材料力学课件

1材料力学目录2第一章

绪论目录3第一章绪论目录§1-1、材料力学的任务§1-2、变形固体的基本假设§1-3、外力、内力及应力的概念§1-4、位移、变形及应变的概念§1-5、构件的分类杆件的基本变形目录4桥梁结构§1-1、材料力学的任务二目录5航空航天目录§1-1、材料力学的任务6目录§1-1、材料力学的任务比萨斜塔7四川彩虹桥坍塌目录§1-1、材料力学的任务8目录§1-1、材料力学的任务9目录§1-1、材料力学的任务10一§1-1、材料力学的任务一、对构件的三项基本要求具有足够的强度构件在外载作用下，抵抗破坏的能力。例如储气罐不应爆破。（破坏——断裂或变形过量不能恢复）具有足够的刚度构件在外载作用下，抵抗可恢复变形的能力。例如机床主轴不应变形过大，否则影响加工精度。满足稳定性要求构件在某种外载作用下，保持其原有平衡状态的能力。例如柱子不能弯等。目录11

上面提到了术语1、构件ComponentorMember：组成机械的零件或构筑物的杆件统称为构件

2、结构Structure：由构件组成的体系，工程结构是工程实际中采用的结构3、载荷Load：构件和结构承受的负载或荷重载荷有——内载荷外载荷4、变形Deformation：在载荷的作用下，构件的形状及尺寸发生的变化称为变形目录12二、材料力学的任务

1）研究材料的力学性能

2）研究构件的强度、刚度和稳定性等

3）合理解决安全与经济之间的矛盾

构件的强度、刚度和稳定性不仅与构件的形状有关，而且与所用材料的力学性能有关，因此在进行理论分析的基础上，实验研究是完成材料力学的任务所必需的途径和手段。目录13三、材料力学的作用——

承前启后的阶段性

1.后续的力学（其它的变形体力学）学好材料力学对学习其他变形体力学的奠基作用结构力学，弹性力学，塑性力学，断裂力学,纳米力学流体力学

2.后续的专业课程建筑结构机械设计结构设计原理3.有助于学习其它工程：土木、机械、航空、航天、交通、运输、材料、生物、工程、仪表等4.今后工程工作中直接受益目录14§1-2、变形固体的基本假设三连续性假设：认为整个物体体积内毫无空隙地充满物质在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称为变形固体，而构件一般均由固体材料制成，故构件一般都是变形固体。均匀性假设：认为物体内的任何部分，其力学性能相同各向同性假设：认为在物体内各个不同方向的力学性能相同目录15小变形与线弹性范围ABCFδ1δ2δ远小于构件的最小尺寸，所以通过节点平衡求各杆内力时，把支架的变形略去不计。计算得到很大的简化。目录16§1-3、外力及其分类四外力：按外力作用的方式体积力:是连续分布于物体内部各点的力如物体的自重和惯性力面积力:如油缸内壁的压力，水坝受到的水压力等均为分布力若外力作用面积远小于物体表面的尺寸，可作为作用于一点的集中力。如火车轮对钢轨的压力等按时间分布力：集中力：静载：动载：缓慢加载（a≈0）快速加载（a≠0），或冲击加载目录17外力作用引起构件内部的附加相互作用力。求内力的方法－－截面法1、切2、留3、代4、平内力目录§1-4、内力、截面法及应力的概念18FSMFFaa目录§1-4、内力、截面法及应力的概念19一点的应力：当面积趋于零时，平均应力的大小和方向都将趋于一定极限，得到应力的国际单位为Pa1N/m2=1Pa（帕斯卡）1MPa=106Pa1GPa=109Pa应力总量P可以分解成:

垂直于截面的分量σ－－正应力平行于截面的分量τ－－切应力应力目录平均应力:某范围内单位面积上内力的平均集度§1-4、内力、截面法及应力的概念20§1-5、变形及应变五FC’D’E’位移线位移角位移变形线变形角变形应变线（正）应变角（切）应变AA’CDE目录21§1-5、构件的分类杆件的基本变形六构件的分类：杆件、板壳*、块体*杆件：直杆：折杆：曲杆：等截面直杆、变截面直杆等截面折杆、变截面折杆*等截面曲杆、变截面曲杆*目录22拉压变形拉（压）、剪切、扭转、弯曲剪切变形杆件的基本变形：目录§1-6、构件的分类杆件的基本变形23扭转变形弯曲变形目录§1-6、构件的分类杆件的基本变形24

第二章

拉伸压缩与剪切

25轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长（简称拉伸）轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短（简称压缩）§2-1轴向拉伸与压缩的概念和实例26

