材料力学课件

组合变形一、组合变形的概念（Conceptsofcombineddeformation）

构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形,则构件的变形称为组合变形.二、解决组合变形问题的基本方法－叠加法

（Basicmethodforslovingcombineddeformation-superpositionmethod）

叠加原理的成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之间成线性关系.§8-1

组合变形和叠加原理（Combineddeformationandsuperpositionmethod）水坝qPhg三、工程实例（Engineeringexamples）

abcABPF1F2xzyMPRzxyPP1.外力分析（Analysisofexternalforce）

将外力向形心简化并沿形心主惯性轴分解，转化为相当载荷，将组合变形分解为基本变形,使之每种相当载荷（力或力偶）对应一种基本变形。3.应力分析（Stressanalysis）画出危险截面的应力分布图,利用叠加原理将基本变形下的应力和变形叠加,建立危险点的强度条件四、处理组合变形的基本方法（Basicmethodforsolvingcombineddeformation）2.内力分析（Analysisofinternalforce）

求每种相当载荷对应的内力方程和内力图,确定危险截面.分别计算在每一种基本变形下构件的应力和变形。=++=+xyzP一、斜弯曲：杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与外力（横向力）不共面。二、斜弯曲的研究方法：1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲。PyPzPzPyyzPj§8–2斜弯曲2.叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。xyzPyPzPPzPyyzPj解：1.将外载沿横截面的形心主轴分解2.研究两个平面弯曲①内力xyzPyPzPLmmx其中：PzPyyzPj②应力My引起的应力：Mz引起的应力：合应力：PzPyyzPjxyzPyPzPLmmx④某一截面的最大正应力（如m-m截面）③中性轴方程（m-m截面）可见：只有当Iy=Iz时，中性轴与外力才垂直。在中性轴两侧，距中性轴最远的点为拉压最大正应力点。PzPyyzPjD1D2a中性轴圆形：矩形：ffzfyb⑥变形计算当

=

时，即为平面弯曲。PzPyyzPjD1D2a中性轴由于危险点处仍为单向应力状态,因此,求得最大正应力后,建立的强度条件为式中各项都是x的函数⑤强度条件（Strengthcondition)圆形：矩形：一、受力特点（Characterofexternalforce）

杆件将发生轴向拉伸（压缩）与弯曲组合变形

作用在杆件上的外力既有轴向拉(压)力,还有横向力二、变形特点（Characterofdeformation）§8-3拉伸（或压缩）与弯曲的组合（Combinedaxialloadingandbending）F1

产生弯曲变形F2

产生拉伸变形F1F2F2三、内力分析（Analysisofinternalforce）

横截面上内力（internalforceoncrosssection）

2.弯曲

1.拉(压):轴力FN

（axialforce）弯矩

Mz

（bendingmoment）剪力Fs（shearforce）

因为剪力Fs引起的切应力较小,故一般不考虑.

xyOzFNMzFS

横截面上一点A（z,y）处的正应力计算公式为四、应力分析（Analysisofstress）

1.拉伸正应力（Axialnormalstress）

2.弯曲正应力（Bendingnormalstress）xyOzMzFN(z,y)AA（z,y）处的正应力横截面上任意一点处的正应力计算公式为扩展：

轴力（axialforce）

所以跨中截面是杆的危险截面F1F2F2l/2l/23.危险截面的确定（Determinethedangercrosssection）

作内力图

弯矩（bendingmoment）xxFN图Mz图F2F1l/4

拉伸正应力

最大弯曲正应力

杆危险截面下边缘各点处上的拉应力为4.计算危险点的应力（Calculatingstressofthedangerpoint）F1F2F2l/2l/2

-

当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时,应分别建立杆件的抗拉和抗压强度条件.五、强度条件（Strengthcondition）

由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态,故其强度条件为:圆形：矩形：式中各项都是x的函数例题1悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成.其抗弯刚度Wz

=237cm3,横截面面积A=35.5cm2,总荷载F=34kN,横梁材料的许用应力为[

]=125MPa.校核横梁AB的强度.FACD1.2m1.2mB30°BADFFRAyFRAxFyFxFNAB30°解：（1）分析AB的受力情况AB杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形

中间截面为危险截面.最大压应力发生在该截面的上边缘（2）压缩正应力（3）最大弯曲正应力（4）危险点的应力FACD1.2m1.2m30°BBADFFRAyFRAxFyFxFNAB30°例题2小型压力机的铸铁框架如图所示.已知材料的许用拉应力[

t]=30MPa,许用压应力[

c]=160MPa.试按立柱的强度确定压力机的许可压力F.yzz0z15050150150350FF解：（1）确定形心位置A=1510-3m2z0=7.5cmIy

=5310cm4

计算截面对中性轴y

的惯性矩yzz0z15050150150350FFFnnFNMy（2）分析立柱横截面上的内力和应力

在n-n

截面上有轴力FN及弯矩Mynn350FFyzz0/p>

由轴力FN产生的拉伸正应力为FnnFNMynnyzz0z1350FF5050150150

由弯矩My产生的最大弯曲正应力为5050150150yzz0z1拉nn350FFFnnFNMy（3）叠加在截面内侧有最大拉应力[F]45.1kN5050150150yzz0z1拉压nn350FFFnnFNMy

