2022年江西省高考理科数学第一次联考试卷及答案解析

2022年江西省高考理科数学第一次联考试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（5分）已知集合尸=30・不忘3},Q={xEN|lWxW4},则PGQ=（）

A.{1,2,3,4}B.{1,2,3)C.{1,2)D.{2,3,4}

2.（5分）已知复数z满足（1+z）z=（3+i）,贝屹的虚部为（

C.-1

3.（5分）函数/（x）=/-2与均单调递减的一个充分不必要条件是（）

A.(0,2)B.[0,1)C.[1,2)D.(1,21

4.（5分）江西某中学为测试高三学生的数学水平，组织学生参加了联考，共有1000名学

生参加，已知该校上次测试中，成绩X（满分150分）服从正态分布N（100,。2）,已

知120分及以上的人数为160人，假设这次考试成绩和上次分布相同，那么通过以上信

息推测这次数学成绩优异的人数为（成绩140分以上者为优异）（）

P（厂。<X<|i+o）^0.68,P（|i-20VXVR+2。）^0.95,P（厂3。VXVR+3。）

*0.99.

A.20B.25C.30D.40

x+y-1>02y

5.（5分）已知实数x,y满足2x—y—2W0,求二的最小值（）

（x-2y+2>08

1111

A.-B.—C.—D.一

816324

6.（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉

时期的数学成就.书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”,

若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1）,则该“阳马”最长的

棱长为（）

A.5B.V34C.V41D.5近

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7.（5分）若圆（x+1）2+（y-1）2=5上存在两点关于直线2ov-力+3=0（〃>0,b>2）

11

对称，则丁+7—的最小值是（）

2ab-2

A.3B.4C.5D.8

8.（5分）/（x）,g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且/G）+g（x）=2022、

-sin%-25x,则下列说法错误的是（）

A.g（0）=1

B.g（x）在［0,1］上单调递减

C.g（x-1101）关于直线x=1101对称

D.g（x）的最小值为1

X2V2

9.（5分）设Q,F2是双曲线丁-匕=l（a>0,b>0）的左、右两个焦点，若双曲线右支

上存在一点「，使（辰+。力2>&=0（0为坐标原点），且|P&|二遮上孙，则双曲线

的离心率为（）

V2+1LV3+1y—

A.-----B.V2+1C.-----D.V3+1

22

10.（5分）在平行四边形ABCQ中，AB=AD=AC=2V3,现沿着AC将平面AOC折起，E,

F分别为AC和8。的中点，那么当四棱锥Q-ABC的外接球球心不在锥体内部时，EF

的最大值为（）

L3L

A.1B.V2C.-D.V3

2

11.（5分）设椭圆C：。+［=1的左、右焦点分别为F”同，直线/过F1且与C交于A,

8两点，则△ABF2内切圆半径的最大值为（）

1V33

A.一B.—C•一D,1

224

12.（5分）已知函数/（x）=（x2-1）lnx+X（x-1）2（入W0）的三个零点分别为r,%2,

X3，其中％1>X2>X3，则入°（X1+X2）（X2+X3）（X3+X1）的取值范围为（）

A.（-64,-32）B.（-32,0）C.（-8,-64）D.（…，-32）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.

13.（5分）若（2/—64a为常数）的展开式中第三项为常数项，则该常数项为.

14.（5分）已知（x）=sin（u）x+（p）,其中OV3V5,|<p|<-今为/（x）的一个零点,

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n

且/(x)W/(一)恒成立，则满足条件的整数3取值集合为______.

4

15.(5分)校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下

车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则

不同的停车方法共有种(用数字作答).

16.(5分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边为a,6,c,点P是其外接圆。上的任意

一点，若a=2遮，b=c=由,则/CP+而2+晶2的最大值为

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考

题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.(12分)已知数列｛a”｝满足:a\—\j。3=5,-](”eN,”22),数列｛〃”｝

2

的前〃项和%满足：-Sn=bn-l(nG/V*).

(1)求数列｛斯｝和｛尻｝的通项公式；

(2)求数列｛(-1)%疝”｝的前“项和Tn.

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18.（12分）2022年2月1日是春节，百节年为首，春节是中华民族最隆重的传统佳节，它

不仅集中体现了中华民族的思想信仰、理想愿望、生活娱乐和文化心理，而且还是祈福

攘灾、饮食和娱乐活动的狂欢式展示.为调查某地从外地工作回来过年的市民（以下称

为“返赣人员”）人数情况，现对某一区域的居民进行抽样调查，并按年龄（单位：岁）

分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中年龄在［20,25）内的人数为10.

