人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第35讲 拓展四：圆锥曲线的方程（面积问题）（含解析）

第10讲拓展四：圆锥曲线的方程（面积问题）一、知识点归纳知识点一：三角形面积问题直线SKIPIF1<0方程：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0知识点二：焦点三角形的面积直线SKIPIF1<0过焦点SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0注意：SKIPIF1<0为联立消去SKIPIF1<0后关于SKIPIF1<0的一元二次方程的二次项系数知识点三：平行四边形的面积直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0注意：SKIPIF1<0为直线与椭圆联立后消去SKIPIF1<0后的一元二次方程的系数.知识点四：范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式SKIPIF1<0变式：SKIPIF1<0作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：（1）SKIPIF1<0（注意分SKIPIF1<0三种情况讨论）（2）SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立（3）SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0时等号成立.（4）SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立(5)SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0时等号成立.二、题型精讲题型01椭圆中三角形（四边形）的面积问题（定值）【典例1】（2023春·广东广州·高二统考期末）已知椭圆SKIPIF1<0的焦点坐标为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上一点.(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)经过点SKIPIF1<0且倾斜角为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为坐标原点，求SKIPIF1<0的面积.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）解：由椭圆的定义可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0.（2）解：设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，由题意可知，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

所以，SKIPIF1<0.【典例2】（2023春·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知椭圆C：SKIPIF1<0的一个焦点为SKIPIF1<0，且离心率为SKIPIF1<0．(1)求椭圆C的方程；(2)若过椭圆C的左焦点，倾斜角为SKIPIF1<0的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求SKIPIF1<0的面积．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）依题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以椭圆C的方程为SKIPIF1<0.（2）因为直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，所以斜率为SKIPIF1<0，又直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0并整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.

【典例3】（2023春·湖北·高二黄石二中校联考阶段练习）已知圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，动圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相外切，与圆SKIPIF1<0相内切.(1)求动圆SKIPIF1<0的圆心的轨迹方程；(2)过点SKIPIF1<0的两直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别交动圆SKIPIF1<0圆心的轨迹于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求四边形SKIPIF1<0的面积.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【详解】（1）设动圆SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为焦点，以SKIPIF1<0为长轴长的椭圆，可设方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的轨迹方程是SKIPIF1<0；（2）

设SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0为0时不符合题意），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0与椭圆的方程SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，同理设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不为0，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0而SKIPIF1<0SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.【变式1】（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知圆SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上任意一点，线段SKIPIF1<0的垂直平分线与半径SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0运动时，点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0的直线与曲线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0轴相交于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的另一条直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0的面积是SKIPIF1<0面积的SKIPIF1<0倍，求直线SKIPIF1<0的方程．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）因为点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的垂直平分线与半径SKIPIF1<0的交点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为焦点，长轴长为4的椭圆，在椭圆中SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）由已知得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0点的坐标为SKIPIF1<0．当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0都与已知不符；当直线SKIPIF1<0的斜率存在时，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的面积是SKIPIF1<0面积的SKIPIF1<0倍可得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，也就是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．

【变式2】（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左顶点，SKIPIF1<0是椭圆上不同的两点．(1)求椭圆SKIPIF1<0的焦距和离心率；(2)设SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别共线，求证：SKIPIF1<0三点共线；(3)若SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．【答案】(1)焦距为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0(2)证明见解析(3)SKIPIF1<0【详解】（1）由SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以焦距SKIPIF1<0，离心率SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，方法一：由SKIPIF1<0三点共线，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可得，SKIPIF1<0三点共线，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0三点共线．方法二：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，与椭圆SKIPIF1<0联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0三点共线．

（3）设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上的点，此时SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，②当直线SKIPIF1<0的斜率存在时，可设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，代入整理得，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．

