2021学年沪教版八年级上册数学- 第11讲：反比例函数-（教师版）

自学资料

主题：反比例函数

自学五步法

◎兴趣起航

什反比例函数的概念

反比例函数反比例函数的图像

-［反比例函数的性质

0乐学善思

一、反比例函数的概念

1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，我们就说这两个变量

成反比例.用数学式子表示两个变量X、y成反比例，就是孙=%,或表示为y=&,其中k是不

X

等于0的常数.

2、解析式形如y=K（%是常数，k/0）的函数叫做反比例函数，其中％叫做比例系数.

X

3、反比例函数y=4的定义域是不等于零的一切实数.

X

【例1】下列变化过程中的两个变量成反比例的是（）

A.圆的面积和半径B.矩形的面积一定，它的长与宽

C.完成一项工程的工效与完成工期的时间D.人的身高及体重

【答案】B

【解析】矩形面积=长乂宽，即5=必，S为定值，可知它的长与宽成反比例，B正确；注意

区分C选项，工效与工作时间成反比，而非完成工期的时间.

【总结】考查反比例函数的基本概念，会判断两个量是否是反比例关系，只需看两个量的乘积

是否为定值即可.

【例2】(1)已知：y与x成反比例，且x=-l时，y=2,则它的函数解析式是:

(2)已知y与成反比例，且当x=-2时，y=--,则当x=l时，y=.

-'43

【答案】(1)y=--；(2)-9.

X

【解析】(1)设函数解析式为旷=&,即有&=2,得：k=-2,则函数解析式为y=-2；

x-1x

⑵设函数解析式为尸)即有自7,得」一函数解析式为L*则当

T时,

【总结】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，也可直接利用成反比例函数关系

的积为定值求解.

【例3】下列函数(其中x是自变量)中，哪些是反比例函数?哪些不是，为什么？

X1

(1)y==;(2))=2k；(3)y=—(k^O)；

3kx

7

(4)孙=一2;(5)y=—+1.

x

【答案】(2)、(3)、(4)是反比例函数，(1)、(5)不是反比例函数.

【解析】反比例函数有三种基本形式y)、y=kx-\xy=k,均要求ZwO,(2)(3)(4)

X

符合这几种形式，是反比例函数，(1)(5)不是.

【总结】考查根据反比例函数的定义判断函数是否为反比例函数.

【例4】(1)如果y=(k-l)，g是反比例函数，则G的值是；

(2)已知函数y=(，"-3)x"j＞是反比例函数，则加=.

【答案】(1)0；(2)-3.

【解析】(1)由题意可得尸解得：k=0；

(2)由题意可得"T°=T,解得：加=-3.

加一3工0

【总结】考查反比例函数丫=依-«*0)的形式，根据次数确定相应字母取值一定要注意比例系

数不为0的前提条件.

【例5】下列说法中正确的有()个.

(1)当心0时，产是反比例函数；

kx

(2)如果y=5，那么y与丁成反比例；

(3)如果y=――^+疗一1是反比例函数，贝（J〃?=±1；

X

(4)如果x、y成正比例，y与z成反比例,则x与z成反比例

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】根据反比例函数的意义，可知（1）（2）正确；（3）为反比例函数，则有

,解得：，〃=一1,（3）错误；（4）根据题意，令x=Ky（K*O）,尸幺伏#0）,则有

m-1=0z

x=也，由可知X与Z成反比例；（1）（2）（4）正确，故选C.

Z

【总结】考查反比例函数的概念.

【例6】已知某反比例函数，且当x=l时，y=-2,当、=-3时y=求加的值.

【答案】］

3

【解析】设函数解析式为丫=々％/0），即有«=-2,得：k=-2,则函数解析式为y=-2,则

X1X

当%=-3时,y=m=-.

3

【总结】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，也可直接利用成反比例函数关系

的积为定值求解.

【例7】已知y+2与成反比例，且当工=-1时＞=-3,当x=3时，y的值.

【答案】-1.