（1）请根据样本数据补充完成2X2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为是否是从

外地回来过年与性别相关；

（2）据了解，该地区今年返赣人员占点现从该社区居民中随机抽取3人进行调查，记

X为这3人中今年是返赣人员的人数，求X的分布列与数学期望.

2

参考公式：依=（用）（黑渭c）@+d），其中〃=4+%+比

参考数据:

P（心》履）0.100.050.0100.001

ko2.7063.8416.63510.828

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19.(12分)在AAOB中，已知乙408=需ZBAO=AB=4,。为线段AB的中点，△

LO

4OC是由△AOB绕直线AO旋转而成，记二面角B-AO-C的大小为0.

(1)当平面C。。，平面AOB时，求。的值；

(2)当。=会1时一，求二面角B-8-C的余弦值.

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20.(12分)已知A是抛物线C：^=2px(p>0)上一点，B(1,0)是x轴上的点，以A

为圆心且过点B的圆与y轴分别交于点E、F,且当圆A与x轴相切时，A到抛物线焦点

3

的距离为一.

2

(1)求抛物线C的标准方程；

/2I/2

(2)设线段BE、B尸长度分别为八、12,求1…2的取值范围.

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21.(12分)已知函数/(x)=(x+1)(/-I).

(1)求/(x)在点(-1,/(-1))处的切线方程；

(2)若方程f(x)=b有两个实数根xi，X2,且xi<x2,证明：X2-…第+鲁

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选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题

计分.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

22.（10分）在以直角坐标原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线Ci

的方程是p=l,将G向上平移1个单位得到曲线C2.

（I）求曲线C2的极坐标方程；

（II）若曲线C）的切线交曲线C2于不同两点M,N,切点为T,求17Ml・|孙的取值范围.

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［选修45不等式选讲］(10分)

23.已知函数/(x)=\x-a\-\x-1|.

(1)当a=2时，求不等式0</(x)W1)的解集；

(2)若Vxe(0,+8),f(x)Wo2-3,求”的取值范围,

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2022年江西省高考理科数学第一次联考试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（5分）已知集合「=同0忘》・3},0={x€N|lWxW4},则尸AQ=（）

A.{I,2,3,4}B.{1,2,3}C.{1,2}D.{2,3,4）

解：：Q={xeN|lWxW4}={l,2,3,4},P={x|0WxW3},

；.PnQ={l,2,3},

故选：B.

2.（5分）已知复数z满足（1+i）z=（3+i）,则2的虚部为（）

A.1B.iC.-1D.-/

解:V（1+i）z=（3+力,

"z~T+l~（l+t）（l-i）-2-1,

：.z=2+i,

的虚部为1.

故选：A.

3.（5分）函数/（X）=/一2与g（x）=均单调递减的一个充分不必要条件是（）

A.（0,2）B.[0,1）C.[1,2）D.（1,2]

解：•••/（X）=/一2与g（x）=均单调递减，

a-2<0

Aa，•'"0<a<2,

V[l,2）是（0,2）,

二函数f（x）与g（x）=（今-x均单调递减的一个充分不必要条件是[I,2）,

故选：C.

4.（5分）江西某中学为测试高三学生的数学水平，组织学生参加了联考，共有1000名学

生参加，已知该校上次测试中，成绩X（满分150分）服从正态分布N（100,。2）,已

知120分及以上的人数为160人，假设这次考试成绩和上次分布相同，那么通过以上信

息推测这次数学成绩优异的人数为（成绩140分以上者为优异）（）

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「（|i-。<X<p+o）弋0.68,尸（口-2。VX<R+2。）^0.95,尸（R-3。<X<p+3o）

20.99.

A.20B.25C.30D.40

解：成绩X（满分150分）服从正态分布N（100,。2）,

又；120分及以上的人数为160人,

•••80分及以下的人数也为160人，

：.P(80<X<120)=I。。。：：；；f。=0.68,由此可知,o=20,即X-N（100,2（）2）,

：.P（60<X<140）=0.95,

1000-1000X0.95

故140分及以上的人数为25.

2

故选：B.