拉、压的特点：1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反2.变形——沿轴线27§2-2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力1、横截面上的内力FF(1)轴力：横截面上的内力(2)截面法求轴力mmFFN切:假想沿m-m横截面将杆切开留:留下左半段或右半段代:将抛掉部分对留下部分的作用用内力代替平:对留下部分写平衡方程求出内力即轴力的值FFN目录28(3)轴力正负号：拉为正、压为负(4)轴力图：轴力沿杆件轴线的变化由于外力的作用线与杆件的轴线重合，内力的作用线也与杆件的轴线重合。所以称为轴力。FFmmFFNFFN目录29已知F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。11例题2-1解：1、计算各段的轴力。AB段BC段2233FN2F1F2CD段2、绘制轴力图。目录F1F3F2F4ABCDFN1F1FN3F430目录312、横截面上的应力杆件1——轴力=1N,截面积=0.1cm2

杆件2——轴力=100N,截面积=100cm2

哪个杆工作“累”？不能只看轴力，要看单位面积上的力——应力怎样求出应力？(内力集度）

思路——应力是内力延伸出的概念，应当由

内力

应力32由积分得1）静力平衡截面各点应力的分布？因不知道，故上式求不出应力

要想另外的办法F332）几何变形实验结果——变形后，外表面垂线保持为直线平面假设——变形后，截面平面仍垂直于杆轴推得：同一横截面上各点的正应力σ相等，即正应力均匀分布于横截面上，σ等于常量。于是有：得应力：

abFa`b`Fc`d`cdFFN

σ

34例题2-2

图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15×15的方截面杆。FABC解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点B为研究对象45°12FBF45°目录352、计算各杆件的应力。FABC45°12FBF45°目录36若杆件的横截面沿轴线变化A(x),轴力也沿轴线变化FN(x)时有：（2—2）

（2—1）式的适用条件：外力合力的作用线必须与杆件的轴线重合。

37

kFFα

p

α

k

§2—3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力

为什么研究它？

弄清楚截面方向对应力的影响

研究方法:(1)仿横截面应力公式去推导

(2)找出同横截面应力的关系

kσαFα

ταk

kFF

αk38由平衡于是分解成正应力和剪应力，有由实验结果分析知斜截面上的应力也是均匀分布的。39

正负号规定：

正应力—拉应力为正，压应力为负

切应力—自外法线n顺时针转向它，为正；逆时针为负40§2-4材料在拉伸时的力学性能材料的力学性能是指材料在外力的作用下表现出的变形和破坏等方面的特性。现在要研究材料的整个力学性能（应力——

应变）：理论上——用简单描述复杂工程上——为（材料组成的）构件当好医生从受力很小破坏41一、低碳钢拉伸时的力学性能（含碳量<0.3%的碳素钢）要反映同试件几何尺寸无关的特性要标准化——

形状尺寸试件的加工精度试验条件

国家标准规定《金属拉伸试验方法》（GB228-87）

42试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）43试验方法——

拉力

F从0渐增

标距的伸长随之渐增得曲线（拉伸图）44为使材料的性能同几何尺寸无关：

〈将

F除以

A〉

=名义应力

〈将伸长除以标距

〉=名义应变从而得应力应变图，即

曲线453、强化阶段——4、局部变形阶段——出现径缩1、弹性阶段

——2、屈服阶段——464748延伸率——截面收缩率——这两个值——材料塑性标志

值越大，塑性越强塑性

脆性

对于低碳钢5、延伸率和截面收缩率49三、其它材料拉伸时的力学性能1、塑性材料看书[P24]，观察各有几个阶段？没有明显屈服阶段的把塑性应变0.2%对应的应力——称为名义屈服极限，表示为6、卸载定律及冷作硬化502、脆性材料（铸铁）铸铁拉伸时的力学性能1）应力—应变关系微弯曲线，没有直线阶段2）只有一个强度指标3）拉断时应力、变形较小

结论——脆性材料

处理——以O-A割线的斜率作为弹性模量

A为曲线上1/4点51§2—5材料在压缩时的力学性能

避免被压弯，试件一般为很短的圆柱高度/直径=1.5-31．低碳钢压缩时的曲线屈服前与拉伸时大致相同2．铸铁压缩时的曲线较小变形下突然破坏，破坏断面约45度5253

§2-6失效、安全因数和强度条件对于拉压杆，学习了应力计算力学性能

如何设计拉压杆？——

安全，或不失效反面看：危险，或失效（丧失正常工作能力）（1）塑性屈服：塑性材料的极限应力σs（2）脆性断裂脆性材料的极限应力σb54为了——

安全，或不失效

（1）塑性ns=1.5-2.5

轴向拉伸或压缩时的强度条件——许用应力(Allowablestress)——（2）脆性nb=2-3.555

根据上述强度条件，可以进行三种类型的强度计算：一、校核杆的强度 已知Fmax、A、[σ]，验算构件是否满足强度条件二、设计截面 已知Fmax、[σ],根据强度条件，求A三、确定许可载荷 已知A、[σ]，根据强度条件,求Fmax56

