桥隧选修6常用测量坐标系及其变换

常用测量坐标系及其变换梁建昌主要内容一、坐标系统介绍二、坐标系转换一、坐标系统（一）基本概念1、大地基准大地基准是建立国家大地坐标系统和推算国家大地控制网中各点大地坐标的基本依据(考椭球的大小、形状及其定位、定向参数)，包括一组大地测量参数和一组起算数据。建立大地基准就是求定旋转椭球的参数及其定向(椭球旋转轴平行于地球的旋转轴起始子午面平行于地球的起始子午面)和定位(旋转椭转中心与地球中心的相对关系)。2、大地测量参考系统

坐标参考系统：天球坐标系和地球坐标系。

天球坐标系用于研究天体和人造卫星的定位与运动。

地球坐标系用于研究地球上物体的定位与运动，是以旋转椭球为参照体建立的坐标系统，分为大地坐标系和空间直角坐标系两种形式。以大地水准面为参照面的高程系统称为正高，以似大地水准面为参照面的高程系统称为正常高。正常高Ｈ正常及正高Ｈ正与大地高有如下关系：

H=H正常+ζH=H正

+N3、高程参考系统4.大地测量参考框架大地测量参考框架是大地测量参考系统的具体实现，是通过大地测量手段确定的固定在地面上的控制网（点）所构建的，分为坐标参考框架、高程参考框架、重力参考框架。国家平面控制网是全国进行测量工作的平面位置的参考框架，国家平面控制网是按控制等级和施测精度分为一、二、三、四等网。目前提供使用的国家平面控制网含三角点、导线点共154348个。国家高程控制网是全国进行测量工作的高程参考框架，按控制等级和施测精度分为一、二、三、四等网，目前提供使用的1985国家高程系统共有水准点成果114041个，水准路线长度为4166191公里。国家重力基本网是确定我国重力加速度数值的参考框架，目前提供使用的2000国家重力基本网包括21个重力基准点和126个重力基本点。“2000国家GPS控制网”由国家测绘局布设的高精度GPSA、B级网，总参布设的GPS一、二级网，地震局、总参测绘局、科学院、国家测绘局共建的中国地壳运动观测网组成，该控制网整合了上述三个大型的有重要影响力的GPS观测网的成果，共2609个点，通过联合处理将其归于一个坐标参考框架，可满足现代测量技术对地心坐标的需求，是我国新一代的地心坐标系统的基础框架。

平面直角坐标系大地坐标坐标系空间直角系与地球固结在一起的坐标系（地球坐标系）不与地球固结在一起的坐标系（天球坐标系）（二）坐标系统的种类和各自优势（三）大地坐标和空间直角坐标1.大地坐标和空间直角坐标概念（1）大地坐标和空间直角坐标的建立1）大地坐标系

P点的子午面NPS与起始子午面NGS所构成的二面角叫做P点大地经度，P点的法线Pn与赤道面的夹角B叫P点的大地纬度，P点的位置用L、B表示。PH若P点不在椭球面上，还要一个参数：大地高H来表示点位。它与正常高及正高的关系为：

大地坐标系是大地测量的基本坐标系，具有如下的优点:(1)它是整个椭球体上统一的坐标系，是全世界公用的最方便的坐标系统。经纬线是地形图的基本线，所以在测图及制图中应用这种坐标系。