%+y—1z°2y

5.（5分）已知实数-y满足2x-y—2W0,求才的最小值（）

（x-2y+2>08

1

4

%4-y-120

解：画出不等式组2%-y-2W0表示的平面区域，如图所示:

%-2y+2>0

平移目标函数，当y=3x+z过点A时，z取得最小值，由解得4(2,2),

2y1

所以z的最小值为-4,此时族取得最小值为2一4=

故选：B.

6.(5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉

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时期的数学成就.书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”,

若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1）,则该“阳马”最长的

C.V41D.5V2

解：由三视图知：儿何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图:

B

其中平面ABC。，：.PA=3,AB=CD=4,AD=BC=5,

:.PB=，32+42=5,

PC=>/32+42+52=5V2,

PD=V32+52=V34.

该几何体最长棱的棱长为：5V2.

故选：D.

7.(5分)若圆(x+1)2+(y-1)2=5上存在两点关于直线2or-by+3=0(a>0,b>2)

对称，则h+的最小值是()

2ab-2

A.3B.4C.5D.8

解：：圆(x+1)2+(y-1)2=5上存在两点关于直线2ax-力+3=0(tz>0,b>2)对称，

二直线经过圆心(-1,1),即2ax(-1)-feX1+3=0,即为+〃=3,

：.2a+b-2^\,

1111h—22alh—2~2a

2ab-22ab-22ab-2\2ab-2

当且仅当?=会，即a=［，匕=今时，等号成立，

2ab-242

第12页共25页

故最小值为4.

故选：B.

8.(5分)f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且/(x)+g(x)=2022、

-sinx-25x,则下列说法错误的是()

A.g(0)=1

B.g(x)在［0,1］上单调递减

C.g(x-1101)关于直线x=1101对称

D.g(x)的最小值为1

解：因为/I),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且/(x)+g(x)=2022、

-sirtr-25x,

所以/(-无)+g(-x)=-f(x)+g(x)=2022A+sinx+25x,

/、2022”+2022T

所以g(x)=---------2---------，

则g(0)=1,A正确；

g(0)=1,g(1)=2022装22」,则g(1)>g(0),显然8错误；

由g(x)为偶函数，图象关于x=0对称可知g(x-1011)的图象关于x=1101对称，C

正确；

由基本不等式得，g(x)=2°.22^29.22->2,当且仅当x=0时取等号，此时函数取得

最小值1,0正确.

故选：B.

9.(5分)设Q,F2是双曲线"-三=l(a>0,b>0)的左、右两个焦点，若双曲线右支

a2b2

上存在一点尸，使(而3+。%2)，尸〉=0(。为坐标原点)，且|PFJ=8仍尸2|，则双曲线

的离心率为()

V2+1LV3+1L

A.-------B.V2+1C.-------D.V3+1

22

解：V(OP+加2).&=0,：.{OP+。每)•(OP-0氏)=0,

—>—>2

2

：.OP-OF2=0,OP=OF2=C=OF\,：.PF\LPF2,

中，

RtAPFiF2V|PFi|=V3|PF2|,ZPFIF2=30".

由双曲线的定义得PF\-PF2=2a,：.PF2=

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2a

sin300=5=.'.2a—c（A/3—1）,

2%七2cC（73-1）

=V3+1,

a

故选：D.

10.（5分）在平行四边形ABC。中，AB=AO=AC=2W,现沿着AC将平面AOC折起，E,

F分别为AC和8。的中点，那么当四棱锥Q-ABC的外接球球心不在锥体内部时，EF

的最大值为（）

r-3厂

A.1B.V2C.-D.V3

2

解：；平行四边形A8CO中，AB=AD=AC=2y[3,

：.△AQC与△ABC都是边长为2我的正三角形，

当折起平面ADC时，四棱锥D-ABC的外接球球心是过△AOC的中心平面ADC的垂线

与过△ABC的中心平面ABC的垂线的交点，

VE,尸分别为AC与8。的中点，.•.由对称性可知球心在E尸或其延长线上，

•.•四棱锥Q-ABC的处接球球心不在锥体内部，

若球心与点尸重合，连接8E,DE,AF,CF,

根据题设可知雨=/8=尸。=尸£>,CE=AE=\[3,BE=DE=3,

J.EFLBD,EFLAC,根据勾股定理有（^5+£：/2=（7产=。尸=。片-后产，

.\EF2=3,：.EF=V3,

VV3>|>V2>1,排除ABC.

故选：D.

