人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第32讲 拓展一：中点弦问题（原卷版）

第07讲拓展一：中点弦问题一、知识点归纳知识点01：相交弦中点（点差法）：直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。主要有以下几种问题：（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0知识点02：点差法：设直线和曲线的两个交点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入椭圆方程，得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；将两式相减，可得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；最后整理得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0设直线和曲线的两个交点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入抛物线方程，得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；将两式相减，可得SKIPIF1<0；整理得：SKIPIF1<0二、题型精讲题型01求直线方程【典例1】（2023春·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期中）过点SKIPIF1<0的直线与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，且点M平分弦SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校考期末）（1）求过点SKIPIF1<0，与双曲线SKIPIF1<0离心率相等的双曲线的标准方程.（2）已知双曲线SKIPIF1<0，求过点SKIPIF1<0且被点SKIPIF1<0平分的弦SKIPIF1<0所在直线的方程.【典例3】（2023春·四川·高二统考期末）已知直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点.(1)若直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且倾斜角为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)若直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且弦SKIPIF1<0恰被SKIPIF1<0平分，求SKIPIF1<0所在直线的方程.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，则直线SKIPIF1<0的方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023春·河南·高二临颍县第一高级中学校联考开学考试）已知椭圆SKIPIF1<0的长轴比短轴长2，椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)若直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，且线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的方程．【变式3】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0．(1)求抛物线SKIPIF1<0的方程；(2)已知直线SKIPIF1<0交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程．题型02处理存在性问题【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的动点，SKIPIF1<0垂直于动直线SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为等边三角形时，其面积为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)设SKIPIF1<0为原点，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切，且与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，试问：是否存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由.【典例2】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，且C的一条渐近线经过点SKIPIF1<0.(1)求C的标准方程；(2)是否存在过点SKIPIF1<0的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【变式1】（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，一个焦点到该渐近线的距离为2．(1)求C的方程；(2)是否存在直线l，经过点SKIPIF1<0且与双曲线C于A，B两点，M为线段AB的中点，若存在，求l的方程：若不存在，说明理由．题型03求弦中点的轨迹方程【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知曲线SKIPIF1<0上一动点SKIPIF1<0到两定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离之和为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0的方程；(2)动弦SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0的轨迹方程；【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作一条直线交抛物线于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，试求弦SKIPIF1<0的中点轨迹方程.【变式1】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆SKIPIF1<0的弦SKIPIF1<0所在直线过点SKIPIF1<0，求弦SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0的轨迹方程.【变式2】（2022·全国·高三专题练习）椭圆SKIPIF1<0，则该椭圆所有斜率为SKIPIF1<0的弦的中点的轨迹方程为．题型04确定参数的取值范围【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，A为椭圆的下顶点，设椭圆SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交于不同的两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为弦SKIPIF1<0的中点，当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的取值范围.【典例2】（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，离心率SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0和椭圆交于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)设点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为坐标原点，求线段SKIPIF1<0长度的取值范围．【变式1】（2023·天津·校考模拟预测）已知曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为焦点的椭圆，点SKIPIF1<0为曲线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0在第一象限的交点，且SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0的标准方程；(2)直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于A、B两点，若AB的中点SKIPIF1<0在曲线SKIPIF1<0上，求直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0的取值范围．【变式2】（2023春·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点为SKIPIF1<0，且离心率SKIPIF1<0.（1）求椭圆的方程；（2）直线SKIPIF1<0（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点SKIPIF1<0，且线段SKIPIF1<0中点的横坐标为SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0倾斜角的取值范围.题型05定值问题【典例1】（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0被椭圆SKIPIF1<0截得的线段长为SKIPIF1<0.（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）设过椭圆SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0与坐标轴不垂直的直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0为垂足.问：是否存在定点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0的长为定值？若存在，求点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由.【典例2】（2023春·湖南株洲·高二株洲二中校考开学考试）已知双曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的渐近线方程为SKIPIF1<0，焦点到渐近线的距离为SKIPIF1<0.(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程；(2)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0右支上不同的两点，线段AB的垂直平分线SKIPIF1<0交AB于SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的横坐标为2，则是否存在半径为