初二数学第28讲：全等三角形 （含答案）

全等三角形概念和性质1、知识与能力：理解全等三角形及相关概念，能够从图形中寻找全等三角形，探索并掌握全等三角形的性质，能够利用性质解决简单的问题。2、过程与方法：在探索全等三角形性质的过程中，体会研究问题的方法，感受图形变化途径。3、情感、态度与价值观：培养学生的识图能力、归纳总结能力和应用意识。1.全等形（1）定义：能够________的两个图形叫做全等形。理解要点：图形的全等与他们的位置无关，只要满足能够完全重合即可；而完全重合包含两层意思：图形的________、________；全等形的周长、面积分别相等，但周长或面积相等的两个图形不一定全等。（2）几种常用全等变换的方式：平移、翻折、旋转。2.全等三角形及相关的概念（1）全等三角形的定义：能够________的两个三角形叫做全等三角形。（2）全等三角形对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，①对应顶点：重合的顶点；②对应边：重合的边；③对应角：重合的角。（3）全等三角形的表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，如图所示△ABC≌△DEF。符号“≌”的含义：“∽”表示_______，“=”表示________，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等。（4）全等三角形的书写：①字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边，对应角，如△CAB≌FDE,则AB与__、AC与__、BC与__是对应边，∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F时对应角；②图形位置确定法：公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角；③图形大小确定法：两个全等三角形的最大的边（角）是________，最小的边（角）是对应边（角）。（5）对应边（角）与对边（角）的区别：对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边，两个角的关系；而对边、对角是指一个三角形的边和角的________。对边是与对角相对的边，对角是与边相对的角。易错提示：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，字母顺序不能随意书写。3.全等三角形的性质性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。还具备：全等三角形的对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的_________、_________。易错提示：周长相等的两个三角形不一定全等，面积相等的两个三角形也不一定全等。参考答案1.完全重合形状相同大小相等2.完全重合形状相同大小相等DEDFEF对应边（角）位置关系3.周长相等面积也相等1.全等三角形对应角相等,对应角相等【例1】如图是“人”字形屋梁，AB＝AC．现在要在水平横梁BC上立一根垂直的支柱支撑屋梁，工人师傅取BC的中点D，然后在A，D之间竖支柱AD．那么这根AD符合“垂直”的要求吗？为什么？【解析】AD⊥BC符合要求，理由如下：∵点D是BC的中点，∴BD＝CD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠ADB＝∠ADC.又∵∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∴AD⊥BC．练1.如图所示，已知：A，C，F，D四点在同一直线上，AB＝DE，BC＝EF，AF＝DC，求证：AB∥DE.【解析】先根据SSS证明两三角形全等，由三角形全等的性质得出：∠A＝∠D，即可证明AB∥DE．证明：∵AF＝DC，∴AF－CF＝DC－CF．∴AC＝DF．在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS）．∴∠A＝∠D．∴AB∥DE．练2.已知：如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，求证：∠C＝∠A.【解析】连接BD，在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD（SSS）．∴∠C＝∠A．练3.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，求证：∠A＋∠D＝180°.【解析】证明：连接AC，在△ADC与△CBA中，∴△ADC≌△CBA（SSS），∴∠ACD＝∠CAB，∴AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°．【例2】如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（）A．40° B．35°C．30°D．25°【解析】：∵∠B=80°，∠C=30°，∴∠BAC=180°-80°-30°=70°，∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE=∠BAC=70°，∴∠EAC=∠DAE-∠DAC，=70°-35°，=35°．答案：B练4.如图，若△ABC≌△AEF，则对于结论：（1）AC=AF；（2）∠FAB=∠EAB；（3）EF=BC；（4）∠EAB=∠FAC．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】∵△ABC≌△AEF，∴AC=AF，EF=BC，∠EAF=∠BAC，故（1）（3）正确，∴∠EAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF，即∠EAB=∠FAC，故（4）正确，只有AF平分∠BAC时，∠FAB=∠EAB正确，故（2）错误．综上所述，正确的是（1）（3）（4）共3个．答案：C【例3】.如果△ABC≌△ADC，AB=AD，∠B=70°，BC=3cm，那么∠D=______，DC=________．【解析】：∵△ABC≌△ADC，∴∠D=∠B=70°，DC=BC=3cm．答案：70°；3cm练5.如图，如果△ABC≌△DEF，△DEF周长是32cm，DE=9cm，EF=13cm，∠E=∠B，则AC=____cm.【解析】：DF=32-DE-EF=10cm．∵△ABC≌△DEF，∠E=∠B，∴AC=DF=10cm．练6．（2014秋•涞水县期末）如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，则∠D的度数为（）A．50°B.30°C．80°D．100°【解析】利用SAS可证明△AOD≌△COB，则∠D=∠B=30°．解：∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB（SAS），∴∠D=∠B=30°．故选B．【例4】如图，若△OAD≌△OBC，且∠0=65°，∠BEA=135°，求∠C的度数。【解析】：∵△OAD≌△OBC，∴∠C=∠D，∠OBC=∠OAD，∵∠0=65°，∴∠OBC=180°-65°-∠C=115°-∠C，在四边形AOBE中，∠O+∠OBC+∠BEA+∠OAD=360°，∴65°+115°-∠C+135°+115°-∠C=360°，解得∠C=35°答案：∠C=35°练7.