11.（5分）设椭圆C：[+[=1的左、右焦点分别为F1，尸2,直线/过F1且与C交于A,

第14页共25页

5两点，则△A3F2内切圆半径的最大值为（）

1V33

A.—B.—C.-D.1

224

解：设A（xby\）»B（X2，>2），

因为448乃的面积5=/（明+|g|+|B尸2|”，=如一时尸匹I，

所以4a•「=”-”|・2c,即4・2・r=|yi-）,2卜2,所以，=$yi-y2|,

设直线A8的方程为x=（y-1,

x=ty-1

联立］/y2,得（3p+4）y2-6）-9=0,

（T+T=1

所以）计"=品，）仪=-&'

2

所以W-"1=7（yi+y2）-w2=J（^^）2+4x^^=

令m=3+121,则W-”1==3，当且仅当加=1时，等号成

'm

立，

所以四和

12.（5分）已知函数/G）=（7-1）lnx+入（x-1）2（入NO）的三个零点分别为加，物

X3，其中X1>X2>X3，则入3（X1+X2）（X2+X3）（X3+X1）的取值范围为（）

A.(-64,-32)B.(-32,0)C.(-8,-64)D.(…，-32)

解：f(x)=(X-1)[(x+1)lnx+X(X-1)],显然/(I)=0,

令(x+1)[wc+入(x-1)=0,(x>0),即仇x+=0(x>0),

第15页共25页

令g(%)=仇%+，幻_；),(x>0),贝！Jg(1)=0,

，/、1.2AX24-(2A+2)X+1

g(%)=—H------7=--------与---(x>0),

x(x+1)x(x+l)

令h(x)=/+(2入+2)x+1,(x>0),

要想g（x）除1外再有两个零点，则g（x）在（0,+8）上不单调,

则4=（2入+2）2-4=4入2+8入＞0,解得：入V-2或入＞0,

当人＞0时，g'（x）＞0在（0,+8）恒成立，则g（x）在（0,+8）单调递增，不可能

有两个零点，舍去；

当入V-2时，设g（x）=0即〃（x）=0的两根为〃，b,且

则有[2。+1）＞。，故。＜。＜9，

令g（x）＞0,解得xV〃或令/（尤）＜0,解得a〈x〈b,

所以g（x）在（0,a）,（b,+8）上单调递增，在（小b）上单调递减,

因为xi>X2>X3，所以OVx3VaVl=X2VbVxi，

入，1、i1,1).,A(l—x)/、

又因为g(0=In-+—1=-Inx+在=_g(%)，

若g(x)=0,则g(3=0,因为g(XI)=g(X3)=0,所以%3=看，

所以(％i+%2)(X2+久3)(%3+久1)=(%1+D(1+4)(/+4)=(2+%1+白)(汽1+

因为入V-2,所以入3V-8,故入3(X1+X2)(R2+X3)(X3+X1)<-64.

检验：当入=-2时，g(%)=Inx+在(x>0),g'(x)=------y=(%—1)?>0,

%+1x(x+1)x(x+l)

此时g(X)在(0,+°°)上单调递增，又g(1)=0,即X1=X2=X3=1，

此时为临界情况，入3（X|+X2）（X2+X3）（X3+X!）=-64,

综上，入3（x]+x2）（X2+X3）（X3+X1）的取值范围为（-8,-64）.

故选：C.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.

13.（5分）若（2”—1）4（A为常数）的展开式中第三项为常数项，则该常数项为24.

解：由已知得△=（一1产•22.废•X2k~2,

令2A-2=0得k=1,

所以该常数项为22•废=24.

第16页共25页

故答案为：24.

14.(5分)已知/(x)=sin(3x+(p),其中0<3<5,|<p|<J一与为f(x)的一个零点，

且f(x)Wf(巴)恒成立，则满足条件的整数3取值集合为U,31.

4

解：・，//(%)的一个零点，且fG)巧(，恒成立，

・•/(一1)=sin(一与3+9)=0,一与3+口=k17r①，k\WZ,

/(^)=sin(^a)4-(p)=1,—a)+(p=2k2n+foEZ,

①+②可得，2<p=k1n+2k2n+货

V|(p|<J,2|(p|^n,

.•・2(p=，或2<p=_/,解得(p=/或口=_1

当(p=今时，一加+a=七兀，3=1-4抬,

V0<a)<5,

・・・0<1-4心<5,解得一1<心</，心=0,

♦♦3=1,

当<p——4时，一彳3—彳=k1Tt,3--1-4k\»

V0<o)<5,

.*.0<-1-4ki<5,解得一、RVkiVj1,ki=-1,

3=3,

故满足条件的整数3取值集合为{1,3}.

