第1章 勾股定理 大单元教学设计 【 学情分析指导 】 北师大版八年级数学上册

“勾股定理”单元教学分析本单元的知识发展主线课标要求1.要掌握勾股定理的内容及其应用;2.掌握判断一个三角形是直角三角形的条件;3.掌握曲面上的最短路线问题。知识结构图1.3涉及的数学思想方法1.数形结合思想勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系，它是把三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范。勾股定理本身就是数形结合的的定理，它的验证和应用，都体现了数形结合的思想。例1：如图所示是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一条边为斜边作等腰直角三角形，然后再以这个等腰直角三角形两直角边为边作正方形②和②′，如此继续下去…，若正方形①的面积为64，则正方形⑥的面积为______。解析：这是一类关于“勾股树”(国外叫做“毕达哥拉斯树”)的探讨题，主要考查灵活运用勾股定理解决问题的能力，这里只要由勾股定理的规律通过一系列的探索就根据题意可知第一个正方形的面积是64，则第二个正方形的面积是32，…，进而可找出规律，第n个正方形的面积是6422.分类讨论思想分类讨论思想是指在解题过程中，当条件或结论不确定或不唯一时，往往会产生几种可能的情况，这就需要依据一定的标准对问题进行分类，再针对各种不同的情况分别予以解决，最后综合各类结果得到整个问题的结论。分类讨论实质上是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学方法。(1)直角边和斜边不明时需分类讨论;(2)已知三角形两边a,b及第三边上的高h的长，不明确三角形形状时，应分锐角和钝角两种情况讨论。例2：已知直角三角形两边长分别为3和4,求第三边的长为？解析：已知两边分别为3和4①若这两边为直角边则，斜边c所以，斜边c=5即第三边的长为5②若这两边一个为直角边，一个为斜边那么，第三边c所以，c=7所以，第三边（即另一个直角边）的长为7例3：三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求BC的长为？解析：由勾股定理可分别在Rt△ABD和Rt△ADC中求出BD、DC的长，然后分两种情况考虑：①D点在线段BC上，②D点在CB的延长线上；根据D点的不同位置可得BD、DC、BC三条线段不同的数量关系，从而得到BC的值。Rt△ACD中，AC=17，AD=8，由勾股定理得：CDRt△ABD中，AB=10，AD=8，由勾股定理得：BD①点D在线段BC上时，BC=BD+CD=21，②点D在CB的延长线上时，BC=CD-BD=9，故BC的长为9或21。3.转化思想例4：如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点A出发，沿长方体的表面爬到和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（）A：61cmB:85cmC:97cmD:109如图2，当爬的长方形的长是（3+6）=9，宽是4时，92如图3，爬的长方形的长是（3+4）=7时，宽是6时，72故选B。1.4相关的十大核心概念1.几何直观利用图形来描述和分析勾股定理的相关问题体现了几何直观的核心概念勾股定理作为“千古第一定理”,证法极多。赵爽和毕达哥拉斯的方法利用短链公理系统“被直线分割的封闭图形，各个部分的面积之和等于整体的面积”,凸显几何直观，更贴近学生的知识基础与认知能力，在教材中通常作为正文出现。欧几里得的方法利用长链公理系统(要找到将大正方形的面积分割为两个小正方形的面积的方法),突出逻辑推理，对初中生的要求过高，在教材中通常作为拓展的阅读材料出现。在教学中，要引导学生探究发现构造图形证明勾股定理的方法，从而发展几何直观能力。2.应用意识将航海和最短路线等实际问题转化为勾股定理相关的数学问题体现了应用意识的核心概念。3.创新意识发现并提出问题----得到猜想和规律的过程体现了创新意识的核心概念。数学的联系与应用2.1数学史与数学文化1.中国公元前十一世纪，数学家商高（西周初年人）就提出“勾三、股四、弦五”。编写于公元前一世纪以前的《周髀算经》中记录着商高与周公的一段对话。商高说：“……故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该典故称勾股定理为商高定理。公元三世纪，三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，记录于《九章算术》中“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。后刘徽在刘徽注中亦证明了勾股定理。在中国清朝末年，数学家华蘅芳提出了二十多种对于勾股定理证法。2.外国远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组。美国哥伦比亚大学图书馆内收藏着一块编号为“普林顿322”的古巴比伦泥板，上面就记载了很多勾股数。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时，也应用过勾股定理。