52静定平面桁架课件

5.2静定平面桁架

计算静定平面桁架各杆轴力的基本方法，仍是隔离体平衡法。一、结点法结点法是截取桁架一个结点为隔离体，利用平面汇交力系的两个平衡条件，求解各未知轴力的方法。结点法最适合用于计算简单桁架。根据截取隔离体方式的不同，又区分为结点法和截面法。AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®1、利用力三角形与长度三角形对应边成比例的关系简化计算为了便于计算，一般不宜直接计算斜杆的轴力FN，而是将其分解为水平分力Fx和Fy先行计算。利用这个比例关系，就可以很简便地由其中一个力推算其它两个力，而不需要使用三角函数进行计算。FNFNFxFylxlyloxyBAa(长度三角形)(力三角形)AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®用图示桁架为例，来说明结点法的应用：首先，可由桁架的整体平衡条件，求出支座反力，标注于图中。然后，即可截取各结点解算杆件内力。15kN15kN15kN4m4m4m3m1234567F6=120kNF7H=120kNF7V=45kN115kNFN12FN13Fx13Fy13AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®按结点1，2，…，6依次计算各结点相关杆件轴力。结点7用于校核。15kN15kN15kN4m4m4m3m1234567F6=120kNF7H=120kNF7V=45kN1515252012021520201531525152030405060460600515205030400456075120660604575451207120454512015kN15kN15kN4m4m4m3m1234567F6=120kNF7H=120kNF7V=45kN-20-20-120201515255040300604575-456060-++AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®2、利用结点平衡的特殊情况，判定零杆和等力杆(1)关于零杆的判断

在给定荷载作用下，桁架杆件中轴力为零的杆件，称为零杆。1）L型结点：成L型汇交的两杆结点无荷载作用，则这两杆皆为零杆。2）T型结点：成T型汇交的三杆结点无荷载作用，则不共线的第三杆（又称单杆）必为零杆，而共线的两杆内力相等且正负号相同（同为拉力或压力）。图5-6c可视为T型结点的推广，图中单杆的轴力FN2=0。L型结点FN1=0FN2=0T型结点（推广）FN1=FPFN2=0FPT型结点FN3=0(单杆)FN2=FN1FN1=AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®(2)关于等力杆的判断1）X型结点：成X型汇交的四杆结点无荷载作用，则彼此共线的杆件的内力两两相等。2）K型结点：成K型汇交的四杆结点，其中两杆共线，而另外两杆在此直线同侧且交角相等，若结点上无荷载作用，则不共线的两杆内力大小相等而符号相反。3）Y型结点：成Y型汇交的三杆结点，其中两杆分别在第三杆的两侧且交角相等，若结点上无与该第三杆轴线方向偏斜的荷载作用，则该两杆内力大小相等且符号相同。X型结点FN1FN3FN2=FN1FN4=FN3K型结点FN1FN3FN2=-FN1FN4≠

FN3aaY型结点FN1FN3FN2=FN1aaAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®【例5-1】试求图示桁架各杆的轴力。解：(1)利用桁架的整体平衡条件，求出支座A、B的反力，并标注于图中。(2)判断零杆(3)计算其余杆件的轴力ABCDEFPFP1.5aaaaa1.5a4FP/34FP/312345678910EFPFNE1FNE2FxE2FyE2ABCDEFP-4FP/3-4FP/3-4FP/3-4FP/35FP/35FP/35FP/35FP/3AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®【例5-2】试求图5-9a所示桁架杆件a的轴力。首先，假设FN14=FN，取结点1为隔离体，由可得FN12=FN14=FNllllFP1234a1设FN14=FNFN12=FNFNaAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®依次由结点2（属K型结点推广情况）和结点3（属K型结点情况），可判定FN23=