在截面外侧有最大压应力[F]171.3kN[F]45.1kN所以取5050150150yzz0z1拉压nn350FFFnnFNMy例题3正方形截面立柱的中间处开一个槽,使截面面积为原来截面面积的一半.求开槽后立柱的的最大压应力是原来不开槽的几倍.FFaaaa11FFa/2未开槽前立柱为轴向压缩解：Faa开槽后1-1是危险截面危险截面为偏心压缩将力F

向1-1形心简化未开槽前立柱的最大压应力开槽后立柱的最大压应力§8-3

偏心拉（压）（Eccentricloads）1.定义（Definition）当外力作用线与杆的轴线平行但不重合时,将引起轴向拉伸（压缩）和平面弯曲两种基本变形.O1yzF一、偏心拉（压）

（Eccentricloads）A(yF,zF)2.以横截面具有两对称轴的等直杆承受偏心拉力F

为例

（1）将外力向截面形心简化,使每个力（或力偶）只产生一种基本变形形式O1yzA(yF,zF)F轴向拉力F力偶矩M=Fe，将M向y轴和z轴分解xyzFeFFeα

F

使杆发生拉伸变形

My

使杆发生xOz平面内的弯曲变形（y为中性轴）

Mz

使杆发生

xOy平面内的弯曲变形（z

为中性轴）yzO1FxMyMz

二、任意横截面n-n上的内力分析（Analysisofinternalforceonanycrosssectionn-n）

轴力FN=FyO1MyMznnyzMyMzFN弯矩F三、任意横截面n-n

上C点的应力分析（StressanalysisatpointConcrosssectionn-n）yzMyMzFN由F产生的正应力由My

产生的正应力由Mz

产生的正应力(y,z)C由于C

点在第一象限内,根据杆件的变形可知,

由叠加原理,得C点处的正应力为

均为拉应力

式中A为横截面面积;

Iy

,Iz

分别为横截面对y轴和z

轴的惯性矩;（zF，yF

）为力F

作用点的坐标;（z，y）为所求应力点的坐标.yzMyMzFN(y,z)C横截面上任意一点处的正应力计算公式为四、中性轴的位置（Thelocationofneutralaxis）

令

y0,z0

代表中性轴上任一点的坐标,即得中性轴方程Oz中性轴y在偏心拉伸(压缩)情况下,中性轴是一条不通过截面形心的直线讨论:

六、强度条件（Strengthcondition）由于危险点处仍为单向应力状态,因此,求得最大正应力后,建立的强度条件为五、某一截面的最大正应力圆形：矩形：圆形：矩形：式中各项都是x的函数当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时,应分别建立杆件的抗拉和抗压强度条件.laABCF研究对象（researchobject）

圆截面杆（circularbars）受力特点（characterofexternalforce）杆件同时承受转矩和横向力（力和力偶）作用变形特点（characterofdeformation）发生扭转和弯曲两种基本变形§8-4

扭转与弯曲的组合（Combinedbendingandtorsion）一、内力分析

（Analysisofinternalforce）

设一直径为d

的等直圆杆AB,B端具有与AB成直角的刚臂.研究AB杆的内力.

将力F

向AB

杆右端截面的形心B简化得

横向力F

（引起平面弯曲）

力偶矩m=Fa

（引起扭转）AB

杆为弯曲与扭转组合变形BAFmxlaABCF

画内力图确定危险截面

固定端A截面为危险截面AAFmmFlA截面

C3C4T

C3C4

C2C1二、应力分析（Stressanalysis）

危险截面上的危险点为C1

和C2

点最大扭转切应力

发生在截面周边上的各点处.

C2C1危险截面上的最大弯曲正应力

发生在C1

、C2处

对于许用拉压应力相等的塑性材料制成的杆,这两点的危险程度是相同的.可取任意点C1

来研究.C1点处于平面应力状态,该点的单元体如图示C1

三、强度分析（Analysisofstrengthcondition）1.主应力计算（Calculatingprincipalstress）C1

2.相当应力计算（Calculatingequalstress）第三强度理论,计算相当力第四强度理论,计算相当应力

3.强度校核（Checkthestrength）

该公式适用于图示的平面应力状态.