【解析】令y+2=—（2。0）,根据题意，则有-3+2="，得：k=2,

x-1-1-1

则相应解析式为y=/—2,当x=3时，则有丁==—2=-1.

x-13-1

【总结】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，也可直接利用成反比例函数关系

的积为定值求解.

【例8】已知一梯形的面积是30,上底长是下底长的;，设下底长为x,高为y,求y关于x

的函数关系式并写出这个函数的定义域.

【答案】>>=—(x>0).

【解析】根据梯形面积公式，面积=；(上底+下底)义高，即得：g；x+:|)，=30,

整理可得：y=-,实际问题中，函数定义域为x>0.

X

【总结】考查反比例函数在实际问题中的应用，注意实际问题的定义域.

【例9】已知反比例函数y=±的图像上有一点A,它的横坐标x和纵坐标y是方程

X

--2%-8=0的两个根,求:

(1)k的值；

(2)点A到y轴的距离.

【答案】(1)-8；(2)2或4.

【解析】(1)根据一元二次方程韦达定理，可得4=冲=-8

(2)/一2>8=0,解得：x,=-2,&=4,即得卜7,3=4,点4到y轴的距离即

E=4[%=-2

为凶=2或4.

【总结】考查反比例函数的性质的应用.

【例10】设y=2和%=与，当x=2时，*+%=1，*-必=3，求勺、内的值•

XX

【答案】仁=4,k2=-2.

k

【解析】依题意可得：?

h

,2

【总结】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，转化为解方程的问题.

【例11】已知y-2y\-y2,若％与尤成反比例，为与x+3成正比例，且当x=l时y=10,当x=-l

时y=2;

(1)求y与x间的函数关系式；

(2)求当y时，x的值.

【答案】(1)y=Z+2(x+3);(2)%="士国.

x8

【解析】(1)令y=2，%=N(x+3),则有y=2yf=3-心(x+3)，

XX

根据题意则有F尸解得：H=1则2+2(X+3);

v7

[-2仁-2a=2[k2=-2x

(2)令y=L则有Z+2(x+3)=L,整理得4/+11*+4=0,解得：x-*'~.

‘2x'"28

【总结】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，转化为解方程的问题.

二、反比例函数的图像

1、反比例函数y=&(左是常数，化力。)的图像叫做双曲线，它有两支.

X

三、反比例函数的性质

1、当%>0时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量X的值

逐渐增大时，y的值随着逐渐减小.

2、当％<0时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x的值

逐渐增大时，y的值随着逐渐增大.

3、图像的两支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交.

【例12](1)已知反比例函数"巴2图像在第二、四象限，则。的取值范围是；

X

(2)已知y=«(k#0)图像上有一点P(3,2),那么这个反比例函数的解析式为.

X

【答案】(1)a<2；(2)y=—•

x

【解析】⑴由反比例函数图像在第二、四象限，可得：67-2<0,即得：”2；

(2)依题意可得：-=2,即得：k=6,反比例函数解析式为：y=~.

3x

【总结】考查反比例函数的图像及图像上的点与函数关系式的关系.

【例13】已知反比例函数》=々4#0)的图像经过经过点(1,-2),则这个函数解析式是

X

;当xVO时，y的值随着x的增大而.

【答案】y=--,增大.

X

【解析】依题意可得V=-2,即得％=-2,反比例函数解析式为），=-2,k=—2<0,

1X

根据反比例函数的增减性，函数在每一个象限内随着x的增大而增大，即y值增大.

【总结】考查反比例函数的增减性，％<0时，在每一个象限内y随着x的增大而增大.

【例14]当机=时函数y=（M-2）--3”T是反比例函数，且当x>0时，y值随x的值增

大而减小.

【答案】3.

【解析】函数是反比例函数，可得〃金一3加-1=-1,解得：町=0,网=3；因为当x>0时，

y值随尤值增大而减小，可知机-2>0,即得：〃2=3.

【总结】考查反比例函数的定义和反比例函数的增减性的综合应用.

【例15]已知（3,4）是反比例函数》=竺*竺11图像上的一点，则函数图像必过

X

点（）.