【变式3】（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）已知椭圆C：SKIPIF1<0的上顶点为K，左右顶点分别为A，B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0．(1)求椭圆C的方程；(2)O为坐标原点，O，B关于直线L对称，过直线L与x轴的交点作斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（异于A，B两点），直线AM，AN分别交直线L于P，Q两点，当四边形APBQ的面积为4时，求k的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，①∵SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，②联立①②，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴椭圆C的方程SKIPIF1<0．（2）易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线L：SKIPIF1<0，直线L与x轴的交点为SKIPIF1<0，设直线MN的方程为SKIPIF1<0，联立直线MN与椭圆的方程SKIPIF1<0，消去y得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线AM的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；直线AN的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵四边形APBQ的面积为4，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入得SKIPIF1<0，进而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，进而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．题型02椭圆中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）【典例1】（2023春·贵州·高二贵州师大附中校联考阶段练习）已知SKIPIF1<0为坐标原点，椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的上顶点到右顶点的距离为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的动点，设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0的面积的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)1【详解】（1）由题意，在椭圆SKIPIF1<0中，离心率为SKIPIF1<0，由题知：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴椭圆的方程为SKIPIF1<0.（2）由题意及（1）得，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的动点，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由对称性知直线SKIPIF1<0斜率存在，设直线SKIPIF1<0，

将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最大值1.【典例2】（2023春·江西赣州·高二校联考阶段练习）已知SKIPIF1<0的两顶点坐标SKIPIF1<0．(1)求动点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程；(2)不垂直于SKIPIF1<0轴的动直线SKIPIF1<0与轨迹SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，定点SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，求SKIPIF1<0面积的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此动点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为焦点的椭圆，且去掉椭圆与SKIPIF1<0轴的交点，

设椭圆的标准方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以动点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）由题意可知直线SKIPIF1<0的斜率不为0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入椭圆方程SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0经过定点SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0因此，SKIPIF1<0．【典例3】（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知点SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0满足直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的斜率之积为SKIPIF1<0.记动点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0.(1)求曲线SKIPIF1<0的方程，并说明SKIPIF1<0是什么曲线；(2)设SKIPIF1<0为曲线SKIPIF1<0上的两动点，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.①求证：直线SKIPIF1<0恒过一定点；②设SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0为中心在坐标原点，焦点在SKIPIF1<0轴上的椭圆，不含左､右顶点.(2)①证明见解析；②最大值为SKIPIF1<0.【详解】（1）由题意，得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0为中心在坐标原点，焦点在SKIPIF1<0轴上的椭圆，不含左､右顶点.（2）如图，

①证明：设SKIPIF1<0.因为若直线SKIPIF1<0的斜率为0，则点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，必有SKIPIF1<0，不合题意，所以直线SKIPIF1<0的斜率必不为0.设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0因为点SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0上一点，所以由题意可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0恒过SKIPIF1<0轴上一定点SKIPIF1<0.②由①可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.【变式1】（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0的周长为8，且点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)设直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0交于C，D两点，当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0面积的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）因为SKIPIF1<0的周长为8，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0的坐标代入椭圆方程SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆E的方程为SKIPIF1<0．

（2）由（1）知圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设直线l的方程为SKIPIF1<0，则圆心SKIPIF1<0到直线l的距离SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，消去x得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．

【变式2】（2023春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0．(1)求该椭圆的离心率；(2)设点SKIPIF1<0是椭圆C上一点，求证：过点P的椭圆C的切线方程为SKIPIF1<0；(3)若点M为直线l：x=4上的动点，过点M作该椭圆的切线MA，MB，切点分别为SKIPIF1<0，求△SKIPIF1<0的面积的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)详见解析；(3)SKIPIF1<0【详解】（1）椭圆SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则椭圆的离心率为SKIPIF1<0（2）当切线斜率存在时，其方程可设为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0此时方程的根为SKIPIF1<0，则切点横坐标SKIPIF1<0，切点纵坐标SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则切线方程为SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0；当切线斜率不存在时，其切点为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，切线方程为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0.综上，点SKIPIF1<0是椭圆C上一点时，过点P的椭圆C的切线方程为SKIPIF1<0（3）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则椭圆C在点SKIPIF1<0的切线方程分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在两条切线上，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0由SKIPIF1<0整理得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又点M到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，则△SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0即点M坐标为SKIPIF1<0时等号成立，则△SKIPIF1<0的面积的最小值为SKIPIF1<0.