是危险点的正应力,

是危险点的切应力.且横截面不限于圆形截面讨论C1

该公式适用于弯扭组合变形;拉（压）与扭转的组合变形;以及拉（压）扭转与弯曲的组合变形（1）

该公式中σ，

是危险点的应力。弯扭组合变形时,相应的相当应力表达式可改写为（2）对于圆形截面杆有C1

式中W为杆的抗弯截面系数.M,T分别为危险截面的弯矩和扭矩.以上两式只适用于弯扭组合变形下的圆截面杆.强度校核（Checkthestrength）式中W为杆的抗弯截面系数.Mz,My,T分别为危险截面的弯矩和扭矩.以上两式只适用于弯扭组合变形下的圆截面杆.当Mz,My,T的最大值不在一个平面时，或W为变量。式中各项都是x的函数例题7空心圆杆AB和CD杆焊接成整体结构,受力如图.AB杆的外径D=140mm,内外径之比α=d/D=0.8,材料的许用应力[

]=

160MPa.试用第三强度理论校核AB杆的强度ABCD1.4m0.6m15kN10kN0.8mABFＭe解:（1）外力分析将力向AB杆的B截面形心简化得

AB杆为扭转和平面弯曲的组合变形ABFMe+15kN·m（2）内力分析－画扭矩图和弯矩图固定端截面为危险截面-20kN·m例题8传动轴如图所示.在A处作用一个外力偶矩Me=1kN·m,皮带轮直径D=300mm,皮带轮紧边拉力为F1,松边拉力为F2.且F1=2F2,l=200mm,轴的许用应力[

]=160MPa.试用第三强度理论设计轴的直径zF1F2xyABl/2l/2MeMeMeCF=3F2解:（1）外力分析将力向轴的形心简化

轴产生扭转和垂直纵向对称面内的平面弯曲+T=1kN·m+中间截面为危险截面1kN·mMeMeCF=3F2（2）内力分析－画扭矩图和弯矩图例题9图示一钢制实心圆轴,轴上的齿轮C上作用有铅垂切向力5kN,径向力1.82kN;齿轮D上作用有水平切向力10kN,径向力3.64

kN.齿轮

C

的节圆直径d1=400mm,齿轮D

的节圆直径d2=200mm.设许用应力

=100MPa,试按第四强度理论求轴的直径.BACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1.82kN3.64kNCD解:（1）外力的简化将每个齿轮上的外力向该轴的截面形心简化BACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1.82kN3.64kNxyzACBD5kN1kN·m1.82kN3.64kN10kN1kN·m1kN·m的力偶使轴产生扭转5kN,3.64kN

的力使轴在xz

纵对称面内产生弯曲

1.82kN,10kN的力使轴在xy纵对称面内产生弯曲

（2）轴的变形分析T=1kN·m圆杆发生的是斜弯曲与扭转的组合变形由于通过圆轴轴线的任一平面都是纵向对称平面,故轴在xz和xy两平面内弯曲的合成结果仍为平面弯曲,从而可用总弯矩来计算该截面正应力C1kN.mT图-0.57KN.m0.36kN.mMy图CBxyzACBD5kN1kN·m1.82kN3.64kN10kN1kN·m（3）绘制轴的内力图Mz图0.227KN.m1kN.mCBB

截面是危险截面（4）危险截面上的内力计算1kN·mCT图-My图0.57kN·mCB0.36kN·mB和C截面的总弯矩为Mz图0.227KN.m1kN.mCB（5）由强度条件求轴的直径轴需要的直径为例题10F1=0.5kN,F2=1kN,[

]=160MPa.（1）用第三强度理论计算AB的直径（2）若AB杆的直径d=40mm,并在B端加一水平力

F3=20kN,校核AB杆的强度.F1F2ABCD400400400F1F2ABC400400Me解:将F2向AB杆的轴线简化得AB为弯扭组合变形F1F2ABCD400400400固定端截面是危险截面F3AB

为弯,扭与拉伸组合变形

固定端截面是危险截面（2）在B

端加拉力F3F3F1F2ABC400400MeF1F2ABCD400400400固定端截面最大的正应力为最大切应力为F3F3F1F2ABC400400MeF1F2ABCD400400400由第三强度理论轴向拉伸和压缩

§2-1

轴向拉压的概念及实例(Conceptsandexampleproblemsofaxialtension&compression)一、工程实例

(Engineeringexamples)

三、变形特点(Characterofdeformation)

沿轴向伸长或缩短二、受力特点(Characterofexternalforce)

外力的合力作用线与杆的轴线重合四、计算简图(Simplediagramforcalculating)

FFFF

轴向压缩(axialcompression)

轴向拉伸(axialtension)mmFF一、求内力

(Calculatinginternalforce)

设一等直杆在两端轴向拉力

F

的作用下处于平衡,欲求杆件横截面

m-m上的内力.

§2–2

内力计算

(Calculationofinternalforce)

在求内力的截面m-m

处，假想地将杆截为两部分.

取左部分部分作为研究对象.弃去部分对研究对象的作用以截开面上的内力代替，合力为FN.mmFFN1.截面法(Methodofsections)（1）截开mmFF（2）代替

对研究对象列平衡方程FN

=F

式中：FN

为杆件任一横截面

m-m上的内力.与杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心,称为轴力(axialforce).（3）平衡mmFFmmFFNFN

若取右侧为研究对象，则在截开面上的轴力与部分左侧上的轴力数值相等而指向相反.mmFFmmFFNmFm2.轴力符号的规定

(Signconventionforaxialforce)FNmFFmmFFNmFm（1）若轴力的指向背离截面，则规定为正的，称为拉力(tensileforce).（2）若轴力的指向指向截面，则规定为负的，称为压力(compressiveforce).二、轴力图(Axialforcediagram)

用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置,用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值,从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线,称为轴力图.将正的轴力画在x轴上侧,负的画在x轴下侧.xFNO例题1一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图.