A.（2,-6）B.（-6,2）C.（3,-4）D.（-3,-4）

【答案】D

【解析】点在反比例函数上，可知横纵坐标之积为定值，即为3x4=12,只有D选项满足

乘积为12,故选D.

【总结】考查反比例函数的性质的应用，也可求出〃，值代值计算.

【例16]（1）已知函数丫=巫」是反比例函数，则％的取值范围是；

X

（2）已知反比例函数）=四，点（%,%）、a，必）为其图像上的两点，若当

X

不<0<工2时，乂>必，则左的取值范围是.

【答案】（1）%20且心1;（2）k<-\.

【解析】（1）因为函数为反比例函数，则有即得改行,同时根据二次根式的非

负性，可得AN0,即得我的取值范围为女N0且％H1;

（2）当为<0</时，,>%，根据增减性，可得：2+1<0，即得：^<-1.

【总结】考查反比例函数的概念，注意题目的隐含条件，分清题目在同一象限和不同象限的增

减性，区分开比例系数与0的大小关系.

【例17]下列函数y=_3x,y=5x,y=Ly=-L中，每个象限内y的值随x的增大而减小的有

XX

（）个

A.0个8.1个C.2个O.3个

【答案】C

【解析】根据正比例函数的增减性，々<0时，y随着x增大而减小；反比例函数的增减性需

要考虑每个象限，因此可知函数y=-3x符合题意，故选B.

【总结】考查正比例函数和反比例函数的增减性的判断，正比例函数和反比例函数根据比例系

数与0的大小关系增减性是相反的.

【例18]下列函数y=±!（q是常数）的图像上有三点A（-3,凶）、B（T,%）、

X

C（2,%）,则乂、%、%的大小关系是（）

A.丫2<%<%B.y3<y2<y,

C-y,<y2<>3D.为<y<%

【答案】D

【解析】由-/-1<0恒成立，可知在每个象限内y随着x的增大而增大，由-3<-1<0,

可知0<乂<%，由2>0,得：y3<0,则有％<%<%，故选D.

【总结】考查反比例函数的增减性，注意反比例函数在每一个象限内有特定的增减性，不同象

限情况下需独立判断，或直接代入也可解题.

【例19]（1）已知尸（1,毋+i）在双曲线丫=人上，则双曲线的图像在第象限内，当

X

x<0时，y的值随x的减小而；

（2）设反比例函数y=-5一,当5W1O时，函数的最大值是.

【答案】（1）一、三，增大；（2）

2

【解析】（1）由点尸（1,病+1）在双曲线上，可得：/=病+1>0恒成立，由此可知函数

在一、三象限内，根据反比例函数的增减性，在每个象限内，y随着x的减小而增大；

（2）因为y=-5/,k=-5<0,根据反比例函数的增减性，在每个象限内，y随着x的

增大而增大，所以当54XV10时，可知x=10时函数有最大值Nmax=-5x10-=-：.

【总结】考查反比例函数的增减性，要根据反比例函数上的点判断出相应的左值与0的大小关

系，再利用其增减性解决问题.

【例20](1)平面直角坐标系中，点A(7-2,〃,5-附在第二象限，且加为整数，求过点A的

反比例函数解析式；

(2)若反比例函数)==的图像位于第二、四象限内，正比例函数y=(2k-l)x过一、三

x3

象限，求整数上的值.

【答案】(1)y=--;(2)2.

X

7

【解析】(1)由点A(7-2M,5-帆)在第二象限，可知7-2m<0,5-"2>0,得：—<机<5,

2

因为加为整数，即可得：m=4,A(-l,l).设过点的反比例函数解析式为y=4,

X

即有_L=1,得：k=T,即反比例函数解析式为y=」；

-1X

(2)由反比例函数y=9图像在二、四象限，可知4-3<0,即％<3,由正比例函数

X

y=(g)l-l)x过一、三象限，可知：后-1>0,由此可得：1<%<3,则整数k的值为2.

