2-d连续-离散系统状态空间模型的平衡实现

2-d连续-离散系统状态空间模型的平衡实现

1-d连续-离散系统的平衡实现2-d系统是一个动态过程，需要基于两个独立变量的两个独立变量。它广泛应用于数字滤波、数据处理和非线性控制。2-D连续-离散系统是2-D系统的一个重要分支,对于这一分支,学者们作了一些工作,但是多集中在能达性、渐近稳定性、最小能量控制及离散化问题的研究,其它方面的研究较少。2-D连续-离散系统属于多变量控制系统,在工程实际中如果用简化的低阶模型进行分析与设计,无疑是很方便的。本文从系统的局部能达性、局部能观性出发得到了系统的一种新的实现——平衡实现。这一实现的能达Gramian阵、能观Gramian阵相等且为对角阵。平衡实现的第i个状态分量的重要性可以由这一对角阵的第i个对角元素所度量。因此,去掉平衡实现系统弱能达、弱能观的部分,而那些能达、能观程度较强的状态子空间就可作为原系统的一个低阶近似,从而得到2-D连续-离散系统平衡模型降阶。2t,b,c系统平衡模型考虑如下2-D连续-离散系统˙x(t,k+1)=A1x(t,k+1)+A2x(t,k)+Bu(t,k),y(t,k)=Cx(t,k)(1)t∈R+,k∈Z+,且Reλ(A1)<0,|λ(A2)|<1。边界条件:x(t,0)=x0(t),t∈R+,x(0,k)=x0(k),k∈Z+为已知的,其中x(t,k)∈Rn为系统状态,˙x(t,k)=∂x(t,k)∂t‚y(t,k)∈Rp为系统输出,u(t,k)∈Rm为系统输入。A1,A2,B,C分别为各具适当维数的常数矩阵。R+与Z+分别为非负实数和非负整数的集合。为分析问题的方便将系统(1)记为(A1,A2,B,C),下面寻求这一系统的平衡模型降阶方法。首先给出以下引理及定理设M(t)∈Cm[0,t1],LM,t1:Cm[0,t1]→Rr是由ʃt10M(t1-τ)u(τ)dτ定义;HM,t1:Rm→Cr[0,t1]是由η¯(t)=Μ(t)ω¯‚0≤t≤t1定义,则以下引理成立。引理1设WM,t1为W2Μ,t1=ʃt10M(t)MT(t)dt的平方根矩阵,则Im(LM,t1)=Im(WM,t1),Ker(HM,t1)=Ker(WMT,t1)。引理2设ρ-η∈Rr为η¯=WΜ,t1ρη的最小范数解,u-η(t)∈Cm[0,t1](最小L2范数)满足η¯=ʃt10Μ(t1-τ)u-η(τ)dτ,则∥ρ-η∥2=ʃt10∥u-η(t)∥2dt定理1若存在s∈C使得det[sI-A1]≠0,则系统(1)的状态响应为x(t,k)-X(0,k)=M(t,k)*U(t,k)式中:符号“*”——卷积,Μ(t,k)=[eA1tB⋯eA1tA2*⋯eA1tA2*eA1tB]U(t,k)=[u(t,k-1)u(t,k-2)⋮u(t,0)]X(0‚k)=eA1tx(0,k-1)+⋯+eA1tA2*eA1tA2*eA1tA2⋯eA1tA2*eA1tx(0,0)3复归t,k2.定义1在矩形域[T,K]=∶{(t,k)∈R+×Z+∶0≤t≤T,0<k≤K}内称2-D系统(1)为局部能达的系指对任意的边界条件及任意的目标状态xf∈Rn都存在输入序列u(t,k),t∈[0,T],k∈[0,k-1],使得x(T,K)=xf。