例2—2：图示三角形托架,其杆AB是由两根等边角钢组成。已知F=75kN,[σ]=160MPa,试选择等边角钢的型号。CL2TU757解：58

例2—3：图示起重机，钢丝绳AB的直径d=24mm，[σ]=40MPa，试求该起重机容许吊起的最大荷载F。CL2TU8解：1.求钢丝绳Ab的内力

2.确定容许吊起的最大荷载F5960§2-8轴向拉伸或压缩时的变形一纵向变形二横向变形钢材的E约为200GPa，μ约为0.25—0.33E为弹性摸量,EA为抗拉刚度泊松比横向应变目录FFb1bl

ll61目录62目录63例题2-4

AB长2m,面积为200mm2。AC面积为250mm2。E=200GPa。F=10kN。试求节点A的位移。解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）取节点A为研究对象2、根据胡克定律计算杆的变形。AF300斜杆伸长水平杆缩短目录643、节点A的位移（以切代弧）AF300目录65例

2—5

截面积为76.36mm²

的钢索绕过无摩擦的定滑轮

F=20kN，求刚索的应力和

C点的垂直位移。（刚索的E=177GPa，设横梁ABCD为刚梁）解1）求钢索内力（ABCD为对象）2)钢索的应力和伸长分别为800400400DCFAB60°60°FABCDTTYAXA66CFAB60°60°800400400DAB60°60°DB'D'C3）变形图如左

C点的垂直位移为：67§2—9轴向拉伸和压缩的应变能

一、轴向拉伸和压缩的应变能应变能：因变形而储存的能量CL12TU1F68二、应变能密度:单位体积的应变能CL12TU1Fσdydxdz应变能密度的单位：J/m369§2.10拉伸、压缩超静定问题1、问题的提出

两杆桁架变成三杆桁架，缺一个方程，无法求解一、超静定问题及其处理方法CFABD123CFAB1270三杆桁架是单靠静力方程求解不了的，称为单凭静力平衡方程不能求解——

超静定问题

超静定问题的求解方法：静不定——静力不能确定

超静定问题——超出了静力范围补充变形协调方程

建立本构（或物理）方程予以沟通结合平衡方程联立求解71个性：杆件，桁架（杆件组合）2、超静定的处理方法

平衡方程变形协调方程本构方程共性：超静定问题——单凭静平衡方程不能确定出全部未知力（外力、内力、应力）72例：2—6求三杆桁架内力，杆长L1=L2，

L3=L

面积A1=A2=A，A3

弹性模量E1=E2=E，E3CFABD123解(1)静力平衡方程——力学FAFN1FN3FN273(3)本构方程——物理（4）联立求解——代数此方程于平衡方程是3个方程（含3个力未知量），解得CABD123A1(2)变形协调方程——几何743、超静定问题的解法（1）静力平衡方程——力学——原有基地（2）变形协调方程——几何——新开方向（3）材料本构方程——物理——构筑桥梁（4）方程联立求解——代数——综合把握75例2—7

木制短柱四角用四个40

40

4的等边角钢加固，角

钢和木材的许用应力分别为[

]1=160MPa和[

]2=12MPa，

弹性模量分别为E1=200GPa

和E2=10GPa；求许可载荷(2)变形方程(3)本构方程解：(1)平衡方程P1m250250FFy4FN1FN276（4）联立求解得（5）求结构的许可载荷

《方法1》角钢面积由型钢表查得

A1=3.086cm2P1m250250FFy4FN1FN277所以在△1=△2

的前提下，角钢将先达到极限状态，

即角钢决定最大载荷另外：若将钢的面积增大5倍，怎样？若将木的面积缩小10倍，又怎样？结构的最大载荷永远由钢控制着《方法2》78（2）变形方程解：（1）平衡方程2、静不定问题存在装配应力

一、装配应力

§2—11温度应力和装配应力

1、静定问题无装配应力

下图，3号杆的尺寸误差为

，求各杆的装配内力ABC12DA1379dAA1（3）本构方程（4）联立求解A1FN1FN2FN380aaaaFN1FN2

例2—8阶梯钢杆的上下两端在T1=5℃时被固

定,上下两段的面积为

1=cm2，

2=cm2，

当温度升至T2=25℃时,求各杆的温度应力

弹性模量E=200GPa，线膨胀系数

=12.5×10-61/oC

（2）变形方程解：（1）平衡方程二、温度应力1、静定问题无温度应力2、静不定问题存在温度应力81（3）本构方程（4）联立求解得由变形和本构方程消除位移未知量（5）温度应力82螺栓连接铆钉连接销轴连接§2-13剪切和挤压的实用计算

1.实例83剪切受力特点：作用在构件两侧面上的外力合力大小相等、方向相反且作用线很近。变形特点：位于两力之间的截面发生相对错动。2.剪切的实用计算FF得切应力计算公式：切应力强度条件：常由实验方法确定假设切应力在剪切面（m-m截面）上是均匀分布的843.挤压的实用计算假设应力在挤压面上是均匀分布的得实用挤压应力公式挤压强度条件：常由实验方法确定*注意挤压面面积的计算FF85挤压强度条件：切应力强度条件：脆性材料：塑性材料：4.强度条件8687为充分利用材料，切应力和挤压应力应满足88为充分利用材料，切应力和挤压应力应满足89