【总结】考查正比例函数和反比例函数性质的综合应用，根据函数所在象限判断出相应的比例

系数与0的大小关系，解决问题.

m

【例21】函数y=(加+4切)/可能是正比例函数或者是反比例函数吗?为什么？

【答案】不可能.

【解析】若函数y=(4+4m)xP是正比例函数，则应有£+1=1,解得：m=0,此时函

m

数比例系数M+4加=0,即不能为正比例函数；若函数y=(疗+4附”是反比例函数，

则应有‘+1=解得：帆=T,此时函数比例系数M+4/M=0,即不能为反比例函

2

数；综上所述，此函数即不可能是正比例也不可能是反比例函数.

【总结】考查正比例函数和反比例函数的判断，注意必须满足比例系数不能为0.

【例22】已知反比例函数y=4(七0),当自变量x的取值范围为-8J4-4时，相应的函数取

X

值范围是求这个反比例函数解析式.

【答案】y=M

X

【解析】当火>0时，在每个象限内，反比例函数的y值随着x值的增大而减小，可知x=-8

时，y=-；，x=~4时，y=-\,由（_8）x，g）=（T）x（_l）=4,可知此时&=4符合题意；当

%<0时，在每个象限内，反比例函数的y值随着x值的增大而增大，可知x=-8时，y=-\,

x=-4时，y=-g,由可知此时不符合题意，综上所述，k=4,即

反比例函数解析式为y=±.

X

【总结】考查反比例函数的增减性的综合应用，注意根据反比例函数的性质进行分析判断.

【例23】已知反比例函数图像上有一点P,过尸作y轴的垂线，垂足为"，如果△P。”的面

积为6,则反比例函数的解析式为.

【答案】y=±—.

x

【解析】根据反比例函数几何意义，可得无^=54=6,解得：2=±12,

即反比例函数解析式为y=±竺.

x

【总结】考查反比例函数的几何意义，通过反比例函数上一点向一条坐标轴作垂线，这个点与

垂足和原点所构成的三角形面积为;闷，注意加绝对值，有正负两个答案.

【例24]如图，x轴上一点C的坐标是（-3,0）.点尸从原点出发，沿y轴向上运动，过点

P作x轴的平行线，分别与反比例函数y和y=2的图像交于点A、B,在点尸从下向上

XX

移动过程中，三角形ABC的面积（）

A.逐渐增大B.逐渐减小

C.保持不变D.先增大，到一定程度后减小

【答案】C

【解析】联结PC,由AB//x轴，可知力=%=矶，

则有SMBC=5也B=](/-/)・研=/小%+/闻,%，

即可计算得其面积为LX4+LX2=3,面积保持不变，故选C.

22

【总结】考查反比例函数的几何意义的应用.

【例25]如图，矩形4BCD的边C。在无轴上，顶点A在双曲线广工上，顶点B在双曲线

X

y=-上，求矩形ABCQ的面积.V\I

E><2?^

(?|DC'x

【答案】2.

【解析】设则.3X,£|,由此可得：S,£=x_=l,

SBCOE=3x,一=3,则有S-S—S=3—1=2.

XABCDBC0EAIX)E

【总结】考查反比例函数的几何意义的综合应用，通过反比例函数上一点向两坐标轴作垂线，

与坐标轴围成的矩形面积为冈.

【例26】过原点作直线交双曲线丫=幺(&>0)于点A、C,过A、C两点分别作两坐标轴的平行

X

线，围成矩形ABC。，如图所示.

(1)已知矩形A8CO的面积等于8,求双曲线的解析式；

(2)若已知矩形ABCO的周长为8,能否由此确定双曲线的解析式?如果能，请予求出；

如果不能，说明理由.

【答案】（1）y=2；（2）无法确定.

X

【解析】（1）设因为过原点直线与反比例函数两交点

关于原点中心对称，可得：

1

由此可得SAB6=2X」=8,得：k=2,

X

即双曲线解析式为y=2；

X

（2）同（1）可得，QB8=2（2X+'）=8,由于一个方程含有两个未知数，因此k的值

无法确定，故反比例函数解析式也无法确定.