故答案为：{1,3}.

15.(5分)校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下

车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则

不同的停车方法共有528种(用数字作答).

解：根据题意，分3种情况讨论：

①，若三辆汽车互不相邻，有/U3=24种情况，

又由车头朝向不限，则有23=8种情况，

此时有24X8=192种停车方法；

第17页共25页

②，若三辆汽车中有2辆相邻，鹿x废XA?=72种情况，

车头朝向有2X2=4种情况，

此时有72X4=288种停车方法；

③，若三辆汽车全部相邻，有4X433=24种情况，

又由车头必须同向，有2种情况，

此时有24X2=48种停车方法；

则一共有192+288+48=528种停车方法；

故答案为：528,

16.(5分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边为a,b,c,点P是其外接圆。上的任意

->TT91

一点，若a=2®b=c=小,贝”炉+P”+PC2的最大值为一.

-4-

解：以BC的中点0'为原点，以0；C所在方向为x轴的正方向，0%所在的方向为y轴

的正方向，建立平面直角坐标系，

则：A(0,2),B(-V3,0),C(V3,0),

17

可得外接圆的圆心为：(0,半径为：:

44

所以圆。的方程为：7+00)2=黑，

771

设尸(-cosa,-sina+彳)，

444

则：PA=(—^cosa,一[sina+]),PB=(—^cosa—V3,—.sina—/),PC=(—^cosa+V3,

~--*77*7771r

所以：PA24-PB24-PC2=(­cosa)2+(-sina-7)2+(-cosa+V3)2+(-sina+彳)2+

44444q

7B、MJ.114735.1147,3591

Q-cosa-V3)+(-sma+y)2=-5----o-sina<

4400OO

91

故答案为：—.

4

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考

题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.(12分)已知数列｛斯｝满足：ai=l,如=5,2an=an+i+an-i("WN*,〃》2),数列｛为｝

2

的前〃项和S“满足：-Sn=bn-l(neW).

(1)求数列｛a“｝和｛m｝的通项公式；

第18页共25页

(2)求数列｛(-1)〃•〃/〃｝的前〃项和T〃.

解：(1)因为2斯=斯+什斯一1(於N*,〃22),所以｛为｝是等差数列,设其公差为d,则

〃3-a\=2d=4,解得d=2,

所以斯=。1+(〃-1)d=1+(??-1)X2=2n-1,

22

当n=\时，-S1=b1—1=-/?i,所以〃i=3,

221

-3

当时，-bn=-(Sn-S“_i)=bn-bn_v所以=Vr即7=(〃22),

所以%=3%

nn

(2)(-l)-anbn=(2n-l)(-3),

2

所以Tn=l<-3)1+3所-3)+—+(2n-1)«(-3)”,

-37),=1«(-3)2+3<-3)3+-+(2〃-3)«-3)"+(2n-1)•(-3)n+,,

两式相减得，4T”=(-3)5+2«(-3)2+2*(-3)3+-+2«(-3)"-(2»-1)•(-3),,+1

=-3+2«9[1-(-3)--1-(2〃-1)・(-3)/1=，-写-3)"+1,

1-(-3)22

故〃=3-(4底?(-3严

18.(12分)2022年2月1日是春节，百节年为首，春节是中华民族最隆重的传统佳节，它

不仅集中体现了中华民族的思想信仰、理想愿望、生活娱乐和文化心理，而且还是祈福

擦灾、饮食和娱乐活动的狂欢式展示.为调查某地从外地工作回来过年的市民(以下称

为“返赣人员”)人数情况，现对某一区域的居民进行抽样调查，并按年龄(单位：岁)

分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中年龄在[20,25)内的人数为10.

(1)请根据样本数据补充完成2X2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为是否是从

外地回来过年与性别相关；

(2)据了解，该地区今年返赣人员占现从该社区居民中随机抽取3人进行调查，记

X为这3人中今年是返赣人员的人数，求X的分布列与数学期望.

参考公式.《2=--------n(ad-bc)----------ttdj—+h+c+d

々有"3K(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'夬什n"a+o+c+a.

参考数据:

P(启如)0.100.050.0100.001

to2.7063.8416.63510.828

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解：(1)由频率分布直方图可知年龄在［20,25)上的占比为1-(0.02X2+0.06+0.075)

X5=0.125,

根据已知人数为10计算可得总人数为80,列联表如下：

返赣人员本地人员合计

男251540

女103040

合计354580

27

2_80x(25x30-15x1。)/_80x60(/n47q>w

,K~35x45x40x40-35x45x16x100-H-429>10,828.