CABD600300500400E40kN55kN25kN20kNCABD600300500400E40kN55kN25kN20kNCABDE40kN55kN25kN20kNFRA解:

求支座反力

求AB段内的轴力FRAFN1CABDE40kN55kN25kN20kNFRA1

求BC段内的轴力

FRA40kNFN220kNCABDE40kN55kN25kNFRA2

FN3求CD段内的轴力20kN25kNCABDE40kN55kN25kN20kNFRA3求DE段内的轴力20kNFN440kN55kN25kN20kNFRA4FN1=10kN（拉力）FN2=50kN（拉力）FN3=-5kN（压力）FN4=20kN（拉力）

发生在BC段内任一横截面上50kN10kN5kN20kN++CABD600300500400E40kN55kN25kN20kN解：x坐标向右为正，坐标原点在自由端。取左侧x段为对象，内力FN(x)为：qq

LxO[例2]图示杆长为L，受分布力q=kx

作用，方向如图，试画出杆的轴力图。Lq(x)FNxq(x)FNxO–

§2-3

应力及强度条件(Stressandstrengthcondition)一、横截面上的正应力(Normalstressoncrosssection)FFabcd1.变形现象(Deformationphenomenon)（1）横向线ab和cd仍为直线,且仍然垂直于轴线;

（2）ab和cd分别平行移至a'b'和c'd',且伸长量相等.

结论：各纤维的伸长相同,所以它们所受的力也相同.FFabcd

2.平面假设

(Planeassumption)

变形前原为平面的横截面,在变形后仍保持为平面,且仍垂直于轴线.3.内力的分布(Thedistributionofinternalforce)F

FN

均匀分布(uniformdistribution)

式中,FN

为轴力,A

为杆的横截面面积,

的符号与轴力FN

的符号相同.当轴力为正号时（拉伸）,正应力也为正号,称为拉应力;当轴力为负号时（压缩）,正应力也为负号,称为压应力.4.正应力公式(Formulafornormalstress)Fkk

F

二、斜截面上的应力（Stressonaninclinedplane)

1.斜截面上的应力（Stressonaninclinedplane）FkkFαpα

以pα表示斜截面k-k上的应力，于是有沿截面法线方向的正应力

沿截面切线方向的切应力

将应力pα分解为两个分量：pαFkk

FFkkxn

pα

（1）α角2.符号的规定(Signconvention)（2）正应力拉伸为正压缩为负（3）切应力对研究对象任一点取矩

pαFkk

FFkkxn

pα顺时针为正逆时针为负逆时针时

为正号顺时针时

为负号自x

转向n

（1）当

=0°

时，（2）当

=45°时，

（3）当

=-45°

时，（4）当

=90°时，讨论xnFkk

三、强度条件(Strengthcondition)

杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力1.数学表达式(Mathematicalformula)2.强度条件的应用(Applicationofstrengthcondition)（2）设计截面（1）强度校核（3）确定许可荷载例题3一横截面为正方形的砖柱分上、下两段,其受力情况,各段长度及横截面面积如图所示.已知F=50kN，试求荷载引起的最大工作应力.FABCFF3000400037024021解：（1）作轴力图FABCFF300040003702402150kN150kN（2）求应力结论：

在柱的下段，其值为1.1MPa，是压应力.例题4简易起重设备中，AC杆由两根80

80

7等边角钢组成，AB杆由两根10号工字钢组成.材料为Q235钢，许用应力[

]=170MPa.求许可荷载[F].ABCF1m30。解：（1）取结点A为研究对象，受力分析如图所示.ABCF1m30°FAxyFN1FN230。结点A的平衡方程为由型钢表查得FAxyFN1FN230。得到（2）许可轴力为（3）各杆的许可荷载（4）结论：许可荷载[F]=184.6kN例5图示拉杆沿mn由两部分胶合而成,受力P，设胶合面的许用拉应力为[

]=100MPa

；许用剪应力为[

]=50MPa

，并设杆的强度由胶合面控制,杆的横截面积为A=4cm²，试问:为使杆承受最大拉力,

角值应为多大?(规定:

在0~60度之间)。联立(1)、(2)得：PPmna解：Pa6030B(1)、(2)式的曲线如图(2)，显然，B点左侧由剪应力控制杆的强度，B点右侧由正应力控制杆的强度，当a=60°时，由(2)式得解(1)、(2)曲线交点处：讨论：若Pa6030B11.试验条件(Testconditions）

§2-4

材料在拉伸和压缩时的力学性能(Mechanicalpropertiesofmaterialsinaxialtensionandcompression)一、实验方法(Testmethod)（1）常温:室内温度（2）静载:以缓慢平稳的方式加载（3）标准试件：采用国家标准统一规定的试件2.试验设备(Testinstruments)

（1）微机控制电子万能试验机

（2）游标卡尺二、拉伸试验(Tensiletests)

先在试样中间等直部分上划两条横线这一段杆称为标距

l

(originalgagelength).l=10d

或l=5d

1.低碳钢拉伸时的力学性质(Mechanicalpropertiesforalow-carbonsteelintension)（1）拉伸试样dl标距（2）拉伸图(F-

l

曲线)

拉伸图与试样的尺寸有关.为了消除试样尺寸的影响，把拉力F除以试样的原始面积A，得正应力；同时把

l除以标距的原始长度l

，得到应变.