【总结】考查反比例函数的几何意义的综合应用，通过反比例函数上一点向两坐标轴作垂线,

与坐标轴围成的矩形面积为旧.

【例27】正方形OAPB、A。/法的顶点A、D、8在坐标轴上，点E在AP上，点P、E在函数

y=A（4>0）的图像上，已知正方形。APB的面积是16.

X

（1）求左的值和直线OP的函数解析式;

（2）求正方形AOEE的边长.

【答案】(1)%=16,lOP：y=x；(2)2A/5-2.

【解析】（1）由之阳=4尸加=16,且四边形为正方形,

则有即可得叱二肝二人即尸（4,4）,

根据反比例函数的几何意义，可得：k=16,

设直线OP函数解析式为则有4a=4,解得：a=l,

即可得直线OP的函数解析式为产x;

(2)设正方形AOEF边长为“，则川〃+4,a),因为爪a+4,a)在双曲线上，

根据反比例函数的几何意义，则有a(a+4)=16,解得：。=26-2(负舍)，

即得正方形4。£尸边长为2石-2.

【总结】考查反比例函数几何意义的应用.

【例28]如图，已知正方形0A8C的面积是9,点。为坐原点，A在x轴上，。在y轴上，B

在函数y=4(k>0,x>0)的图像上，点P(m,〃)在y=K(Q0,x>0)的图像上异于B的任意

XX

一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别是E、F.设矩形OEPF和正方形OABC

不重合部分的面积是S.

(1)求点8的坐标；

(2)当s=2时，求点P的坐标；

2

(3)写出S关于m的函数解析式.

【答案】(1)(3,3)；(2)(6,3或(1,61

9一36(0<加<3)

(3)S=<?7.

9---(〃2〉3)

、m

【解析】(1)因为%18c=AB-BC=9,且四边形为正方形，则有钻=BC,即得：AB=BC=3,

所以点B坐标为(3,3)；

(2)由(1)易得上=3x3=9,则反比例函数的解析式为：

X

因为矩形。“尸和正方形OABC不重合部分的面积是S,且S=2,设P(〃,2),

2a

当点尸位于点3下方时，有龌=3-3).；=|,解得：a=6,此时P点坐标为：(6,|'

当点P位于点8上方时，有5事=0.(2-3)=2,解得：。=3,此时P点坐标为：f-,6

a2212

综上，尸点的坐标为(6,野或信6)；

(3)用割补法求面积，即可得以下分类讨论:

当0<帆<3时，S=9-S4i=9-3m;

当，〃>3时，S=9-59=9-3〃，点P(m,ri')在双曲线上，即可得：n=—,

in

a27

则有S=9—3〃=9—3・一=9---;

mm

9—3w(0<机<3)

综上所述，S=«27-

9---(77?>3)

,m

【总结】考查反比例函数几何意义的应用，注意求面积时候用割补法进行分类讨论.

自：能力实践

【习题1】下列函数(其中X是自变量)中，哪些是反比例函数?哪些不是?为什么？

(1)y=--x;(2)y=—；

34

(3)y=---;(4)y=«(a为常数，。/0);

5xX

(5)y=—;(6)y=L

7CXX

【答案】(3)、(4)、(5)是反比例函数，(1)、(2)、(6)不是反比例函数.

【解析】反比例函数的基本形式为y=?kHO),则(3)(4)(5)符合，是反比例函数，

(1)(2)(6)不符合，即不是反比例函数.

【总结】考查根据反比例函数的定义判断已知函数是否为反比例函数.

【习题2】已知y-1与x成反比例，当户1时，y=3；当x=8时，y=.

【答案】

4

【解析】令y-l=K,根据题意，则有3-1=攵，得：k=2,则相应解析式为y=2+l,

XX

当x=8时，则有y=2+l=9.

84

【总结】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，也可直接利用成反比例函数关系

的积为定值求解.

