202022学年度高二数学试卷

2022-2022学年上学期仙游一中莆田四中莆田五中莆田六中期末联考试卷高二数学试题本卷满分：150分，完卷时间：2小时一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题p：∀x∈R，>0(a>0且a≠1)，则()A．¬p：∀x∈R，≤0 B．¬p：∀x∈R，>0C．¬p：∃x0∈R，>0 D．¬p：∃x0∈R，≤02．设，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知，，且，则（）A． B． C． D．4．如果曲线y＝2x2＋x＋10的一条切线与直线y＝5x＋3平行，则切点坐标为()．A．(－1，－8) B．(1,13)C．(1,12)或(－1,8) D．(1,7)或(－1，－1)5．是直线与直线平行的（）A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要条件D．既不充分也不必要6．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是()A．12，－8B．1，－8C7．如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的对角线BD1上，记，当∠APC为钝角时，λ的取值范围是（）A． B．C． D．8．已知点是抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，是圆：上一动点，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．69．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则a+b的值为A．－1或3B．1或－3C．3D．－10．如图在一个600的二面角的棱上有两个点，，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，且，则的长为（）A．1B．C．2D．11．已知椭圆和双曲线有相同的焦点，设点P是该椭圆和双曲线的一个公共点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为（）A． B． C． D．12．若关于的不等式的解集为，且中只有一个整数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13．设复数，则z=_________.14．抛物线的准线方程为_________.15．过原点作函数的图像的切线，则切线方程是_________.16．如图，在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合），则下列结论正确的是__________.①存在点，使得平面平面；②存在点，使得平面；③的面积不可能等于；④若分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点，使得.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知函数，且，（1）求，的值；（2）求函数的单调递减区间18．(本小题满分12分)已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，且（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B且线段AB的中点在圆上，求m的值19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，为的中点，平面，，为的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.20．(本小题满分12分)如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为2的等边三角形，，．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．21．(本小题满分12分)已知点，圆，点是圆上一动点，的垂直平分线与交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线，过点且斜率不为0的直线与交于两点，点关于轴的对称点为，证明直线过定点，并求面积的最大值.22．(本小题满分12分)已知函数（）．(1)讨论的单调性；(2)当时，，求的最大整数值．2022-2022学年上学期仙游一中莆田四中莆田五中莆田六中期末联考试卷高二数学参考答案一、单选题1—5DACBC6—10ADBCC11—12AD二、填空题13.－4－i14.15.16.①②④三、解答题17.【解】(1)所以，解得综上所述………………5分(2)=令，解得或令，解得所以的单调增区间为和，单调递减区间为……………10分18.【解】（1）由题意，，解得，c=．∴．∴双曲线C的方程为；…………4分（2）由，得3x2-6mx-3m2设A（x1，y1），B（x2，y2），………6分∴x1+x2=2m，又中点在直线x-y+m∴中点坐标为（m，2m），代入x2+y2=5得m∴m的值为±1．………12分19.详解：(1)因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以PO⊥AD，而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.…………5分(2)连接DO，取DO的中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝PO＝1.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝，所以DO＝，从而AN＝DO＝.在Rt△ANM中，tan∠MAN＝＝＝，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.…………………12分20.证明：（1）取中点，连结，∵，∴，，∵平面，平面平面，平面平面，∴平面，∵平面，∴，又，∴四边形是平行四边形，∴，∵是等边三角形，∴，∵平面，平面平面，平面平面，∴平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．…………6分（2）解：由（1）得平面，∴，又，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，，则，取，得，设平面与平面所成锐二面角的平面角为，则．∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．……12分21.解：（1）由已知得：，所以又,所以点的轨迹是以为焦点，长轴长等于4的椭圆，所以点轨迹方程是.……4分（2）当存在时，设直线，，则，联立直线与椭圆得，得，∴，…………6分∴，所以直线，所以令，得，………9分所以直线过定点，（当不存在时仍适合）…………10分所以的面积，当且仅当时，等号成立.所以面积的最大值是.……………12分22.解：（1）函数的定义域为．，………………1分当时，，在上单调递增，……2分当时，令，得，令，得，在上单调递减，在上单调递增.……4分（2）由（1）知，当时在上单调递增，又，所以当时，，