表示F和

l关系的曲线，称为拉伸图(tensiondiagram)FOΔlefhabcdd′gf′Δl0

p（3）应力应变图表示应力和应变关系的曲线，称为应力-应变图(stress-straindiagram)

（a）弹性阶段

试样的变形完全弹性的.此阶段内的直线段材料满足胡克定律(Hooke’slaw)

比例极限(proportionallimit)

fOf′h

ab点是弹性阶段的最高点.弹性极限(elasticlimit)（b）屈服阶段

当应力超过b点后，试样的荷载基本不变而变形却急剧增加，这种现象称为屈服(yielding).

p

fOf′h

ab

ec点为屈服极限

屈服极限(yieldingstrength)

s

b（c）强化阶段

过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它继续变形必须增加拉力.这种现象称为材料的强化(hardening)

e点是强化阶段的最高点

强度极限(ultimateStrength)

e

p

fOf′h

abce（d）局部变形阶段

过e点后，试样在某一段内的横截面面积显箸地收缩，出现颈缩

(necking)现象，一直到试样被拉断.

s

b

e

p

fOf′h

abce

试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由l变为l1，横截面积原为A

，断口处的最小横截面积为A1.

断面收缩率

(percentreductioninarea)

伸长率(percentelongation)

≧5%的材料，称作塑性材料(ductilematerials)

<5%的材料，称作脆性材料

(brittlematerials)（4）伸长率和端面收缩率（5）卸载定律及冷作硬化卸载定律(unloading

law)

若加栽到强化阶段的某一点d停止加载,并逐渐卸载,在卸载过程中,荷载与试样伸长量之间遵循直线关系的规律称为材料的卸载定律(unloading

law).

abcefOgf′hεd′d

在常温下把材料预拉到强化阶段然后卸载,当再次加载时,试样在线弹性范围内所能承受的最大荷载将增大.这种现象称为冷作硬化冷作硬化

e-弹性应变(elasticstrain)

p-塑性应变(plasticstrain)

abcdefOd′gf′h

e

pd2.无明显屈服极限的塑性材料

(Ductilematerialswithoutclearingdefinedyieldpoint)

s0.23.铸铁拉伸时的机械性能

ｂ-铸铁拉伸强度极限(Mechanicalpropertiesforacastironintension)e

0.2%s割线斜率名义屈服应力用

表示.O

/MPa/%e

ｂα三、材料压缩时的力学性能(Mechanicalpropertiesofmaterialsinaxialcompression)

1.实验试样

(Testspecimen)2.低碳钢压缩时的s-e曲线(Stress-straincurveforalow-carbonsteelincompression)dhFFFF

sO

e

压缩的实验结果表明

低碳钢压缩时的弹性模量E屈服极限

s都与拉伸时大致相同.

屈服阶段后,试样越压越扁,横截面面积不断增大,试样不可能被压断,因此得不到压缩时的强度极限.3.铸铁压缩时的s-e曲线(Stress-straincurveforcastironincompression)O

/%e

ｂ

铸铁压缩时破坏端面与横截面大致成45°～55°倾角,表明这类试样主要因剪切而破坏,铸铁的抗压强度极限是抗拉强度极限的4～5倍.

以大于1的因数除极限应力,并将所得结果称为许用应力,用[

]表示.2.许用应力(Allowablestress)1.极限应力(Ultimatestress)四、安全因数和许用应力

(Factorofsafety&allowablestress)

n—安全因数(factorofsafety)

塑性材料(ductilematerials)脆性材料

(brittlematerials)

材料的两个强度指标

s和

b

称作极限应力或危险应力.

五、应力集中(Stressconcentrations)开有圆孔的板条

因杆件外形突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中

(stressconcentrations).FFF带有切口的板条FFF应力集中因数(stress-concentrationfactor)

F同一截面上按净面积算出的平均应力发生应力集中的截面上的最大应力六Saint-Venant原理与应力集中示意图(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。)变形示意图：abcPP应力分布示意图：

§2-5

拉压杆的变形计算

(Calculationofaxialdeformation)FFbh

一、纵向变形(Axialdeformation)b1ll12.纵向应变(Axialstrain)1.纵向变形(Axialdeformation)二、横向变形(Lateraldeformation)三、泊松比

(Poisson’sratio)

称为泊松比

(Poisson’sratio)2.横向应变(Lateralstrain)FFbhb1ll11.横向变形(Lateraldeformation)四、胡克定律

(Hooke’slaw)

式中E

称为弹性模量(modulusofelasticity)，EA称为抗拉（压）刚度(rigidity).