【习题3】(1)反比例函数丫=5-2)--2的图像在第二、四象限，则〃尸；

(3)若反比例函数旷=3±3,当x<0时，y随x的增大而增大，则左的取值范围是

x

【答案】(1)±1;(2)k>-.

2

【解析】(1)因为函数为反比例函数，则有苏-2=-1,又函数图像在二、四象限，

则有％=加一2<0,解得：m=±];

(2)根据反比例函数的增减性，比例系数小于0时，在每个象限y内随着工的增大而增

大，依题意则有-2左+3<0,即得：k>~.

2

【总结】考查反比例函数的性质，根据图像所在象限或增减性判断出比例系数与0的大小关

系，解决问题.

【习题4】在函数y=A(Z>0)图像上有三点4(%,%),B(X2,y2),C(x,,y3),如果王<9<0<天，

x

试比较%，y2>为大小关系.

【答案】当<%<%•

【解析】当2>0时，反比例函数图像在每个象限内，y随着x的增大而减小，由大<七<0,可

知y2Vx<0，由工>0，得：%>0，则有％

【总结】考查反比例函数的增减性，注意反比例函数在每一个象限内有特定的增减性，不同象

限情况下需独立判断，或直接代入也可解题.

k+-

【习题5】反比例函数y=—2•+公-1的图像经过第二、四象限，求这个函数的解析式.

X

【答案】y=-，

2x

【解析】因为函数为反比例函数，则有公-1=0,又函数图像在二、四象限，则有4+10,

2

即可得：k=-\,则相应的函数解析式为y=-‘.

2x

【总结】考查反比例函数的定义求解相应字母，注意比例系数不能为0.

【习题6】作出反比例函数丫=乜的图像，并根据图像解答下列问题：

X

(1)当x=4时，求y的值；

(2)当》=-2时，求x的值；

(3)当y>2时，求x的范围.

【答案】（1）3；（2）-6；（3）0<x<6.

【解析】（1）当x=4时，y---3;（2）当y=-2时，—--2,即得：x=-6;

4x

（3）当y>2时，函数图像在第一象限，且函数值y随着x值的减小而增大,

当y=2时，易得：x=6,由此即得相应的x取值范围为0<x<6.

【总结】考查根据函数图像确定相应点坐标以及相应的点的取值范围.

【习题7】点P在反比例函数y=」（x>0）的图像上，且横坐标为2.若将点P先向右平移两个单

X

位，再向上平移一个单位后得到点P.求在第一象限内，经过点P.的反比例函数图像的解析

式.

【答案】y=-.

X

【解析】令x=2,则有y=即得：根据平面直角坐标系中点的平移，即可得

Pfd],设相应函数解析式为y=£则有人=4x3=6,即函数解析式为y=2

V2Jx2x

【总结】考查平面直角坐标系中点的平移和反比例函数解析式确定的综合应用.

【习题8】已知函数》=乂+必，片与x成反比例，%与（x-2）成正比例，当x=l时，y=-\;当

x=3时，y=5,求当x=6时，y的值.

【答案】—.

2

【解析】令乂=勺（2产0）,%=幺（*-2）（匕w（））,则有y=y+%=勺+匕（工-2）,

xx

根据题意则有"z,解得：。二，代入则有丁=上+4（工-2）,

+k?=5[欠2=4x

由此可得当x=6时，y=3+4x（6—2）=段.

【总结】考查利用“待定系数法”求正、反比例函数的比例系数，转化为解方程组即可

【习题9](1)若P是反比例函数尸过图像上的一点，轴，垂足为点Q,若％。°=2,求

X

%的值；

k

(2)已知反比例函数y=*的图像上有一点A,过A点向x轴，y轴分别做垂线，垂足分别

X

为点B,C,且四边形的面积为15,求这个反比例函数解析式.

【答案】⑴4；⑵15.

±3^=±7

【解析】⑴根据反比例函数几何意义，可得。号吁2,解得：・令

(2)根据反比例函数几何意义，可得％彩“心=困=15,解得：八±15,

即反比例函数解析式为y=士”.