公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯证明了勾股定理，因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。2.2数学与现实生活的联系勾股定理应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载："禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。"这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。工程技术人员用的比较多,比如农村房屋的屋顶构造，就可以用勾股定理来计算,设计工程图纸也要用到勾股定理,在求与圆、三角形有关的数据时，多数可以用勾股定理古代也是大多应用于工程，例如修建房屋、修井、造车等等……家装时,工人为了判断一个墙角是否标准直角.可以分别在墙角向两个墙面量出30cm,40cm并标记在一个点,然后量这两点间距离是否是50cm，如果超出一定误差，则说明墙角不是直角。在做木工活时，要是有大块的板材要定直角，就用勾股定理。角尺太小，在大板上画的直角误差大。在做焊工活时，做大的框架，有一定要直角的也是用勾股定理。比如说我要一个直角，就取一个直角边3米，一个直角边4米，让斜边有5米，那这个角就是直角了。已知两个螺丝之间的位置,我们也可以用勾股定理求出两个螺丝之间的距离。2.3数学与其它学科的联系（1）勾股定理多出现于物理学科进行解题时的具体应用，作为解题的一小步求解计算。（2）物理中合力的求解和力的分解2.4高观点下的中小学数学（1）创设合理的问题情境是课堂教学的基础。本节课通过引导学生欣赏勾股树和会标图案时,在让学生欣赏美的同时,既培养了学生自豪的民族感,又创设了恰当合理的问题情境,使学生了解到了勾股定理与日常生活实际的紧密联系,明确研究函数奇偶性的意义和价值,进一步了解数学不是枯燥无味的，是来源于我们的生活,并服务于生活的一门学科。（2）重视数学概念的建构是课堂教学的核心。在教学中要引导学生经历从具体事例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质。有效的概念教学应该是让学生在参与数学活动的过程中生成和建构数学概念。（3）恰当地使用教学媒体是课堂教学的保障。多媒体辅助教学能够活跃课堂气氛，可以节省教师作图、板书的时间，加快课堂节奏,增加课堂密度,提高教学质量和效率。教学研究（以“探索勾股定理”课为例）重点与难点分析3.1.1教学重点1.探索并证明勾股定理2.勾股定理的逆定理及其运用3.1.2教学难点1.构造图形证明勾股定理2.探索典型证明方法之间的本质共性3.1.3常见错误1.解题时存在思维定势，考虑问题不全面而出现漏解（1）要区分所给边是斜边还是直角边（2）要判断三角形的高是在三角形内部还是外部例5：已知三角形ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，求边BC的长错解：如图1，由勾股定理得BD2=诊断：三角形的高既可以在三角形内部，也可以在三角形外部，错解只考虑了一种情况。正解：当AD在三角形ABC的内部时，如上解，得BC=21；当AD在三角形外部时，如图2，同样可以求得BD=15,CD=6，所以BC=15-6=9。综上，BC的长为21或9。2.机械盲目的运用勾股定理（1）死记a2（2）忽略勾股定理使用的条件例6：在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a-b）=c2A：∠A是直角B：∠C是直角C：∠B是直角D：三角形ABC不是直角三角形错解：选B诊断：因为常见的直角三角形通常将直角标注为∠C，因而有同学就习惯性地认为∠C一定为直角。该题中的条件可转化为a2-b2=c2，即正解：选A例7：已知三角形ABC的各边长均为整数，且AB=4，BC=3，AC>AB，求三角形ABC的周长。错解：由勾股定理，得AC=AB2+BC2=5，所以三角形ABC的周长为诊断：应用勾股定理的前提条件是直角三角形，本题并没有指出三角形ABC是直角三角形，所以不能用勾股定理来解。正解：由三角形的三边关系得AB-BC<AC<AB+BC，即1<AC<7,又AC>AB=4,AC为整数，所以AC长为5或6，于是，三角形ABC为12或13。3.2课题引入设计3.2.1现实情境下的课题引入引入：2002年在北京召开了第24届国际数学家大会,这次大会是首次在中国召开。今天我要向大家介绍的是本届大会的会徽(如图1)。（1）你见过这个图案吗?（2）你知道勾股定理吗?引入内容是北师大版“勾股定理”一章的章头图,章头图一般是本章内容在实际生活中的应用,国际数学家大会会徽即是利用勾股定理设计的,体现了勾股定理在数学史上极高的地位。很多教师将章头图直接引人勾股定理的教学,这样的引人可以让学生对数学学科多一份感动和热爱。3.2.2数学问题情境下的课题引入引入：相传2500多年前,一次毕达哥拉斯在朋友家做客时,发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系。我们也来观察一下地面的图案(图2),看看能从中发现什么数量关系?以著名人物在朋友家做客时发现勾股定理的小故事引人主题,可以让学生体会到生活中处处有数学,应该学会用数学的眼光来观察世界。3.2.3以旧引新的课题引入引入：同学们回忆一下,我们学习过有关直角三角形的哪些知识?