(2)它与同一点的天文坐标(天文经纬度)比较，可以确定该点的垂线偏差的大小。2）空间直角坐标系以椭球中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴，在赤道面上与X轴正交的方向为Y轴，椭球体的旋转轴为Z轴，构成右手坐标系O-XYZ，在该坐标系中，P点的位置用X、Y、Z表示（2）极移地轴相对于地球本身相对位置变化地球自转轴存在相对于地球体自身内部结构的相对位置变化，从而导致极点在地球表面上的位置随时间而变化，这种现象称为极移。某一观测瞬间地球极所在的位置称为瞬时极，某段时间内地极的平均位置称为平极。地球极点的变化，导致地面点的纬度发生变化。国际天文联合会IAU和国际大地测量与地球物理联合会IUGG在1967年于意大利共同召开的第32次讨论会上，建议采用国际上5个纬度服务(ILS)站以1900～1905年的平均纬度所确定的平极作为基准点，通常称为国际协议原点CIO(ConventionalInternationalOrigin)，它相对于1900～1905年平均历元1903.0。（3）协议地球极、协议坐标系国际极移服务IPMS(InternationalPolarMotionService)和国际时间局BIH等机构分别用不同的方法得到地极原点，因而有不同的CIO,属于BIH的有BIH1968.0,BIH1979.0,BIH1984.0等。与CIO相应的地球赤道面称为平赤道面或协议赤道面。以协议地极CIP为指向点的地球坐标系称为协议地球坐标系CTS(ConventionalTerrestrialSystem)，以瞬时极为指向点的地球坐标系称为瞬时地球坐标系。在大地测量中采用的地心地固坐标系大多采用协议地极原点CIO为指向点，因而也是协议地球坐标系；一般情况下协议地球坐标系和地心地固坐标系代表相同的含义。

2.参心坐标系、地心坐标系（1）参心坐标系参心坐标系:以参考椭球为基准的坐标系参心坐标系还是地心坐标系均可分为空间直角坐标系和大地坐标系两种,都是地固坐标系。建立（地球）参心坐标系，需选择椭球参数和参进行考椭球的定位与定向：①选择或求定椭球的几何参数（长短半径）；②确定椭球中心位置（定位）；③确定椭球短轴的指向（定向）；④建立大地原点。地心空间直角坐标系

原点O与地球质心重合，Z轴指向地球北极，X轴指向格林尼治平均子午面与地球赤道的交点，Y轴垂直于XOZ平面构成右手坐标系。地心大地坐标系

地球椭球的中心与地球质心重合，椭球面与大地水准面在全球范围内最佳符合，椭球短轴与地球自转轴重合（过地球质心并指向北极）。大地纬度、大地经度、大地高地球北极是地心地固坐标系的基准指向点，地球北极的变动将引起坐标轴方向的变化。（2）地心坐标系

建国初期，为了迅速开展我国的测绘事业，鉴于当时的实际情况，将我国一等锁与原苏联远东一等锁相连接，然后以连接处呼玛、吉拉宁、东宁基线网扩大边端点的原苏联1942年普尔科沃坐标系的坐标为起算数据，平差我国东北及东部区一等锁，这样传算过来的坐标系就定名为1954年北京坐标系。因此，P54可归结为：

a．属参心大地坐标系；

b．采用克拉索夫斯基椭球的两个几何参数；

c.大地原点在原苏联的普尔科沃；

d．采用多点定位法进行椭球定位；

e．高程基准为1956年青岛验潮站求出的黄海平均海水面；

f．高程异常以原苏联1955年大地水准面重新平差结果为起算数据。按我国天文水准路线推算而得。

3.常用坐标系介绍（1）1954年北京坐标系

C80是为了进行全国天文大地网整体平差而建立的。根据椭球定位的基本原理，在建立C80坐标系时有以下先决条件：

（1）大地原点在我国中部，具体地点是陕西省径阳县永乐镇；

（2）C80坐标系是参心坐标系，椭球短轴Z轴平行于地球质心指向地极原点方向，大地起始子午面平行于格林尼治平均天文台子午面；X轴在大地起始子午面内与Z轴垂直指向经度0方向；Y轴与Z、X轴成右手坐标系；

（3）椭球参数采用IUG1975年大会推荐的参数

因而可得C80椭球两个最常用的几何参数为：

长轴：6378140±5（m）；扁率：1：298.257

（4）多点定位；椭球定位时按我国范围内高程异常值平方和最小为原则求解参数

（5）大地高程以1956年青岛验潮站求出的黄海平均水面为基准

（2）1980年国家大地坐标系CGCS2000（ChinaGeodeticCoordinateSystem2000）国家2000大地坐标系是全球地心坐标系在我国的具体体现，其定义包括坐标系的原点、三个坐标轴的指向、尺度以及地球椭球的4个基本参数的定义。原点为包括海洋和大气的整个地球的质量中心；Z轴由原点指向历元2000.0的地球参考极的方向，该历元的指向由国际时间局给定的历元为1984.0的初始指向推算；X轴由原点指向格林尼治参考子午线与地球赤道面（历元2000.0）的交点；Y轴与Z轴、X轴构成右手正交坐标系。采用广义相对论意义下的尺度。（3）2000国家大地坐标系2000国家大地坐标系采用的地球椭球参数的数值为：长半轴a＝6378137m扁率f＝1/298.257222101地心引力常数GM＝3.986004418×1014m3s-2自转角速度