【变式3】（2023·北京大兴·校考三模）已知椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且离心率为SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)直线SKIPIF1<0分别交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，若线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，求SKIPIF1<0面积的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0在椭圆上

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0.所以，椭圆方程为SKIPIF1<0.（2）由已知直线SKIPIF1<0的斜率存在.设直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0又中点在直线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0

即SKIPIF1<0，将之代入①得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．题型03双曲线中三角形（四边形）的面积问题（定值）【典例1】（2023春·上海宝山·高二上海交大附中校考期中）已知双曲线SKIPIF1<0，及直线SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有且只有一个公共点，求实数SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的左右两支分别交于A、B两点，且SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0①，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，方程①有一解，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0仅有一个交点（与渐近线平行时）.当SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0也只有一个交点（与双曲线相切时），综上得SKIPIF1<0的取值是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）设交点SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，首先由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，并且SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的左右两支分别交于A､B两点，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.因为直线l与y轴交于点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：SKIPIF1<0的一条渐近线方程为SKIPIF1<0，焦点到渐近线的距离为1．(1)求双曲线C的标准方程与离心率；(2)已知斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与双曲线C交于x轴下方的A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．【答案】(1)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由题意知焦点SKIPIF1<0到渐近线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0因为一条渐近线方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以双曲线SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0．（2）设直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0（舍）或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，【典例3】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，焦距为SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0在第一象限的双曲线上，过点SKIPIF1<0作双曲线切线与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)已知斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与双曲线左支交于SKIPIF1<0两点，若直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率互为相反数，求SKIPIF1<0的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)SKIPIF1<0【详解】（1）解：因为双曲线的离心率为SKIPIF1<0，左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，焦距为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，双曲线的标准方程为SKIPIF1<0，因为过点SKIPIF1<0作双曲线切线与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，故切线的斜率存在，所以，设SKIPIF1<0，在点SKIPIF1<0的切线方程为SKIPIF1<0，联立方程SKIPIF1<0得SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①因为SKIPIF1<0，代入①式得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以，在点SKIPIF1<0的切线方程为SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<0（2）解：由题，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，与双曲线方程SKIPIF1<0联立得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因为直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率互为相反数，所以SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0②将SKIPIF1<0代入②整理得：SKIPIF1<0③结合SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0时，③式恒成立，所以，由（1）可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，A为垂足且位于第一象限，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形SKIPIF1<0（O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)已知SKIPIF1<0是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之和为1，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积.【答案】(1)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）(2)SKIPIF1<0【详解】（1）设动点SKIPIF1<0，由题意知M只能在直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所夹的范围内活动.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0右侧，有SKIPIF1<0，同理有SKIPIF1<0，∵四边形SKIPIF1<0的面积为8，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以所求轨迹C方程为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.（2）如图，设直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，斜率为k，直线SKIPIF1<0倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0斜率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在曲线C上，过点T直线与曲线C有两个交点，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，同时SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.

SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）.SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，消y得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，消y得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点Q到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0

，SKIPIF1<0.方法二：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【变式2】（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）已知双曲线C：SKIPIF1<0的左，右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都在圆SKIPIF1<0上，连接双曲线C的两个实轴端点、两个虚轴端点组成的菱形的面积为SKIPIF1<0．(1)求双曲线C的标准方程；(2)设P是双曲线C与圆SKIPIF1<0在第一象限的交点，求SKIPIF1<0的面积．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由双曲线方程知：焦点SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都在圆SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（负值舍去），∵连接双曲线C的两个实轴端点、两个虚轴端点组成的菱形的面积为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，①又SKIPIF1<0，②联立①②，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0舍去，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故双曲线C的标准方程为SKIPIF1<0．（2）由（1）知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0的直径，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．题型04双曲线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）【典例1】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，动点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离与它到直线SKIPIF1<0的距离之比为2，记SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0.(1)求曲线SKIPIF1<0的方程；(2)过SKIPIF1<0的直线交曲线SKI