图示接头，受轴向力F作用。已知F=50kN，b=150mm，δ=10mm，d=17mm，a=80mm，[σ]=160MPa，[τ]=120MPa，[σbs]=320MPa，铆钉和板的材料相同，试校核其强度。

2.板的剪切强度解：1.板的拉伸强度例题2-9903.铆钉的剪切强度

4.板和铆钉的挤压强度结论：强度足够。91小结1.研究对象2.轴力的计算和轴力图的绘制3.典型的塑性材料和脆性材料的主要力学性能及相关指标4.横截面上的应力计算，拉压强度条件及计算5.拉（压）杆的变形计算，桁架节点位移6.拉压超静定的基本概念及超静定问题的求解方法目录7.连接件的强度计算92第三章扭转93一、概述汽车传动轴§3-1、扭转的概念和实例94汽车方向盘95丝锥攻丝96扭转变形是指杆件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用,使杆件的横截面绕轴线产生转动。受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。97直接计算§3-2、外力偶矩的计算扭矩和扭矩图1.外力偶矩二、外力偶矩扭矩和扭矩图98按输入功率和转速计算电机每秒输入功：外力偶作功完成：已知轴转速－n转/分钟输出功率－P

千瓦求：力偶矩Me99T=Me2.扭矩和扭矩图100101扭矩正负规定右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)102扭矩图103解:(1)计算外力偶矩由公式P/n例题3-1104(2)计算扭矩(3)

扭矩图105106§3-3纯剪切一、薄壁圆筒的扭转时的切应力等厚度的薄壁圆筒,平均半径为r,壁厚为tCL5TU4107受扭前在其表面上用圆周线和纵向线画成方格,然后加载。108(1)纵向线倾斜了同一微小角度γ(2)圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离没有改变根据以上实验现象,可得结论：圆筒横截面上没有正应力，只有切应力。切应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径。观察到如下现象：γMeMenmmnφ109切应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径110

根据精确的理论分析,当t≤r/10时,上式的误差不超过4.52%,是足够精确的。111二、切应力互等定理

CL5TU7微元体单元体MeMe112三、切应变、剪切胡克定律CL5TU8113薄壁圆筒的实验,证实了切应力与切应变之间存在着象拉压胡克定律类似的关系,即当切应力不超过材料的剪切比例极限τp时,切应力与切应变成正比G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪切胡克定律。114 剪切弹性模量G材料常数：拉压弹性模量E

泊松比μ对于各向同性材料,可以证明:E、G、μ三个弹性常数之间存在着如下关系115§3-4圆轴扭转时的应力一、圆轴扭转时横截面上的应力 变形几何关系从三方面考虑：物理关系 静力学关系CL5TU5116观察到下列现象:(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距 离没有变化(2)纵向线仍近似为直线,但都倾斜了同一角度γ1.变形几何关系117平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。CL5TU5MeMenmmndφxdx118CL5TU5119dxdx120根据剪切胡克定律,当切应力不超过材料的剪切比例极限时 切应力方向垂直于半径2.物理关系1213.静力学关系122123CL5TU9124CL5TU5125126已知：P＝7.5kW,n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比

=0.5。二轴长度相同。求:

实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。解：首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴例题4-2127已知：P＝7.5kW,n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比

=0.5。二轴长度相同。求:

实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。空心轴d2＝0.5D2=23mm128确定实心轴与空心轴的重量之比空心轴D2＝46mmd2＝23mm

实心轴d1=45mm长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：129已知：P1＝14kW,P2=P3=P1/2，n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.求:各轴横截面上的最大切应力。P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/min解：1、计算各轴的功率与转速M1=T1=1114N.mM2=T2=557N.mM3=T3=185.7N.m2、计算各轴的扭矩例题4-331303、计算各轴的横截面上的最大切应力3131相对扭转角抗扭刚度四、圆轴扭转时的变形计算§3-5、圆轴扭转时的变形1321.等截面圆轴：2.阶梯形圆轴：圆轴扭转时的强度条件：五、圆轴扭转时的强刚度设计133单位长度扭转角扭转刚度条件许用单位扭转角

圆轴扭转时的刚度条件：

1344-4135

传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A输入功率P1=400kW，从动轮C，B分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知[τ]=70MPa，[φˊ]=1°/m，G=80GPa。

(1)试确定AC段的直径d1和BC段的直径d2；

(2)若AC和BC两段选同一直径，试确定直径d；

(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?解：1.外力例题4-5136

2.扭矩图按刚度条件3.直径d1的选取按强度条件137

按刚度条件4.直径d2的选取按强度条件

5.选同一直径时138

6.将主动轮按装在两从动轮之间受力合理139小结1、受扭物体的受力和变形特点2、扭矩计算，扭矩图绘制3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算4、圆轴扭转时的变形及刚度计算140§I—1静矩和形心附录I平面图形的几何性质1.静矩141形心坐标：142静矩和形心坐标之间的关系：143

例：计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图形对y轴和z轴的静矩，并确定图形的形心坐标。144解：145146