ω＝7.292115×10-5rad·s-1

我国自2008年7月1日起启用2000国家大地坐标系。短半径b(m) 6356752.31414极曲率半径c(m) 6399593.62586第一偏心率e 0.0818191910428第一偏心率平方e2 0.00669438002290第二偏心率 0.0820944381519第二偏心率平方2 0.006739496775481/4子午圈的长度Q(m) 10001965.7293椭球平均半径R1(m) 6371008.77138相同表面积的球半径R2(m) 6371007.18092相同体积的球半径R3(m) 6371000.78997椭球的正常位U0(m2s-2) 62636851.7149动力形状因子J2 0.001082629832258球谐系数J4 -0.00000237091126球谐系数J6 0.00000000608347球谐系数J8 -0.00000000001427正常重力平均值γ（伽） 9.7976432224纬度45度的正常重力值γ45°（伽） 9.8061977695美国国防部1984年世界大地坐标系是一个协议地球参考系CTS（ConventionalTerrestrialSystem）,其原点是地球的质心，Z轴指向BIH1984.0定义的协议地球极CTP（ConventionalTerrestrialPole）方向，X轴指向BIH1984.0零度子午面和CTP赤道的交点，Y轴和Z、X轴构成右手坐标系。WGS-84椭球采用国际大地测量与地球物理联合会第17届大会大地测量常数推荐值（4）WGS-84世界大地坐标系自1987年1月10日之后，GPS卫星星历均采用WGS-84坐标系统。因此GPS网的测站坐标及测站之间的坐标差均属于WGS-84系统。为了求得GPS测站点在地面坐标系（属于参心坐标系）中的坐标，就必须进行坐标系的转换。WGS-84椭球基准参数4个基准参数：长半轴a=6378137m地球引力常数（含大气层）GM=3986005×108m3s-2正常化二阶带球谐系数C2.0=-484.16685×10-6地球自转角速度ω=7292115×10-11rad/s20世纪60年代以来，美国和原苏联等国家利用卫星观测等资料，开展了建立地心坐标系的工作。美国国防部曾先后建立过世界大地坐标系(WorldGeodeticSystem，简称为WGS)WGS-60，WGS-66和WGS-72，并于1984年开始，经过多年修正和完善，建立起更为精确的地心坐标系统，称为WGS-84。

当测区面积小于100km2时，可不进行方向和距离改正，直接把局部地球表面作为平面建立独立的平面直角坐标系。起算坐标和起算方位角最好能与国家网联测，如果联测有困难可自行测定边长和方位，而起始点坐标可假定。这种假定平面直角坐标系只限于某种工程建筑施工之用。（四）独立平面直角坐标2023/11/28271

投影面：用测区中心点a的切平面作为投影平面.图1-9）图1-9图1-101

坐标系原点O:一般选在测区的西南角，使测区内各点均处于第一象限，坐标均为正值。x轴:南北方向为纵轴，向北为正，向南为负；y轴:东西方向为横轴，向东为正，向西为负。坐标系中象限按顺时针方向编号，x轴与y轴互换。