X

【总结】考查反比例函数的几何意义，通过反比例函数上一点向一条坐标轴作垂线，这个点与

垂足和原点所构成的三角形面积为;闷，与两条坐标轴围成矩形面积为冈，注意加绝对值时，

有正负两个答案.

【习题10]如图，点A、B在反比例函数y=K(k>0)的图像上，且A、B横坐标分别是a、2a

X

(a>0).ACJ_x轴，垂足为C,三角形AOC的面积为2.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)若点(-a,y)、(-2“,％)也在反比例函数的图像上，试比较y,%的大小.

4y

【答案】(1)y=-;(2)yi<y-

x2

【解析】(1)根据反比例函数的几何意义，可得\

闷=2，由左>0，即得：k=4,F\AG

则反比例函数解析式为广+/J

(2)当4>0时，反比例函数图像在每个象限内^0\―CD；

y随x的减小而增大，由a＞0,即得：-为＜-。＜0,由此即得：乂＜必・

【总结】考查反比例函数的几何意义，与函数图像上点的坐标无关

【习题11］如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=W与反比例函数图像交于第一象限内

的点A,ABLx轴于点8,AB=6.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）在直线AB上是否存在点P,使点尸到正比例函数直线QA的距离等于点尸到点B

的距离?若存在，求点尸坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）y=（2）［（2百,2）,鸟（2省,-6）

【解析】（1）由45=6,即以=6,令y=Qr=6,解得：x=2上,则A（2百,6）,设反比例函

k

数解析式为y=—

X

则有余=6,解得…5

即反比例函数解析式为＞■=地

X

（2）设P（2百，y）,设点P到0A距离为d,由AB=6,BO=2上,可得NOA3=30。，则有

J=d=BP,则有即有|6-y|=2|y|,解得：y=-6,y2=2,即得

勺（2百,2）,鸟（26,-6）.

【总结】考查平面直角坐标系中点坐标和特殊角的结合应用，注意距离要加绝对值.

【习题12］已知反比例函数y=3与正比例函数相交与点A,点A的坐标是（1,加）.

X

（1）求此正比例函数解析式；

（2）若正比例函数y=与反比例函数＞的图像在第一象限内相交与点以过点A和点B

4x

分别做x轴的垂线，分别交x轴与点。和点。，AC和。8相交与点尸，求梯形PCDB的面

积；

（3）联结A3,求AAO6面积.

【答案】（1）y=4x;（2）-；（3）

82

【解析】（1）令X=l,即得：，w=y=4,即A（l,4）,设正比例函数解析式为丫=履，

由于函数过点A（l,4）,则有％=4,即正比例函数解析式为y=4x;

（2）令解得:x=±4,因为图像在第一象限,即得8（4,1）,则有C（1,O）,0（4,0）,

4x

则有小，小，由此可得PC/*；,BD=yB=\,CD=XD-XC=3,

即可得：Sm«=g（PC+BO）.CO=；x（；+l卜3=g;

（3）5.8=5»叱+5皿8-54加，根据反比例函数的几何意义，即可得%0c=5.曲，则

5»08=5皿8=；（4。+即）（。=；（%+%）（年-%）=3（1+4）、（4-1）=£.

【总结】考查平面直角坐标系中的几何图形的面积，把点坐标转化为平面直角坐标系中的线段

长度，结合割补法和反比例函数的几何意义求几何图形的面积

【习题13］如图，在反比例函数y=2*>0）的图像上，有点6,P,,P,,P4,他们的横坐标为1,

X

2,3,4.分别过这些点往x轴和y轴上作垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左向右依

次是S1,邑，邑,求5+邑+S,的值.

【答案】？

【解析】因为点耳，P,，P’,巴在反比例函数y=2图像上,

X

且横坐标分别为1,2,3,4,

即可得［（1,2）,g（2,l）,

鸟（3,|）,匕（4,；I）,由于矩形长均为1,

2

c121c211

即可得：Sj=%-为=2-1=1,5=见-以=—=屋$3ff

Ii3

故SI+S,+53=1+-+-=—.