例：确定图示图形形心C的位置。147解：148例：求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。149解：150§I-2惯性矩和惯性半径一、惯性矩ρ151

工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积，即分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径152二、极惯性矩153例：求图示矩形对对称轴y、z的惯性矩。 154解：155例：求图示圆平面对y、z轴的惯性矩。156惯性积157

如果所选的正交坐标轴中，有一个坐标轴是对称轴，则平面图形对该对坐标轴的惯性积必等于零。158几个主要定义:

(1)主惯性轴当平面图形对某一对正交坐标轴y0、z0的惯性积Iy0z0=0时，则坐标轴y0、z0称为主惯性轴。 因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平面图形的主惯性轴。

(2)主惯性矩平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。159

(3)形心主惯性轴过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。

可以证明:任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。

(4)形心主惯性矩平面图形对任一形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。160§I-3平行移轴公式161162平行移轴公式：163例：求图示平面图形对y轴的惯性矩Iy164解：CL6TU11165§6-4转轴公式主惯性轴和主惯性矩166167转轴公式：168主惯性轴方位：169或简写成：主惯性矩公式：170

求形心主惯性轴的位置及形心主惯性矩大小的步骤：1）找出形心位置；2）通过形心C建立参考坐标yoz，求出 Iy、Iz、Iyz3）求α0、Iy0、Iz0171例：求图示平面图形形心主惯性轴的方位及形心主惯性矩的大小。P86：7（b） 172解：173174作业（P388~390）2（b)6(a)7（a）8(b)175第四章

弯曲内力目录176§4-1概述起重机大梁1目录177§4-1概述镗刀杆目录178§4-1概述车削工件目录179§4-1概述火车轮轴目录180弯曲特点以弯曲变形为主的杆件通常称为梁受力特点：外力垂直于轴线变形特点：轴线由直线变成曲线§4-1概述目录181常见弯曲构件截面§4-1概述目录182平面弯曲具有纵向对称面外力都作用在此面内弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线§4-1概述目录183梁的载荷与支座集中载荷分布载荷集中力偶固定铰支座活动铰支座固定端§4-2受弯杆件的简化2目录184目录§4-2受弯杆件的简化185火车轮轴简化目录§4-2受弯杆件的简化186目录§4-2受弯杆件的简化187吊车大梁简化均匀分布载荷简称均布载荷目录§4-2受弯杆件的简化188非均匀分布载荷目录§4-2受弯杆件的简化189简支梁外伸梁悬臂梁FAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMA静定梁的基本形式目录§4-2受弯杆件的简化190FNFSM

FS剪力，平行于横截面的内力合力

M

弯矩，垂直于横截面的内力系的合力偶矩FByFNFSM§4-3剪力和弯矩3目录FAy191FAyFNFSMFByFNFSM截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺时针转向时，剪力为正；反之为负。+_截面上的弯矩使得梁呈凹形为正；反之为负。+_左上右下为正；反之为负左顺右逆为正；反之为负目录§4-3剪力和弯矩192解：1.确定支反力FAyFBy2.用截面法研究内力FAyFSEME目录例题5-1求图示简支梁E截面的内力FAy§4-3剪力和弯矩193FByFByFAyFSEMEO分析右段得到：FSEMEO目录§4-3剪力和弯矩194FAyFBy截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和。目录FAyFSE2F§4-3剪力和弯矩195FAyFBy截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代数和。目录FAy2FME§4-3剪力和弯矩196q悬臂梁受均布载荷作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：任选一截面x，写出剪力和弯矩方程x依方程画出剪力图和弯矩图FSxMxl由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为§4-4剪力图和弯矩图4目录例题5-2qx197BAlFAYFBY图示简支梁C点受集中力作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力FAy＝Fb/l

FBy＝Fa/l2．写出剪力和弯矩方程x2FSxMxx1ACCB3.依方程画出剪力图和弯矩图。CFab目录例题5-3§4-4剪力图和弯矩图198BAlFAYFBY图示简支梁C点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力FAy＝M/lFBy＝-M/l2．写出剪力和弯矩方程x2x1ACCB3.依方程画出剪力图和弯矩图。CMab目录例题5-4§4-4剪力图和弯矩图199BAlFAYqFBY简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力FAy＝FBy＝ql/22．写出剪力和弯矩方程yxCx3.依方程画出剪力图和弯矩图。FSxMx目录例题5-5§4-4剪力图和弯矩图200§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩关系：5目录201载荷集度、剪力和弯矩关系：q＝0，Fs=常数，剪力图为直线；M(x)为x的一次函数，弯矩图为斜直线。2.q＝常数，Fs(x)为x的一次函数，剪力图为斜直线；M(x)为x的二次函数，弯矩图为抛物线。分布载荷向上（q>0），抛物线呈凹形；分布载荷向下（q<0），抛物线呈凸形。3.

剪力Fs=0处，弯矩取极值。4.

