆C的离心率；（2）若，求的值；（3）设直线l:，延长AP交直线l于点Q，线段BO的中点为E，求证：点B关于直线EF的对称点在直线PF上。【答案】（1）（2）（3）详见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的方程，结合椭圆离心率的求法，即可求出结果；（2）先由题意，得到直线AP的方程为代入椭圆方程，求出点P的坐标，表示出与，进而可得出结果；（3）由直线AP的方程与直线l的方程联立，求出，表示出直线EF的斜率，再由结合韦达定理，以及题中条件，表示出直线PF的斜率，再由题意，即可证明结论成立.【详解】（1）因为椭圆C：，所以，，.又，所以，，所以椭圆C的离心率.（2）因为直线AP的斜率为，且过椭圆C的左顶点，所以直线AP的方程为.代入椭圆C的方程，得，即，解得或（舍去），将代入，得，所以点P的坐标为.又椭圆C的右顶点B（2t,0），所以，，所以.（3）直线AP的方程为，将代入，得，所以.因为E为线段BQ的中点，所以，因为焦点F的坐标为（t,0），所以直线EF的斜率.联立消y得，.由于，，所以，所以点P的坐标为，所以直线PF的斜率.而直线EF的斜率为2k，若设，则有，即，所以点B关于直线EF的对称点在直线PF上.【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，以及椭圆的应用，熟记椭圆的方程，以及椭圆的简单性质即可，通常处理此类题型时，需联立直线与椭圆方程，结合韦达定理等求解，属于常考题型.21．已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间；（2）设函数，若，且在上恒成立，求的取值范围；（3）设函数，若，且在上存在零点，求的取值范围.【答案】（1）函数的单调减区间为，单调增区间为；（2）；（3）【解析】【分析】（1）求导后，根据导函数的符号即可确定单调区间；（2）分别在和两种情况下，判断恒成立的条件；当时，利用二次函数的性质，结合可构造不等式求得的范围；当时，利用分离变量法得到恒成立，进而通过求解右侧函数最小值得到的范围；两个范围取交集即为最终结果；（3）将函数在上存在零点转化为在上有解的问题；通过讨论的正负可分离变量变为，利用导数求解不等式右侧函数的最大值得到结果.【详解】（1）当时，令得：函数的定义域为当时，；当时，，函数的单调减区间为，单调增区间为（2）由得：.当时，恒成立当，即时，恒成立；当，即时，解得：综上所述：当时，由恒成立得：恒成立设，则.令得：当时，；当时，综上所述：的取值范围为：（3）在上存在零点在上有解即在上有解又，即在上有解设，则令得：当时，；当时，，即.设，则同理可证：则在上单调递减，在上单调递增，故的取值范围为：【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的单调区间、恒成立问题的求解、函数在区间内有零点问题的求解等知识；解决函数在区间内有零点的关键是能够将问题转化为方程或不等式有