定理2若系统(1)在矩形域[T,K]=∶{(t,k)∈R+×Z+∶0≤t≤T,0<k≤K}内局部能达,则①存在正交变换U使得ˉW2d(Τ,Κ)=UW2d(Τ,Κ)⋅UΤ=diag(σ2d1)(Τ,Κ),⋯‚σ2dn(Τ,Κ));②ʃΤ0∥u2∥2dtʃΤ0∥u1∥2dt≥σ2di(Τ,Κ)σ2di+1(Τ,Κ)∥xd2(Τ,Κ)∥2∥xd1(Τ,Κ)∥2式中:σ2di(T,K)≥σ2di+1(T,K)>0,i=1,2,…n-1;xd(T,K)=Ux(T,K)∈Rn,xdi(T,K)∈Rni(i=1,2;n1+n2=n;W2d(T,K)=ʃΤ0Md(t,K)MTd(t,K)dt,u1,u2∈RKm分别满足[xd1(Τ,Κ)0]-Xd(0,Κ)=ʃΤ0ˉΜd(t-τ,Κ)⋅U(τ,Κ)dτ和[0xd2(Τ,Κ)]-Xd(0,Κ)=ʃΤ0ˉΜd(t-τ,Κ)⋅U(τ,Κ)dτ且u1,u2的L2范数最小,ˉΜd(t,Κ)=UΜd(t,Κ)。证明系统(1)局部能达,则由文献知Md(t,K)行满秩,所以①成立。不失一般性,设Xd(0,K)=0,则由定理1知[xd1(Τ,Κ)xd2(Τ,Κ)]=ʃΤ0ˉΜd(t-τ,Κ)U(τ,Κ)dτ。设ρi=[ρi1ρi2]‚ρi1∈Rn1,ρi2∈Rn2,i=1,2分别为[xd1(Τ,Κ)0]=ˉWd(Τ,Κ)ρ和[0xd2(Τ,Κ)]=ˉWd(Τ,Κ)ρ的最小范数解。由于系统(1)局部能达,所以ρ12=ρ21=0。由引理2知‖ρi‖2=ʃΤ0‖ui‖2dt,i=1,2。所以‖xd1(T,K)‖2≥σ2di(T,K)‖ρ11‖2=σ2di(T,K)‖ρ1‖2=σ2di(T,K)ʃΤ0‖u1‖2dt‖xd2(T,K)‖2≤σ2di+1(T,K)‖ρ22‖2=σ2di+1(T,K)‖ρ2‖2=σ2di+1(T,K)ʃΤ0‖u2‖2dt定理2中②成立。4局部能观u0t0t0t0k定义22-D系统(1)称为局部能观系指在x(T+t,K)=0,x(T,K+k)=0,t∈R+,k∈Z+的假设下,系统的任意局部状态x(T,K)均可由未来的输入输出{u(t,k)y(t,k),t≥Tk≥K}唯一确定。定理3若系统(1)在矩形域[T,K]=∶{(t,k)∈R+×Z+∶0≤t≤T0<k≤K}局部能观,则①存在正交变换U,满足ˉW2o(Τ,Κ)=UW2o(Τ,Κ)UΤ=diag(σ2o1(Τ,Κ),⋯‚σ2on(Τ,Κ));②取(T,K)=(0,0),有ʃΤ0∥y1∥2dtʃΤ0∥y2∥2dt≥σ2oi(Τ,Κ)σ2oi+1(Τ,Κ)∥xo1(0,0)∥2∥xo2(0,0)∥2式中:σ2oi(Τ,Κ)≥σ2oi+1(Τ,Κ)>0,i=1,2,⋯‚n,W2o(Τ,Κ)=ʃΤ0ΜΤo(t,Κ)Μo(t,Κ)dt‚Μo(t,Κ)=[CeA1t⋮ʃt0eA1(t-τ1)A2⋯ʃτΚ-20eA1(τΚ-2-τΚ-1)A2dτ1⋯dτΚ-1]‚xo(Τ,Κ)=Ux(Τ,Κ)∈Rn‚xoi(Τ,Κ)∈Rni‚i=1,2且n1+n2=n,y1、y2为零输入时,初始状态xo(0,0)分别取[xo1(0,0)0]和[0xo2(0,0)]时的输出响应,xo1(0,0)∈Ri,xo2(0,0)∈Rn-i的列向量。5sbt1vtd,vd1/2定理4任给系统(1),则存在可逆变换P使得P-1W2d(P-1)T=PTW20P=diag(σ21,…,σ2n,),σ2i≥σ2i+1≥0,i=1,2,…,n-1,且称实现(ˆA1,ˆA2,ˆB,ˆC)为系统(1)的平衡实现,其中W2d=limΤ→∞Κ→∞W2d(Τ,Κ),W2o=limΤ→∞Κ→∞W2o(Τ,Κ),ˆA1=Ρ-1A1Ρ,ˆA2=Ρ-1A2Ρ,ˆB=ΡB,ˆC=CΡ。