集中力作用处，剪力图突变；集中力偶作用处，弯矩图突变目录§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系202微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：

根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。

应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。

建立FS一x和M一x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。

应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。目录§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系203

也可通过积分方法确定剪力、弯矩图上各点处的数值。从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图向上（下）突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。

从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向上（下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。剪力图在该点没有变化。

目录§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系204BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN例题5-6

简支梁受力的大小和方向如图示。试画出其剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力求得A、B

二处的约束力

FAy＝0.89kN,FBy＝1.11kN

根据力矩平衡方程

2．确定控制面

在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。

EDCF目录§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系205(+)(-)BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kNEDCFM(kN.m)xO

3．建立坐标系建立FS－x和M－x坐标系

5．根据微分关系连图线4．应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在FS－x和M－x坐标系中。0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xFS

(kN)O0.89kN=＝1.11kN目录§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系206（-）（+）解法2：1．确定约束力FAy＝0.89kN

FFy＝1.11kN

2．确定控制面为A、C、D、B两侧截面。

FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC3．从A截面左侧开始画剪力图。

Fs（

kN）0.891.11目录§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系207（-）（-）4．从A截面左侧开始画弯矩图。

M（

kN.m）从A左到A右从C左到C右从D左到D右从A右到C左1.3300.330从C右到D左1.665（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（

kN）0.891.11从D右到B左从B左到B右目录§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系208qBADa4aFAyFBy例题5-7试画出梁剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力根据梁的整体平衡，由求得A、B二处的约束力qa2．确定控制面

由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截面为控制面，约束力FBy右侧的截面，以及集中力qa左侧的截面，也都是控制面。C目录§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系209

（+）

（-）qBADa4aFAyFByqa解法2：1．确定约束力2．确定控制面，即A、B、D两侧截面。

3．从A截面左侧开始画剪力图。

Fs

9qa/4

7qa/4qa目录§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系210（+）

M

（+）

（-）qBADa4aFAyFByqa

Fs

9qa/4

7qa/4qa4．求出剪力为零的点到A的距离。

B点的弯矩为

-1/2×7qa/4×7a/4+81qa2/32=qa2AB段为上凸抛物线。且有极大值。该点的弯矩为

1/2×9qa/4×9a/4=81qa2/325．从A截面左侧开始画弯矩图

81qa2/32qa2目录§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系211（-）（-）（+）（+）（-）

Fs例题5-8试画出图示有中间铰梁的剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力从铰处将梁截开qFDyFDyqaFAyFByMAFAyFByqa/2qa/2qaMqa2/2qa2/2BAaqaCaaDqMA目录§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系212平面刚架：某些机器的机身（压力机等）由几根直杆组成，而各杆在其联接处的夹角不能改变，这种联接称为刚节点。有刚节点的框架称为刚架。各直杆和外力均在同一平面内的刚架为平面刚架。平面刚架的内力一般有轴力、剪力和弯矩。7目录§4-6平面刚架和曲杆的内力213Bqly

已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l。B试：画出刚架的内力图。例题5-9ql解：1、确定约束力2、写出各段的内力方程FN(y)FS(y)M(y)竖杆AB：A点向上为yY目录§4-6平面刚架和曲杆的内力214横杆CB：C点向左为xBqlyBFN(x)M(x)xFS(x)x

已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l。试：画出刚架的内力图。解：1、确定约束力2、写出各段的内力方程目录§4-6平面刚架和曲杆的内力215竖杆AB：Bqly3、根据各段的内力方程画内力图横杆CB：MFNFSql＋－＋目录§4-6平面刚架和曲杆的内力216平面曲杆某些构件（吊钩等）其轴线为平面曲线称为平面曲杆。当外力与平面曲杆均在同一平面内时，曲杆的内力有轴力、剪力和弯矩。目录§4-6平面刚架和曲杆的内力217目录画出该曲杆的内力图解：写出曲杆的内力方程例题5-10§4-6平面刚架和曲杆的内力218小结1、熟练求解各种形式静定梁的支座反力2、明确剪力和弯矩的概念，理解剪力和弯矩的正负号规定3、熟练计算任意截面上的剪力和弯矩的数值4、熟练建立剪力方程、弯矩方程，正确绘制剪力图和弯矩图目录219第五章弯曲应力目录220回顾与比较内力应力FAyFSM目录221在横截面上，只有法向内力元素σdA才能合成弯矩M，只有切向内力元素τdA才能合成剪力222梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲§5-1纯弯曲目录223§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力从三方面考虑：一、变形几何关系用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验:变形几何关系物理关系静力学关系224CL8TU3225梁在纯弯曲时的平面假设：梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。226中性层中性轴227CL8TU3-2228二、物理关系

再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。229三、静力学关系230231中性层的曲率公式：正应力计算公式：中性轴过截面形心232横截面上的最大正应力：CL8TU4当中性轴是横截面的对称轴时：233CL8TU5横截面上的应力分布图：234CL8TU6235§5-3横力弯曲时的正应力