实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段，在此弹性范围内，正应力与线应变成正比.上式改写为由例题6图示为一变截面圆杆ABCD.已知F1=20kN，F2=35kNF3=35kN.l1=l3=300mm，l2=400mm.d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm.试求：（1）Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III截面的轴力并作轴力图（2）杆的最大正应力

max（3）B截面的位移及AD杆的变形F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCD解：求支座反力FRD=-50kNF1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD（1）Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III截面的轴力并作轴力图F1FN1F2F1FN2F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDFRDFN320KNFN2=-15kN（-）FN1=20kN（+）FN3=-50kN（-）15KN+-50KNF1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD（2）杆的最大正应力

maxAB段DC段BC段FN2=-15kN(-)FN1=20kN（+）FN3=-50kN(-)F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD

max=176.8MPa

发生在AB段.（3）B截面的位移及AD杆的变形F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDC'怎样画小变形放大图？

变形图严格画法，图中弧线；

求各杆的变形量△Li

，如图；

变形图近似画法，图中弧之切线。ABCL1L2PC"例题7图所示杆系由两根钢杆1和2组成.已知杆端铰接，两杆与铅垂线均成

=30°的角度,长度均为

l=2m,直径均为d=25mm,钢的弹性模量为E=210GPa.设在点处悬挂一重物F=100kN,试求A点的位移

A.ABC12

ABC12

解：（1）列平衡方程,求杆的轴力FyFN1FN2A12

xA''（2）两杆的变形为变形的几何条件相容是变形后，两杆仍应铰结在一起.ABC12

ABC12

（伸长）

以两杆伸长后的长度BA1和CA2

为半径作圆弧相交于A

,即为A点的新位置.AA

就是A点的位移.A''ABC12

A2A1A

12因变形很小,故可过A1，A2

分别做两杆的垂线，相交于A

A

可认为A'FAFN1FN2x30°yA1例题8图示三角形架AB和AC杆的弹性模量

E=200GPaA1=2172mm2，A2=2548mm2.求当F=130kN时节点的位移.2mABCF30°12解：(1)由平衡方程得两杆的轴力1杆受拉,2杆受压A2（2）两杆的变形30°AA1A2A'30°AA3

为所求A点的位移A12mABCF30°12A2A3一、静定与超静定问题(Staticallydeterminate&indeterminateproblem)

§2-6

拉压超静定问题

(Staticallyindeterminateproblemofaxiallyloadedmembers)1.静定问题(Staticallydeterminateproblem)

杆件的轴力可以用静力平衡条件求出,这种情况称作静定问题.2.超静定问题(Staticallyindeterminateproblem)

只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超静定问题.1.超静定的次数(Degreesofstaticallyindeterminateproblem)

未知力数超过独立平衡方程数的数目,称作超静定的次数.二、超静定问题求解方法

(Solutionmethodsforstaticallyindeterminateproblem）

2.求解超静定问题的步骤(Procedureforsolvingastaticallyindeterminate)（1）确定静不定次数；列静力平衡方程（2）根据变形协调条件列变形几何方程（3）将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得补充方程（4）联立补充方程与静力平衡方程求解n=未知力的个数－独立平衡方程的数目

例题9设1，2，3三杆用绞链连结如图所示，l1=l2=l，A1

=A2=A，E1=E2=E，3杆的长度l3

,横截面积A3

,弹性模量E3

。试求在沿铅垂方向的外力F作用下各杆的轴力.CABDF

123三、一般超静定问题举例(Examplesforgeneralstaticallyindeterminateproblem)

xyFAFN2FN3FN1解：（1）列平衡方程这是一次超静定问题﹗（2）变形几何方程

由于问题在几何,物理及受力方面都是对称,所以变形后A点将沿铅垂方向下移.变形协调条件是变形后三杆仍绞结在一起﹗CABDF

123xyFAFN2FN3FN1CABD

123A'

变形几何方程为

A123┕┕

CABDF

123CABD

123A'A'（3）补充方程物理方程为（4）联立平衡方程与补充方程求解CABDF

123

A123┕┕

A'四、温度应力

(Thermalstressesortemperaturestresses)例题11图示等直杆AB的两端分别与刚性支承连结.设两支承的距离（即杆长）为l,杆的横截面面积为A,材料的弹性模量为E,线膨胀系数为

.试求温度升高

T时杆内的温度应力.

温度变化将引起物体的膨胀或收缩.静定结构可以自由变形,不会引起构件的内力,但在超静定结构中变形将受到部分或全部约束,温度变化时往往就要引起内力,与之相对应的应力称为热应力(thermalstresses)或温度应力(temperaturestresses).ABl解:

这是一次超静定问题

变形相容条件是杆的总长度不变.