证明因为W2d≥0,W2o≥0,所以∃酉矩阵Vd,Vo有W2d=VdΣ2dVTd,W2o=VoΣ2oVTo,Σ2d与Σ2o为对角形矩阵。取L=VdΣd,设UTLTW2oLU=Λ2,Λ=diag(σ21,σ22,…,σ2n)。则当P=LUΛ-1/2=VdΣdUΛ-1/2时,P-1W2d(P-1)T=Λ1/2UTΣ-1dVTd(VdΣ2dVTd)VdΣ-1dUΛ1/2=ΛPTW2oP=Λ-1/2Λ2Λ-1/2=Λ定理4成立。在定理4中,当σi>>σi+1,且σi+1很小时,将系统的平衡实现(ˆA1,ˆA2,ˆB,ˆC)分块写为˙ˆx(t,k+1)=[ˆA111ˆA112ˆA121ˆA122]ˆx(t,k+1)+[ˆA2111ˆA2112ˆA221ˆA222]ˆx(t,k)+[ˆB1ˆB2]ˆu(t,k)y(t,k)=?ˆC1ˆC2?ˆx(t,k)从而得到降阶模型˙ˆx1(t,k+1)=ˆA111ˆx1(t,k+1)+ˆA211ˆx1(t,k)+ˆB1u(t,k)y1(t,k)=ˆC1ˆx1(t,k)式中:ˆx1(t,k)∈Ri,˙ˆx(t,k)=∂ˆx(t,k)∂t,y1(t,k)∈Rp。6原系统的平衡实现和降阶已知2-D连续-离散系统˙x(t,k+1)=[-1-100-1-40000-2-1000-3]x(t,k+1)+[-0.40.1000.2-0.60000-0.20.100-0.1-0.3]x(t,k)+u(t,k)y(t,k)=x(t,k)对其进行平衡模型降阶。求得变换Ρ=[1.137740.00565291-0.283627-0.115897-0.2169230.861343-0.771147-0.4139540.09092630.3820740.514093-0.2749390.09541250.3668760.4598730.520692]得到系统的平衡实现为˙ˆx(t,k+1)=[-0.810614-0.593620.0414597-0.0202317-0.533775-3.614190.7434310.0699563-0.008608830.598123-3.50164-1.10059-0.01748920.0132735-0.0883666-2.07355]·ˆx(t,k+1)+[-0.44490550.108053-0.0580106-0.03033020.193679-0.4719220.1146730.0970416-0.1012310.182905-0.2835910.0165108-0.0372071-0.133583-0.183393-0.295432]·ˆx(t,k)+[3.479771.94397-0.1096760.0100391]u(t,k)y(t,k)=[3.478041.99413-0.1881880.00480058]ˆx(t,k)平衡实现的能达、能观阵为ˆW2d=ˆW2o=diag(9.61064,0.586985,0.00543648,0.00188657)删除较小的对角线元素所对应的状态分量,从而得到降阶模型x^˙(t,k+1)=[-0.810614-0.59362-0.533775-3.61419]·x^(t,k+1)+[-0.44490550.1080530.193679-0.471922]·x^(t,k)+[3.479771.94397]u(t,k)y(t,k)=[3.478041.99413]x^(t,k)原系统的阶跃响应和降阶后的阶跃响应分别如图1、图2所