...有99.9%的把握认为是否是从外地回来过年与性别相关.

(2)由题意可得，X的取值可为0,1,2,3,

p(x=o)=($3=含

P(X=l)=Ci(1)2(1)1=g,

P(X=2)=C(》i(32=^,

P(X=3)=^)3=去,

故分布列为：

X0123

P272791

64646464

痂~八27.18.3483

故9(*)=瓦+乱+短=而=4.

19.(12分)在AAOB中，已知/AOB=,ZBAO=AB=4,£>为线段AB的中点，△

Zo

AOC是由△AOB绕直线AO旋转而成，记二面角B-AO-C的大小为。.

(1)当平面CO£»_L平面AOB时，求。的值；

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(2)当9=|n时，求二面角B-0£>-C的余弦值.

在平面40B内过B作0。的垂线，垂足为H,

二•平面C0DJ_平面A0B,平面CO。。平面408=00,

又BHLOD,8H_L平面A08,

则平面COD.

又由OCu平面COD,BHLCO,

又♦；OCJ_AO,和04相交，

。。_1平面4。艮

又08u平面AOB,从而0CL08,即0=J；

(2)在平面BOC中，过。作Ox_LOy,以。为原点建立如图所示的空间坐标系,

则0(0,0,0),D(0,1,V3),

V0=|n,求得：C(V3,-1,0),

设平面OC。的一个法向量为£=(x,y,z),

由［；9=°，得忙得=°,令产男,得4=(1,V3,-1).

3,0C=0tV3x-y=0

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又平面的一个法向量为薪=(1,0,0),

.J-、m-n1/5

・・cos<m，ri>=———=-----==-.

|m|-|n|lxV55

，二面角B-OD-C的余弦值为一雪.

20.(12分)已知A是抛物线C：)2=2*(/?>0)上一点，B(1,0)是x轴上的点，以A

为圆心且过点8的圆与y轴分别交于点E、F,且当圆A与x轴相切时，A到抛物线焦点

3

的距离为一.

2

(1)求抛物线C的标准方程；

/2।/2

(2)设线段3区BF长度分别为八、12,求」一马一的取值范围.

1口2

解：(1)当轴时，圆A与x轴相切，由题意可知此时点A的横坐标为1,

3

TA到抛物线焦点的距离为一，

2

3

・・・A到抛物线准线的距离为一，

2

n31

故准线与y轴之间的距离为=--1=-,

解得：p—1»

・・・抛物线C的标准方程为夕=入；

2

(2)设A的坐标(m号，m),

由垂径定理可知EF=2及2-(苧)2=21(苧-I)2+m2-(苧/=2,

设E(0,机-1),F(0,m+1),

+⑺—l2)/0=+(巾+I?)，

.存+-_l+(m-l)2+l+(m+l)220n2+2)2g2+2)

224

［血yJm+2-2m-yJm+2+2mJ(m2+2)2―4m2Vm+4

/m4+4m2+414m2

21m4+4yi+^+T

当机=0时，则第1=2；

当〃2W0时，则十:工=21+、4,

、m2+—2

4

,•*ni2oH-7之4,

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此时—+*-G(2,2V2/].

lll2

12112

综上所述，2G[2,2V2].

21.(12分)已知函数f(x)=(x+1)(^-1).

(1)求/(x)在点(-1,/(-1))处的切线方程；

(2)若方程f(x)=b有两个实数根加，如且xi<x2,证明：犯-xiW1+霎;+兽.

1

解:(1)f(x)-(x+2)--1,贝炉(一1)=»1,/(-1)=0,

由点斜式可得切线方程为y=亍"+1)；

(2)证明：由(1)知/(x)在点(-1,/(-1))处的切线方程为丁=亍(x+1),

设SQ)=+1).构造函数F(x)=/(x)-i^(x+1)=(x+l)(ex-1),则尸(x)=

(x+2)ex-i,F"(x)=(x+3)ez,

：.F'(x)在(-8,-3)上单调递减，在(-3,+8)上单调递增，

又叫—3)=一今1一1sV0,1〃(-1)=0,

：.F(X)在(-8,-1)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增，

：.F(x)(-1)=0,即f(x)NSQ)=?(%+1),当且