正应力强度计算上式是在平面假设和单向受力假设的基础上推导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。236二、梁的正应力强度条件利用上式可以进行三方面的强度计算：①已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核 梁的强度②已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的 截面尺寸③已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷237FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1mMx30zy180120K1.C截面上K点正应力2.C截面上最大正应力3.校核梁的强度FSx90kN90kN1.求支反力（压应力）解：例题5-1图示简支梁，受均布载荷作用，材料的许用应力［σ］=160MPa，求：目录2.求C截面上K点正应力238BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN2.C截面最大正应力C

截面弯矩C

截面惯性矩目录239BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN3.校核梁的强度全梁最大弯矩截面惯性矩目录240

例5-2：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力［σ］=160MPa，校核该梁的强度。241解：由弯矩图可见该梁满足强度条件，安全242分析（1）确定危险截面（3）计算（4）计算，选择工字钢型号某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重材料的许用应力起重量跨度试选择工字钢的型号。（2）目录例题5-3243（4）选择工字钢型号（5）讨论（3）根据计算（1）计算简图（2）绘弯矩图解：36c工字钢目录244作弯矩图，寻找需要校核的截面要同时满足分析：非对称截面，要寻找中性轴位置

T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。例题5-4目录245（2）求截面对中性轴z的惯性矩（1）求截面形心z1yz52解：目录246（4）B截面校核（3）作弯矩图目录247（5）C截面要不要校核？（4）B截面校核（3）作弯矩图目录248§5-4弯曲剪应力一、矩形截面梁的剪应力CL8TU16249250251252253254二、工字形截面梁的剪应力腹板翼缘在腹板上：255在翼缘上，有平行于的剪应力分量，分布情况较复杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。

在翼缘上，还有垂直于方向的剪应力分量，它与腹板上的剪应力比较，一般来说也是次要的。

腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了截面上的大部分弯矩。256对于标准工字钢梁：257三、圆截面梁的剪应力下面求最大剪应力：258弯曲剪应力强度条件259

例5-5：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力［σ］=160MPa，［τ］=100MPa，试求最小直径dmin。260解：由正应力强度条件：由剪应力强度条件：261悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为0.34MPa，木材的〔σ〕=10MPa，[τ]=1MPa，求许可载荷。1.画梁的剪力图和弯矩图2.按正应力强度条件计算许可载荷3.按切应力强度条件计算许可载荷解：例题5-6目录2624.按胶合面强度条件计算许可载荷5.梁的许可载荷为目录263§5-5提高弯曲强度的措施控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即以作为梁设计的主要依据。因此应使Mmax尽可能地小，使WZ尽可能地大。264一.降低Mmax

合理安排支座合理布置载荷6-7目录265合理布置支座目录FFF266合理布置支座目录267目录合理布置载荷F268二.增大WZ

合理设计截面合理放置截面6-7目录269目录合理设计截面270目录合理设计截面271目录合理放置截面272三、等强度梁

目录273目录274小结1、了解纯弯曲梁弯曲正应力的推导方法2、熟练掌握弯曲正应力的计算、弯曲正应力强度条件及其应用3、了解提高梁强度的主要措施目录275弯曲变形第六章目录276第六章弯曲变形§6-1概述§6-2挠曲线的近似微分方程§6-3用积分法求弯曲变形§6-4用叠加法求弯曲变形§6-6梁的刚度条件及提高梁刚度的措施§6-5简单超静定梁目录目录277§6-1概述7-1目录278§6-1概述目录279§6-1概述目录280§6-2挠曲线的近似微分方程1.基本概念挠曲线方程：由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计挠度转角关系为：挠曲线挠度转角挠度w：截面形心在y方向的位移向上为正转角θ：截面绕中性轴转过的角度。逆钟向为正7-2目录2812.挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：忽略剪力对变形的影响目录§6-2挠曲线的近似微分方程282由数学知识可知：略去高阶小量，得所以目录§6-2挠曲线的近似微分方程283由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。目录§6-2挠曲线的近似微分方程284挠曲线的近似微分方程为：积分一次得转角方程为：再积分一次得挠度方程为：7-3目录§6-2挠曲线的近似微分方程285积分常数C、D由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。位移边界条件光滑连续条件－弹簧变形目录§6-2挠曲线的近似微分方程286例1求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。解1）由梁的整体平衡分析可得：2）写出x截面的弯矩方程3）列挠曲线近似微分方程并积分积分一次再积分一次ABF目录§6-3用积分法求弯曲变形2874）由位移边界条件确定积分常数代入求解5）确定转角方程和挠度方程6）确定最大转角和最大挠度ABF目录§6-3用积分法求弯曲变形288例2求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。解1）由梁整体平衡分析得：2）弯矩方程AC段：CB段：目录§6-3用积分法求弯曲变形2893）列挠曲线近似微分方程并积分AC段：CB段：目录§6-3用积分法求弯曲变形2904）由边界条件确定积分常数代入求解，得位移边界条件光滑连续条件目录§6-3用积分法求弯曲变形2915）确定转角方程和挠度方程AC段：CB段：目录§6-3用积分法求弯曲变形2926）确定最大转角和最大挠度令得，令得，目录§6-3用积分法求弯曲变形293讨论积分法求变形有什么优缺点？目录§6-3用积分法求弯曲变形294§6-4用叠加法求弯曲变形设梁上有n个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为，挠度为w，则有：若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为，转角为，挠度为，则有：由弯矩的叠加原理知：所以，7-4目录295故由于梁的边界条件不变，因此重要结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。目录§6-4用叠加法求弯曲变形296例3已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度wC