-FN12=-FNFN34=

-FN23=FNllllFP1234a1设FN14=FNFN12=FNFNaAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®再取结点4为隔离体，由，得（拉力）llllFP1234a1设FN14=FNFN12=FNFNa4FNFNFPAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®最后，再回到结点1，由，得（压力）llllFP1234a14设FN14=FNFN12=FNFNaFNFNFPAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®上述这种解题方法，称通路法（或初参数法）。通路法实际上是结点法（或下面将介绍的截面法）再加上一“通路边界的平衡条件”。通路法的具体作法是：1）选择一适当的通路（如本例从1→2→3→4→再回到1），要求回路要通畅，且愈短愈好。先设通路上一杆的轴力为FN。2）由结点法（或截面法）依次求出通路上其它杆的轴力，表为初参数FN的函数。3）最后，由结点平衡或取部分结构的平衡，利用通路边界的平衡条件，求出FN，于是，整个桁架的计算即无困难。AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®3、求解一个结点同时包含两个未知斜杆内力的简便方法由，得于是，可由比例关系求得FPFPFPFPABCDEFGH2m122m2m2m1m1m3FP1.5FP-1.5FP1.5FP1.5FP3FP3FPCFADGFNACFN1Fx1FN2Fx2Fy1Fy2-AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®又由，得于是，可由比例关系求得一般来说，在研究平衡问题时，可将任何一个力（如斜杆中的轴力）在其作用线上之任一点（如某结点），沿x、y方向分解为两个分力，用以代替原力参加计算。FPFPFPFPABCDEFGH2m122m2m2m1m1m3FP1.5FP-1.5FP1.5FP1.5FP3FP3FPCFADGFNACFN1Fx1FN2Fx2Fy1Fy2-AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®二、截面法截面法是截取桁架一部分（包括两个以上结点）为隔离体，利用平面一般力系的三个平衡条件，求解所截杆件未知轴力的方法。截面法最适用于联合桁架的计算；简单桁架中少数指定杆件的内力计算。1、选择适当的截面，以便于计算要求的内力【例5-3】试求图示桁架指定杆件a、b的轴力。12345678910FPFPFPFP2FP2FPabaaaaaaaaⅠ

ⅠAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®解：取Ⅰ-Ⅰ截面左边（或右边）部分为隔离体，将使问题得以顺利解决。而且，可由一个平衡方程解出一个未知力。由，可得1271082FPFPabⅠⅠFPFNaFNbFN8,10FN2,9FN9,1012345678910FPFPFPFP2FP2FPabaaaaaaaaⅠ

ⅠAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®由，可得1271082FPFPabⅠⅠFPFNaFNbFN8,10FN2,9FN9,1012345678910FPFPFPFP2FP2FPabaaaaaaaaⅠ

ⅠAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®2、选择适当的平衡方程，使每个方程中只含一个未知力FPFPFPFPFPFAyFByⅠⅠaABC0FPFAyFByⅠⅠaCAB0FPFPFAyⅠⅠCFNa(矩心)FPFAyⅠⅠACxyFNaAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®【例5-4】试求图5-14a所示桁架指定杆件1、2、3的轴力。解：截取截面Ⅰ-Ⅰ左边部分为隔离体（参见图5-14b、c、d），只需注意选择适当矩心，分别列写出相应的三个力矩平衡方程，即可求出所截开三杆的未知轴力。FPFPFPABCDEFGH2m2m2m2m1m1m213ⅠⅠ1.5FP1.5FPFPACⅠⅠF1.5FPGFN1FN2FN3Fx3Fy3D(矩心一)FPAC1.5FPⅠⅠFFN1FN3FN2Fx2Fy2G(矩心二)FPAC1.5FP(矩心三)FN1FN3FN2FⅠⅠAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®(1)求FN3在图5-14b中，由，得1.5FP×4-FP×2+Fx3×2=0FPFPFPABCDEFGH2m2m2m2m1m1m213ⅠⅠ1.5FP1.5FPFPACⅠⅠF1.5FPGFN1FN2FN3Fx3Fy3D(矩心一)AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®(2)求FN2：在图5-14c中，由，得FPFPFPABCDEFGH2m2m2m2m1m1m213ⅠⅠ1.5FP1.5FPFPAC1.5FPⅠⅠFFN1FN3FN2Fx2Fy2G(矩心二)AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®(3)求FN1：在图5-14d中，由，得在分析桁架内力时，如能选择合适的截面、合适的平衡方程及其投影轴或矩心，并将杆件未知轴力在适当的位置进行分解，就可以避免解联立方程，做到一个平衡方程求出一个未知轴力，从而使计算工作得以简化。FPFPFPABCDEFGH2m2m2m2m1m1m213ⅠⅠ1.5FP1.5FPFPAC1.5FP(矩心三)FN1FN3FN2FⅠⅠAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®3、截面法求解联合桁架截面法还常用于计算联合桁架中各简单桁架之间联系杆的轴力。作Ⅰ-Ⅰ截面并取左边（或右边）为隔离体，由求出FNa。FPFPFPFPFAyFByABCDEⅠⅠa(联系杆)FPFPFPFPFAyACⅠⅠDFNaAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®FPFPFAyFByABCDabcⅠ12ⅠFPFByFNbFNaFNcFPFN1FN1FN2FN2BC可作一封闭截面Ⅰ-Ⅰ，截取隔离体如图5-16b所示。由可求出FNb。由，可求出FNa。由，可求出FNc。AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®三、结点法与截面法的联合运用【例5-5】试求图5-17所示桁架指定杆件a、b、c的轴力。解：(1)求FNa：取截面Ⅰ-Ⅰ上边部分为隔离体FP12abcⅠⅠ2m2m2m4m4m3m+-AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®(2)求FNb：取结点1为隔离体FP12abcⅠⅠ2m2m2m4m4m3m+-AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®(3)求FNc：取结点2为隔离体FP12abcⅠⅠ2m2m2m4m4m3m+-AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®【例5-6】试求图5-18a所示桁架指定杆件a、b、c的轴力。解：(1)求FNa：取截面Ⅰ-Ⅰ左边为隔离体由求得FNa