如图，已知△ABC≌△DEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度数和EC的长．【解析】：∵∠A=30°，∠B=50°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-30°-50°=100°，∵△ABC≌△DEF，∴∠DFE=∠ACB=100°，EF=BC，∴EF-CF=BC-CF，即EC=BF，∵BF=2，∴EC=2．答案：∠DFE=100°；EC=2．【例5】(2015凉山州一中月考)若△ABC≌△DEF，△ABC的周长为100，AB=30，EF=25，则AC=（）A、55B、45C、30D、25【解析】三角形全等的性质：周长相等，对应边相等。∵△ABC≌△DEF∴EF=BC=25∴AC=100-AB-BC=45答案：B练8.（2015鹰潭一中月考）如图，△ABC≌△ADE，且∠EAB＝120°，∠B＝30°，∠CAD＝10°，∠CFD=______°【解析】∵△ABC≌△ADE∴∠DAE=∠BAC=(120º-10º)/2=55º∴∠CFA=180º-30º-10º-55º=95º∴∠CFD=180º-∠CFA=85º答案：85º总结：全等三角形对应角相等，三角形内角和180º的性质，互为补角的两个角和为180º.【例6】（2014湖北新县大王镇中学期中）如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=30°，则∠ADC的度数为（）A.160°B．110°C．140°D．120°【解析】∵△ABD≌△CBD∴∠ABD=∠CBD=30º∵∠A=80°∴∠C=80º∴∠ADC=360º-30º-80º-80º=170º练9.如图：△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=___________．【解析】∵△ABC≌△DEF∴∠E=∠B=50º答案：50º练10.（2015镇江枫叶国际学校月考）如图，已知△ABC≌△DEF,∠A=55°，∠E=50°，BC=10，CE=7，则∠D=；∠2=；CF=.【解析】∵△ABC≌△DEF∴∠D=∠A=55º∠1=180º-∠D-∠E=75ºEF=BC∴CF=EF-CE=3答案：55º75º31．（2014-2015北京七中第一学期期中）如图,已知△ABC的六个元素,则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙2.(2014-2015北京市第三十一中第一学期期中考试)如图所示，QUOTEa,b,c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（）AABCD3.(2014-2015北京市第四十四中学第一学期期中)如图，△ABC≌△CDA，∠BAC＝85°，∠B＝65°，则∠CAD度数为（）A.30°B.65°C.40°D.85°ＤＤＣＡＢ4.如图所示，△AOB≌△COD，∠AOB=∠COD，∠A=∠C，则∠D的对应角是_______，图中相等的线段有___________．5.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是A（-3，0），B（0，2），△OA′B′≌△OAB，A′在x轴上，则点B′的坐标是__________．6.已知△ABC≌△DEF，BC=EF=6cm，△ABC的面积为18cm2，则EF边上的高的长是____cm．7.在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标___________．8.如图，△ABC≌△DCB，AC与BD相交于点E，若∠A=∠D=80°，∠ABC=60°，则∠BEC等于___________.一、选择题1.（2015太原一中月考）如图1，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）A.20°B．30°C．35°D．40°2．（2014铜仁地区五中期末）如图2，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，则DE的长是（）A.5B.4C.3D.23.（2014黑龙江齐齐哈尔一中期末）如图3，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）A.15°B．20°C．25°D．30°图1图2图34.（2014-2015北京市第四十一中学第一学期期中）已知：如图，ΔABD≌CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（）A．DBB．BC C．CD D．AD图4图55．已知：如图，ΔABD≌CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（）A．DB B．BCC．CD D．AD二、填空题6．（2014-2015北京市第四十一中学第一学期期中）如图6，已知△ABE≌△DCE，AE＝2cm，BE＝1.5cm，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝_____cm，EC＝_____cm，∠C＝_____°；∠D＝_____°图67.全等三角形的对应边_____，对应角_____，这是全等三角形的重要性质．8．如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____，∠DEF的对应角是_____．图99．如图9所示，ΔABC≌ΔDCB．（1）若∠D＝74°∠DBC＝38°，则∠A＝_____，∠ABC＝_____（2）如果AC＝DB，请指出其他的对应边_____；（3）如果ΔAOB≌ΔDOC，请指出所有的对应边_____，对应角_____．图1010．如图10，已知△ABE≌△DCE，AE＝2cm，BE＝1.5cm，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝_____cm，EC＝_____cm，∠C＝_____°；∠D＝_____°．11．一个图形经过平移、翻折、旋转后，_____变化了，但__________都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形。12．下列命题中，真命题的个数是（）①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等A．4 B．3 C．2 D．113．如图13，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于（）A．6 B．5 C．4 D．无法确定图13图14图1514．如图14，△ABC≌△AEF，若∠ABC和∠AEF是对应角，则∠EAC等于（）A．∠ACB B．∠CAF C．∠BAF D．∠BAC15．如图15，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40° B．35° C．30° D．25°二、填空题16．如图16，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的若