；B截面的转角

B1）将梁上的载荷分解wC1wC2wC32）查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角。解目录§6-4用叠加法求弯曲变形297wC1wC2wC33）应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和

目录§6-4用叠加法求弯曲变形298例4已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度wC和转角

C1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。解目录§6-4用叠加法求弯曲变形2993）将结果叠加

2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自C截面的挠度和转角。目录§6-4用叠加法求弯曲变形300讨论叠加法求变形有什么优缺点？目录§6-4用叠加法求弯曲变形301§6-5简单超静定梁1.基本概念：超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。2.求解方法：解除多余约束，建立相当系统——比较变形，列变形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用静力平衡条件求其他约束反力。相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统7-6目录302解例5求梁的支反力，梁的抗弯刚度为EI。1）判定超静定次数2）解除多余约束，建立相当系统目录3）进行变形比较，列出变形协调条件§6-5简单超静定梁3034）由物理关系，列出补充方程所以4）由整体平衡条件求其他约束反力目录§6-5简单超静定梁304例6梁AB和BC在B处铰接，A、C两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F=40kN，q=20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。从B处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。变形协调方程为：FBMAFAwB1

FBMCFCwB2物理关系解§6-5简单超静定梁305FB

FBMAFAMCFCwB1wB2代入得补充方程：确定A端约束力§6-5简单超静定梁306FB

F´BMAFAMCFCwB1wB2确定B端约束力§6-5简单超静定梁307MAFAMCFCA、B端约束力已求出最后作梁的剪力图和弯矩图§6-5简单超静定梁3083）采用超静定结构目录§6-6梁的刚度条件及提高梁刚度的措施309§6-6梁的刚度条件及提高梁刚度的措施1.刚度条件

建筑钢梁的许可挠度：机械传动轴的许可转角：精密机床的许可转角：7-5目录310根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B处转角不超过许用数值。

B1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为：

解目录例7已知钢制圆轴左端受力为F＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa。轴承B处的许可转角

θ

=0.5°。根据刚度要求确定轴的直径d。§6-6梁的刚度条件及提高梁刚度的措施311例7已知钢制圆轴左端受力为F＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa。轴承B处的许可转角

θ

=0.5°。根据刚度要求确定轴的直径d。B2）由刚度条件确定轴的直径：目录§6-6梁的刚度条件及提高梁刚度的措施3122.提高梁刚度的措施1）选择合理的截面形状目录§6-6梁的刚度条件及提高梁刚度的措施3132）改善结构形式，减少弯矩数值改变支座形式目录§6-6梁的刚度条件及提高梁刚度的措施3142）改善结构形式，减少弯矩数值改变载荷类型目录§6-6梁的刚度条件及提高梁刚度的措施3153）采用超静定结构目录§6-6梁的刚度条件及提高梁刚度的措施316小结1、明确挠曲线、挠度和转角的概念2、掌握计算梁变形的积分法和叠加法3、学会用变形比较法解简单超静定问题目录317第七章应力状态分析强度理论318第七章应力状态分析强度理论

应力状态的概念

二向应力状态分析——解析法

二向应力状态分析——图解法

三向应力状态

广义胡克定律

复杂应力状态下的应变能密度

强度理论概述

四种常见的强度理论及强度条件目录319低碳钢塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁§7—1应力状态的概念320脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？低碳钢铸铁§7—1应力状态的概念321FlaS13S平面zMzT4321yx目录§7—1应力状态的概念322yxz单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力称为主应力，分别用表示，并且该单元体称为主单元体。§7—1应力状态的概念323空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零§7—1应力状态的概念324xyα

1.斜截面上的应力dAαnt§7—2

二向应力状态分析——解析法325列平衡方程dAαnt§7—2

二向应力状态分析——解析法326利用三角函数公式并注意到化简得§7—2

二向应力状态分析——解析法327xya正负号规则：正应力：拉为正；反之为负切应力：使微元顺时针方向转动为正；反之为负。α角：由x轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。αntx§7—2

二向应力状态分析——解析法328确定正应力极值设α＝α0

时，上式值为零，即2.

正应力极值和方向即α＝α0

时，切应力为零§7—2

二向应力状态分析——解析法329由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。所以，最大和最小正应力分别为：主应力按代数值排序：σ1

σ2

σ3§7—2

二向应力状态分析——解析法330试求（1）斜面上的应力；

（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。例题1：一点处的平面应力状态如图所示。

已知§7—2

二向应力状态分析——解析法331解：（1）斜面上的应力

§