杆的变形为两部分,即由温度升高引起的变形

lT

以及与轴向压力FR相应的弹性变形

lFAB'

lTABlB'AB

lFFRAFRB（1）变形几何方程（3）补充方程（4）温度内力ABlAB'

lT（2）物理方程由此得温度应力B'AB

lFFRAFRB

图示杆系,若3杆尺寸有微小误差,则在杆系装配好后,各杆将处于图中位置,因而产生轴力.3杆的轴力为拉力,1.2杆的轴力为压力.这种附加的内力就称为装配内力.与之相对应的应力称为装配应力

(initialstresses).五、装配应力

(Initialstresses)(Staticallyindeterminatestructurewithamisfit)ABCD

213l

ABCD

213l代表杆3的伸长代表杆1或杆2的缩短

代表装配后A点的位移（1）变形几何方程（2）物理方程

（3）补充方程

ABCD

213l

（4）平衡方程FN3FN2FN1FN1，FN2，FN3（5）联立平衡方程与补充方程求解

例题10两铸件用两根钢杆1.2连接,其间距为l=200mm.现要将制造得过长了

e=0.11mm的铜杆3装入铸件之间,并保持三根杆的轴线平行且等间距a,试计算各杆内的装配应力.已知：钢杆直径d=10mm,铜杆横截面积为20

30mm的矩形,钢的弹性模量E=210GPa,铜的弹性模量E3=100GPa.铸件很厚,其变形可略去不计,故可看作刚体.ABC12aaB1A1C1l3C1C'

e（1）变形几何方程为l3C1

eC''

l3ABC12B1C1A1

l1

l2=aax（3）补充方程（4）平衡方程（2）物理方程C'A'B'FN3FN1FN2

联立平衡方程与补充方程求解,即可得装配内力，进而求出装配应力.一、基本概念和实例

(Basicconceptsandexamples)1.工程实例(Engineeringexamples)

（1）螺栓连接(Boltedconnections)§2-7

剪切变形(Sheardeformation)（2）铆钉连接(Rivetedconnections)FF螺栓(bolt)FF铆钉(rivet)FF铆钉(rivet)m轴(shaft)键(key)齿轮(gear)（3）键块联接(Keyedconnection)（4）销轴联接(Pinnedconnection)FFABddd1d1nn（合力）（合力）FF2.受力特点(Characterofexternalforce)以铆钉为例

构件受两组大小相等、方向相反、作用线相互很近的平行力系作用.3.变形特点(Characterofdeformation)

构件沿两组平行力系的交界面发生相对错动.4.连接处破坏三种形式:(Threetypesoffailureinconnections)（1）剪切破坏沿铆钉的剪切面剪断，如沿n-n面剪断

.（2）挤压破坏铆钉与钢板在相互接触面上因挤压而使溃压连接松动，发生破坏.（3）拉伸破坏

钢板在受铆钉孔削弱的截面处，应力增大，易在连接处拉断.FnnFS剪切面(shearingplane)nn（合力）（合力）FFmmF剪切面FS二、剪切的应力分析

(Analysisofshearingstress)1.内力计算(Calculationofinternalforce)

FS

-

剪力(shearingforce)

FFmm2.切应力（Shearingstress）式中，FS-

剪力(shearingforce)

A-剪切面的面积

(areainshear)3.强度条件(Strengthcondition)[

]为材料的许用切应力(Allowableshearingstressofamaterial)(factorofsafety)mmF剪切面FFmmn-安全因数-剪切极限应力(ultimateshearingstress)

螺栓与钢板相互接触的侧面上,发生的彼此间的局部承压现象,称为挤压(bearing).三、挤压的应力分析(Analysisofbearingstress)FFFF

在接触面上的压力,称为挤压力(bearingforce),并记为F

挤压面剪切面1.挤压力(Bearingforce)

F=FS（1）螺栓压扁（2）钢板在孔缘压成椭圆2.挤压破坏的两种形式

(Twotypesofbearingfailure)FF3.挤压应力(Bearingstress)F

-挤压力(bearingforce)Abs

-挤压面的面积(areainbearing)4.强度条件(Strengthcondition)[

bs]-许用挤压应力(allowablebearingstress)挤压现象的实际受力如图所示.（1）当接触面为圆柱面时,挤压面积Abs为实际接触面在直径平面上的投影面积

dh实际接触面直径投影面挤压面的面积计算（2）当接触面为平面时,Abs为实际接触面面积.四、强度条件的应用(Applicationofstrengthconditions)(Checktheintensity)1.校核强度(Determinetheallowabledimension)2.设计截面(Determinetheallowableload)3.求许可载荷解：（1）键的受力分析如图

例题11齿轮与轴由平键连接,已知轴的直径d=70mm,

键的尺寸为b×h×L=20×12×100mm,传递的扭转力偶矩Me=2kN·m,键的许用切应力为[

]=60MPa,许用挤压应力为[

bs]=100MPa.试校核键的强度.bhlMedFMeh综上，键满足强度要求.（2）校核剪切强度（3）校核挤压强度MedFbhlA例题12一销钉连接如图所示，已知外力

F=18kN,被连接的构件A和B的厚度分别为d=8mm和d1=5mm,销钉直径d=15mm,销钉材料的许用切应力为[

]=60MPa,许用挤压应力为[

bs]=200MPa.试校核销钉的强度.d1FFAdd1Bdd1FFAdd1Bd解:（1）销钉受力如图b所示dF剪切面挤压面dF挤压面FFSFS（2）校核剪切强度由截面法得两个面上的剪力剪切面积为（3）挤压强度校核