在测量中常将点的平面直角坐标称为点的平面位置。假定平面直角坐标系(地方独立坐标系)的特点：1)投影面一般采用区域的平均高程面；2)投影的中央子午线一般采用过位于区域中心附近的子午线，或采用经度为整分或整度的子午线。3)原点的坐标一般加上某个整数，使整个区域中的坐标不出现负值，也有些城市如上海，其加常数为0。4)其高斯坐标所对应的椭球面应是与投影面相接近的区域性椭球面，而不是国家参考椭球面。（五）高斯平面直角坐标系1.什么是高斯平面直角坐标高斯投影是高斯在1820~1830年间，为解决德国汉诺威地区大地测量投影问题而提出的一种投影方法。1912年起，德国学者克吕格(Kruger)将高斯投影公式加以整理和扩充并推导出了实用计算公式。①用一个空心椭圆柱横套在参考椭球外面，使椭圆柱与某一投影带的中央子午线相切；②再将椭球面上这一带的图形按保角投影的原理投影到圆柱体面上；③然后将圆柱体沿着过南北极的母线切开，展开成为平面；④并在该平面上定义平面直角坐标系。2.为什么要投影和分带（控制测量对地图投影的要求）1)采用等角投影（又称正形投影）2)长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起的改正数。3)能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单的、同样的计算公式和用表把各带联成整体。在三角测量中大量的角度观测元素在投影前后保持不变，免除了大量投影计算工作;可以保证在有限的范围内地图上的图形同椭球上原形保持相似，识图、用图很大方便。31(统一)6°带:从首子午线(通过英国格林尼治天文台的子午线)起，每隔经度6°划分为一带，自西向东将整个地球划分为60个带。带号从首子午线开始，用阿拉伯数字表示，编号为1～60。

中央子午线：位于各投影带中央的子午线，称为各带的中央子午线。则六度带中央子午线的经度依次为3°,9°,15°,…,357°。任何六度带的中央子午线经度与带号关系为:L0=6N-3。反之，已知地面任意点的经度L，要求计算该点所在的统一6°带编号的公式为N=INT(L/6)+1.例如：某点经度为东经118°，其带号为20，其所在六度带的中央子午线经度L=120

°。

3°带:

自东经1°30′开始每隔经差3°划分一带,将地球共分120个带，带宽3°,编号为1～120;各带的中央子午线的经度L0依次为3°,6°,…,360°。3.怎样投影和分带2023/11/28326°，3°投影带3°带带号k与中央子午线经度的关系

L0′＝3n

（1-2）。我国经度:75°～135°

6°带带号:13～23带

3°带带号:25～45带不难看出，两者之间无重叠带号；3°带的中央子午线经度有一半与6°带中央子午线经度相同，另一半是6°分带子午线经度。2023/11/2833

l

x轴——中央子午线经投影展开后是一条直线，其长度不变形。以此直线作为纵轴。赤道以北为正，赤道以南为负；

l

y轴——赤道经投影展开后是一条与中央子午线相正交的直线，将它作为横轴。中央子午线以东为正，以西为负。

l

原点——两轴线的交点作为O点。这样，各带就构成了独立的平面直角坐标系，称为高斯—克吕格平面直角坐标系。

高斯平面直角坐标系的建立高斯投影结果

(1)高斯投影坐标正算公式高斯投影必须满足以下三个条件：①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。4.高斯投影坐标正反算第一类称高斯投影正算公式，亦即由（B,L）求（x、y）;第二类称高斯投影反算公式，亦即由（x、y）求（B,L）。由①中央子午线投影后为直线可知：因为地球椭球体是一个旋转椭球体，所以中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线。为l的偶函数，为l的奇函数即：(8-41)因高斯投影是分带投影，经差l一般不大于3°，l″/ρ″≈1/20是一个微小量，所以可将上式展开为经差l的幂级数:1.高斯投影坐标正算一般公式上式分别对q,l求偏导数：由，即正形投影条件可知：2.求一般公式中的各系数上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂前的系数应相等，即可见：是一种递推公式，关键确定由②中央子午线投影后长度不变可知：

位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x应该等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长，即：式中X为自赤道量起的子午线弧长。（1）求m0（2）求m1（3）求m2（4）求m3、m4、m5，……3.高斯投影坐标正算公式将各系数代入(1)略去η2l5及l6以上各项，得：此式，在经差小于3.5°时，精度为±0.1m(2)扩展到精度0.001m的公式：自赤道量起的到所求点的子午线弧长所求点的大地经度与该点所在带的中央子午线的大地经度之差(2)高斯投影坐标反算公式投影方程①x坐标轴投影后为中央子午线,是投影的对称轴；②x坐标轴投影后长度不变；③投影具有正形性质。即高斯面上的角度投影到椭球面上后角度没有变形，仍然相等。投影函数φ1、φ2应满足以下三个条件：