362

【总结】考查关于反比例函数上的点与坐标轴围成的矩形的面积计算.

二反思好学

【习题14】判断下列问题中两个变量是不是反比例函数关系?为什么？

(1)三角形的面积S一定时，它的一条边长。和这条边长上的高人；

(2)存煤量。一定时，平均每天的用煤量，〃与可用天数/；

(3)货物的总价A一定时，货物的单价。与货物的数量x；

(4)车辆所行使的路程S一定时，车轮的直径d和车轮的旋转周数〃.

【答案】(1)(2)(3)(4)都是反比例函数关系

【解析】(1)根据三角形面积公式，S=-ah,即得功=2S,是反比例函数关系；

2

(2)mt=Q,乘积为定值，是反比例函数关系；

(3)总价=单价X数量，可得以=A,乘积为定值，是反比例函数关系；

(4)行程=圆周长X旋转周数，即S=%而，得出=»是定值，是反比例函数关系.

71

【总结】考查判定两个量是否为反比例函数关系，只需要看两个变量的乘积是否为定值.

【习题15]已知反比例函数〉=幺(女<0),当x<0时，它的图像在第象限.

X

【答案】二

【解析】4<0时，反比例函数图像在二、四象限，x<0时，在第二象限.

【总结】考查根据比例系数确定反比例函数图像所在象限.

【习题16](1)已知函数卜=竺口，如果在每个象限内y随x的增大而减小，那么攵的取值范

X

围是;

(4)如果双曲线y=S位于第一，三象限，那么加的取值范围是.

X

【答案】(1)k>~；(2)m>-2.

2

【解析】(1)反比例函数在每个象限内y随着x增大而减小，可得：6k-3>0,

即得人的取值范围是

2

(2)反比例函数图像在一、三象限，即可得：a=祖+2>0,得">-2.

【总结】考查反比例函数的性质，增减性和函数所在象限确定比例系数与0的大小关系.

【习题17］已知点(入，yj,(x2,%)在反比例函数y=^―^图像上，当占>*2>。时，X<%，求&

x

的取值范围.

【答案】k>2.

【解析】当王>迎>0时，即在每个象限内y随着x增大而减小，由此可得％-2>0,

即得攵的取值范围是&>2.

【总结】考查通过函数增减性判断函数比例系数与0的大小关系进行解题.

【习题18］作出反比例函数)，=-±的图像，结合图像回答：

(1)当x=2时，y的值；

(2)当l<x44时，y的取值范围；

(3)当14y<4时，y的取值范围.

【答案】(1)-2;(2)-4<y<-1;(3)-4<x<-l.

【解析】(1)令x=2,即得：y=~=~2；

(2)令x=l,即得：y=——=—4,令x=4,即得y=-3=-1,Zc=—4<0»可知反比例函数在

14

每个象限内随着的增大而增大，由此可得：-4<y<-l;

(3)令y=l,即得：x=T,令y=4,即得x=-1,k=^<Q,可知反比例函数在每个象限

内随着的增大而增大，由此可得：-4<x<-l.

【总结】考查根据反比例函数图像确定反比例函数上一段图像的对应变量取值范围，根据反比

例函数比例系数与0的大小关系即可确定相应增减性进行解题.

【习题19］已知反比例函数y=«的图像上有一点A,过A点向x轴做垂线，垂足分别为点8,且

X

A4O3的面积为15,求这个反比例函数解析式.

【答案】y=±4

【解析】根据反比例函数几何意义，可得%。小荻1=15,解得：g±30,

即反比例函数解析式为y=±型.

X

【总结】考查反比例函数的几何意义，通过反比例函数上一点向一条坐标轴作垂线，这个点与

垂足和原点所构成的三角形面积为;闷，注意加绝对值，有正负两个答案.

【习题20]已知函数"乂-%，且％为x的反比例函数，为为》的正比例函数，且x=-g,x=l

时，y的值都是1.求y关于x的函数关系式.

【答案】y=--2x.

X

【解析】令.=2(人工0)，＞2=饵*工0)，则有＞=%-必=&-《X，

XX