这两部分的挤压力相等，故应取长度为d的中间段进行挤压强度校核.故销钉是安全的.剪切面DdhF（1）销钉的剪切面面积A（2）销钉的挤压面面积Abs

思考题挤压面DdhF挤压面剪切面hd

例题13一铆钉接头用四个铆钉连接两块钢板.钢板与铆钉材料相同.铆钉直径d=16mm,钢板的尺寸为b=100mm,d=10mm,F=90kN,铆钉的许用应力是[

]=120MPa,[

bs]=120MPa,钢板的许用拉应力[

]=160MPa.试校核铆钉接头的强度.FFddFFbFFdd解：（1）校核铆钉的剪切强度每个铆钉受力为F/4每个铆钉受剪面上的剪力为FFbF/4F/4剪切面（2）校核铆钉的挤压强度每个铆钉受挤压力为F/4F/4F/4剪切面挤压面（3）校核钢板的拉伸强度FF/4F/4F/4F/4+F3F/4F/4整个接头是安全的FF/4F/4F/4F/41122

压杆稳定

第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为

例如:一长为300mm的钢板尺,横截面尺寸为20mm

1mm.钢的许用应力为[

]=196MPa.按强度条件计算得钢板尺所能承受的轴向压力为[F]=A[

]=3.92kN§9–1

压杆稳定的概念

(Thebasicconceptsofcolumns)

实际上,其承载能力并不取决于轴向压缩的抗压强度,而是与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时,钢板尺就突然发明显的弯曲变形,丧失了承载能力.一、引言(Introduction)

工程中有些构件具有足够的强度、刚度,却不一定能安全可靠地工作.构件的承载能力①强度②刚度③稳定性二、工程实例（Exampleproblem）案例120世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏（TheodoreCooper）在圣劳伦斯河上建造魁比克大桥(QuebecBridge)1907年8月29日，发生稳定性破坏，85位工人死亡，成为上世纪十大工程惨剧之一.三、失稳破坏案例(Buckingexamples)案例21995年6月29日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由于盲目扩建，加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏使大楼倒塌，死502人，伤930人，失踪113人.案例32000年10月25日上午10时南京电视台演播中心由于脚手架失稳造成屋顶模板倒塌，死6人，伤34人.研究压杆稳定性问题尤为重要1.平衡的稳定性（Stabilityofequilibrium

）

四、压杆稳定的基本概念(Thebasicconceptsofcolumns)随遇平衡2.弹性压杆的稳定性(StabilityofEquilibriumappliestoelasticcompressivemembers)—稳定平衡状态

—临界平衡状态

—不稳定平衡状态

关键确定压杆的临界力

Fcr稳定平衡不稳定平衡临界状态临界压力:Fcr过度对应的压力abc五、稳定问题与强度问题的区别(Distinguishbetweenstableproblemandstrengthproblem)平衡状态应力平衡方程极限承载能力直线平衡状态不变平衡形式发生变化小于限值

s,

b小于限值s<scr变形前的形状、尺寸变形后的形状、尺寸实验确定理论分析计算强度问题稳定问题压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？压杆§9-2

两端绞支细长压杆的临界压力(TheCriticalLoadforastraight,uniform,axiallyloaded,pin-endedcolumns)mmFM(x)=-FwxyBmxmwBxylF该截面的弯矩杆的挠曲线近似微分方程压杆任一x截面沿y

方向的位移（a)令

(b)式的通解为（A、B为积分常数）(b)得

mmxyBFM(x)=-Fw边界条件

由公式(c)讨论：

若

mxmwBxylF则必须

这就是两端铰支等截面细长受压直杆临界力的计算公式（欧拉公式）.令n=1,得mxmwBxylF§9-3

其它支座条件下细长压杆的临界压力(Euler’sFormulaforotherendconditions)1.细长压杆的形式（Differentendconditionsofastraightcolumns)

两端铰支一端自由一端固定一端固定一端铰支两端固定2.其它支座条件下的欧拉公式(Euler’sFormulaforOtherEndConditions)lFcr2lFcrl0.3l0.7lFcrl—长度因数—相当长度欧拉公式lFcrl/4l/4l/2l两端铰支一端固定，另一端铰支两端固定一端固定，另一端自由表9-1各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式

支承情况临界力的欧拉公式长度因数

=1

=0.7

=0.5

=2欧拉公式的统一形式(GeneralEulerBucklingLoadFormula)（

为压杆的长度因数）5.讨论（Discussion)

为长度因数

l

为相当长度（1）相当长度

l

的物理意义

压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长度

l.

zyx取Iy，Iz中小的一个计算临界力.

若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界压力.I为其相应中性轴的惯性矩.

即分别用Iy，Iz

计算出两个临界压力.然后取小的一个作为压杆的临界压力.（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩I

若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则I应取最小的形心主惯性矩.例题1已知一内燃机、空气压缩机的连杆为细长压杆.截面形状为工字钢形，惯性矩Iz=6.5×10

4

mm4,Iy=3.8×10

4

mm4，弹性模量E=2.1×10

5MPa.试计算临界力Fcr.x8801000yzyxz880FF