1234567891011121314ⅠⅠabcⅡ

ⅡF1yF12yFP123F1yⅠⅠ46FNa(矩心一)AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®(2)求FNb：取截面Ⅱ-Ⅱ左边为隔离体由求出Fxb，从而按比例求得FNb。1234567891011121314ⅠⅠabcⅡ

ⅡF1yF12yFPF1y123456ⅡⅡ7FNaFNb(矩心二)FxbFybAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®(3)求FNc：取结点5为隔离体,该结点属于K型结点FNc

=-FNb

1234567891011121314ⅠⅠabcⅡ

ⅡF1yF12yFP5FNc=-FNbFNbAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®【例5-7】试求图5-19a所示桁架指定杆件a、b的轴力。解：(1)取结点6为隔离体（图5-19b），由，得由，得12345678abⅠⅠ2m2m2m2m2m2m2m60kN60kN80kN80kN660kN-60kN-60kNFN76=60kNAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®(2)取截面Ⅰ-Ⅰ左边为隔离体（图5-19c），由，得再由（图5-19c），得12345678abⅠⅠ2m2m2m2m2m2m2m60kN60kN80kN80kN573960kN80kNFN76=60kNⅠⅠFNbFN13FN38(矩心一)(矩心二)AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®(3)取结点8为隔离体（图5-19d），属于X型结点，可知12345678abⅠⅠ2m2m2m2m2m2m2m60kN60kN80kN80kN8FNaFN38FN18FN84AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®四、对称桁架的计算若桁架的几何形状、支承形式和杆件刚度（截面尺寸及材料）都关于某一轴线对称，则称此桁架为对称桁架。FPFPFPFPAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®1、对称桁架的基本特性(1)在对称荷载作用下，对称杆件的内力是对称的，即大小相等，且拉压一致。(2)在反对称荷载作用下，对称杆件的内力是反对称的，即大小相等，但拉压相反。(3)在任意荷载作用下，可将荷载分解为对称荷载与反对称荷载两组，分别计算出内力后再叠加。

对称荷载，是指位于对称轴两边大小相等、若将结构沿对称轴对折后，其作用线重合且方向相同的荷载；而反对称荷载，则是指位于对称轴两边大小相等、若将结构沿对称轴对折后，其作用线重合但方向相反的荷载。AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®【例5-8】试利用比较简捷的方法计算图5-21a所示桁架各杆的轴力。解：利用对称性分析该桁架。首先，将对称桁架上作用的一般荷载分解为对称荷载和反对称荷载两种情况，分别计算，如图5-21b和图5-21c所示。然后将各对应杆的轴力叠加。计算过程从略。1123452FP3FP/2FP/2aaaaaFP/23FP/2-FPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFP-FP-FP--123451FP/2FP/2FP/2-FP/2FPFPFP/2FP/2FP/2FP/2-+2345=+AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®【例5-9】利用对称性重新计算例5-2中图5-9所示桁架杆件a的轴力。解：(1)将图5-22a荷载与支座反力一起分解为对称荷载和反对称荷载，如图5-22b、c所示。(2)求在对称荷载作用下杆件a的轴力FNa1：FNa1=

-FP。FPFPFP/2FP/2allll12345671234567FP