首先根据x计算纵坐标在椭球面上的垂足纬度Bf，接着按Bf计算(Bf-B)及经差l,最后得到反算公式的推导方法的基本思想：1.高斯投影坐标反算基本思想借助等量纬度2.高斯投影坐标反算基本公式c由于高斯投影区域不大，将(q,l)展开为y的幂级数。顾及到“X是投影的对称轴”，q应是y的偶函数，l应是y的奇函数，因此3.（q-qf）、l正形投影第三条件求偏导代入整理下面的目标是它代入继续还剩着前面提到的变换形式6.精度为0.0001″的高斯投影坐标反算公式将（8-85）、（8-86）代入(8-81)，得：垂足纬度。其值由子午线弧长计算公式反算求得(3)高斯投影坐标正反算公式的几何解释①当B=0时，x=X=0，y则随l的变化而变化。可见：赤道投影为一直线且为y轴。②当l=0时,则y=0,x=X。可见：中央子午线投影亦为直线，且为x轴，其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。③当l=常数时，随着B值增加，x值增大，y值减小；且当用-B代替B时，y值不变，而x值数值相等符号相反。可见：经线是凹向中央子午线的曲线，收敛于两极。且对称与中央子午线和赤道。④当B=常数时，随着的l增加，x值和y值都增大；又当用-l代替l时，x值不变，而y值数值相等符号相反。可见：纬线是凸向赤道的曲线，中央子午线是投影对称轴。⑤满足正形投影条件，所以经线和纬线的投影是互相垂直的。⑥距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。1）位于两个相邻带边缘地区并跨越两个投影带的控制，为了能在同一带内进行平差计算，计算前，必须先进行起始坐标统一化换算。(1)换带的原因

一个带的平面坐标换算到相邻带的平面坐标，简称为“邻带换算”。5.高斯投影坐标换带2)在分界子午线附近测图时，往往需要用到另一带的三角点作为控制，因此必须将这些点的坐标换算到同一带中；为实现两相邻带地形图的拼接和使用，在于45＇(或37.5＇)重叠地区的平面控制点需要具有相邻带的坐标值。3)当大比例尺(1:0000或更大)测图时,特别是在工程测量中，要求采用3°带、1.5°带或任意带，而国家控制点通常只有6°带坐标,这时就产生了6°带同3°带(或1.5“带、任意带)之间的相互坐标换算问题。(2)应用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算平面坐标大地坐标平面坐标实质：把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标:

利用高斯投影的正反算公式，可以进行不同投影带坐标的换带计算。这种方法,理论上最简明严密，精度最高，通用性最强。不仅适用于6°-6°带，3°-3°带以及6°-3°带互相之间的邻带坐标换算，且适用于任意带之间的坐标换算。虽计算量稍大，但由于计算机的普及和本法的通用性及计算的高精度，它自然便成为坐标邻带换算中最基本的方法。反算公式正算公式4.由高斯投影正算，求得新的高斯投影坐标x'，y'。算步骤：1.根据高斯投影坐标x,y，反算得纬度B和经度差l；2.由中央子午线的经度L0,求得经度L=L0+l；3.根据换带后新的中央子午线经度L0‘

，计算相应的经差;算例在中央子午线的Ⅰ带中，有某一点的平面直角坐标，，现要求计算该点在中央子午线的第Ⅱ带的平面直角坐标。计算步骤：根据,利用高斯反算公计算换算,，得到:，。采用已求得的,，顾及第Ⅱ带的中央子午线，求得，利用高斯正算公式计算第Ⅱ带的直角坐标,。为了检核计算的正确性，要求每步都应进行往返计算二、坐标转换1.平面坐标转换两个平面直角坐标系之间的相似转换一般都包含四个原始转换参数，即两个平移参数(△x，△y)，一个旋转参数α和一个尺度参数m。常见的转换过程有两个：先旋转、再平移、最后统一尺度；先平移、再旋转、最后统一尺度。数学模型：令：得：例：曲线测量中两个切线坐标系的坐标统一换算

一个曲线有两个切线坐标系，要在一个置镜点用极坐标法测设整个曲线，需要将另半个曲线在HZ点切线坐标系下的x′、y′的坐标转换为ZH坐标系下的坐标x、y。

当P点位于椭球面上时：2.大地坐标和空间直角