勾股定理是基本的几何定理,勾股定理第一课时的教学重点就是探究直角三角形的三边关系，即得到勾股定理。以提问的方式让学生回忆学习过的有关直角三角形的内容,梳理研究直角三角形应从“角”“边”两个方面进行,已经研究过角之间的关系了,那么很自然就过渡到了要研究直角三角形的边的关系,进而引出课题。这种“以旧引新”的方式更符合学生的认知规律,是对原有知识经验从广度和宽度上的拓展,学生更容易接受,并能很快地进入新知的学习中。同时新旧知识的联系更容易让学生将新知自然地纳人已有的知识体系中,完善知识结构。3.2.4动手操作的课题引入引入：课前要求同学们各自准备4张一样的直角三角形纸片,准备的纸片有两种:等腰直角三角形，一般直角三角形(两腰不等)。活动1:用4张等腰直角三角形纸片尝试拼成一个正方形(图3)。问题1:若直角三角形的直角边长为1,则正方形的面积是多少?问题2:若正方形的面积是c2,则c与等腰直角三角形有怎样的关系?(c是斜边教师将学生的正方形拼图重新组合,得到图4,引导学生计算得出a2活动2:用4张一般直角三角形纸片尝试拼成一个正方形。问题3:你能否得到直角三角形两直角边平方与斜边平方的关系?若让学生直接用一般直角三角形纸片拼正方形,会存在一定的困难,所以从容易理解的等腰直角三角形拼图引人,降低了拼图活动的操作难度。通过拼图,不仅可以提高学生探究新知的兴趣,培养学生的动手操作能力,体会数形结合的思想方法,而且可以让学生感受数学美。另外,拼图的引人过程也体现了对勾股定理的证明过程,为后续勾股定理的证明做好铺垫。从引人到证明,应用同一个拼图活动,使教学前后一致,融会贯通,更容易加深学生对勾股定理的理解。3.2.5数学文化熏陶下的课题引入引入：教师提供资料,展示勾股定理对人类科学发展的推动作用。(1)勾股定理是历史上第一个将数与形联系起来的定理。(2)勾股定理导致了无理数的发现,引发了第一次数学危机。(3)勾股定理是历史上第一个给出了完全解答的不定方程,由此引申出费马大定理。(4)勾股定理不仅是欧氏几何的基础定理,在高等数学和其他学科中也有着广泛的应用。这种引人方式开门见山,直接指出今天要学习的内容-----勾股定理。然后相继展示勾股定理在科学发展的进程中发挥的巨大作用,几个“第一”足以让学生对勾股定理刮目相看,激发探究的欲望,让学生带着崇拜的心情走进“勾股定理”的学习。3.3典型例题与变式练习3.3.1概念理解例8:如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A：CD、EF、GHB：AB、EF、GHC：AB、CD、GHD.：AB、CD、EF1）题意分析:本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理。2）解题思路:可利用勾股定理直接求出各边长，再进行判断。3）解答过程:在Rt△EAF中，AF=1，AE=2，根据勾股定理，得EF=AE2同理，AB=2计算发现（5）24）解题后的思考:1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角形。因此，解题时一定要认真分析题目所给条件，看是否可用勾股定理来解。2.在运用勾股定理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为“c”就是斜边而“固执”地运用公式c2例9：如图，有一块直角三角形纸板ABC,两直角边AC=6cm,BC=8cm。现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB.上，且点C落到点E处，则CD等于()？A：2cmB：3cmC：4cmD：5cm1）题意分析:本题考查勾股定理的应用。2）解题思路:本题若直接在△ACD中运用勾股定理是无法求得CD的长的，因为只知道一条边AC的长，由题意可知，△ACD和△AED关于直线AD对称，因而△ACD≌△AED.进一步则有AE=AC=6cm,CD=ED,ED⊥AB，设CD=ED=xcm，则在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB2=AC2+3）解答：选B4）解题后的思考:勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。3.3.2数学思想方法1.数形结合思想勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系，它是把三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范。勾股定理本身就是数形结合的的定理，它的验证和应用，都体现了数形结合的思想。2.分类讨论思想分类讨论思想是指在解题过程中，当条件或结论不确定或不唯一时，往往会产生几种可能的情况，这就需要依据一定的标准对问题进行分类，再针对各种不同的情况分别予以解决，最后综合各类结果得到整个问题的结论。分类讨论实质上是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学方法。(1)直角边和斜边不明时需分类讨论;(2)已知三角形两边a,b及第三边上的高h的长，不明确三角形形状时，应分锐角和钝角两种情况讨论。3.方程思想勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在