第11章《三角形》（教师版）

2023-2024学年人教版数学八年级上册易错题真题汇编（提高版）第11章《三角形》考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•武山县一模）若四边形的对角线互相垂直且相等，则它一定是（）A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．以上说法均不正确解：对角线互相垂直且相等平行四边形是正方形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；所以无法确定其形状．故选：D．2．（2分）（2023春•义乌市月考）如图，有一特定的纸带，其边沿夹角为15°，现将该纸带沿BD翻折，∠GEA＝30°，则∠EDB＝（）A．67.5° B．75° C．45° D．50°解：如图，延长CD交AB的延长线于点M，由题意可知，∠M＝15°，∵∠AEG＝30°，∴∠DEB＝30°，∴∠EDM＝180°﹣∠DEB﹣∠M＝135°，由折叠可知，∠EDB＝∠MDB，∴∠EDB＝135°÷2＝67.5°．故选：A．3．（2分）（2023•开原市一模）将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，三角板ABC的顶点C与三角板CDE的直角顶点C重合，若BC∥DE，AB与CE交于点F，则∠AFC的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°解：∵BC∥DE，∠E＝30°，∴∠BCE＝∠E＝30°，∵∠B＝45°，∠AFC＝∠B+∠BCE，∴∠AFC＝∠B+∠BCE＝45°+30°＝75°，故选：D．4．（2分）（2023春•惠山区期中）下列说法中，正确的个数有（）①同位角相等；②三角形的高相交于三角形的内部；③三角形的一个外角大于任意一个内角；④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°；⑤两个角的两边分别平行，则这两个角相等．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个解：①只有两平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，故说法①错误；②只有锐角三角形的三条高相交于三角形的内部，故说法②错误；③三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角，故说法③错误；④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°，此说法④正确；⑤两个角的两边分别平行，则这两个角可能相等，也可能互补，故说法⑤错误；正确的个数有1个，故选：B．5．（2分）（2022秋•中山市期末）如图．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（）A．90° B．180° C．120° D．360°解：如图：∵∠1＝∠2+∠C，∠2＝∠A+∠D，∴∠1＝∠A+∠C+∠D，∵∠1+∠B+∠E＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，故选：B．6．（2分）（2023•长阳县一模）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠1，故①正确；∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠1）＝90°+∠1，故②、③错误；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝ACD，∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；故选：C．7．（2分）（2023春•广饶县期中）如图：①②③中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠O1+∠O2+∠O3＝（）度．A．84 B．111 C．225 D．201解：∵①②③中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴①中，∠2+∠4＝（∠1+∠2+∠3+∠4）＝（180°﹣42°）＝69°，故∠O1＝180°﹣69°＝111°；②中，∠O2＝∠4﹣∠2＝[（∠3+∠4）﹣（∠1+∠2）]＝∠A＝21°；③中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣42°＝138°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝180°+180°﹣138°＝222°故∠O3＝180°﹣（∠2+∠3）＝180°﹣×222°＝69°∴∠O1+∠O2+∠O3＝111°+21°+69°＝201°故选：D．8．（2分）（2022春•东坡区期末）如图，△ABC中，CD平分∠ACB，点M在线段CD上，且MN⊥CD交BA的延长线于点N．若∠B＝30°，∠CAN＝96°，则∠N的度数为（）A．22° B．27° C．30° D．37°解：如图所示，∠NAC是三角形ABC的一个外角，∴∠NAC＝∠B+∠ACB，即∠ACB＝∠NAC﹣∠B；∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB，∵∠B＝30°，∠CAN＝96°，∴∠ACD＝∠ACB＝（96°﹣30°）＝33°，∵MN⊥CD，∴在直角三角形OMC中，∠COM＝90°﹣33°＝57°，∵∠NOA与∠COM互为对顶角，∴∠NOA＝∠COM＝57°，∴∠N＝180°﹣57°﹣96°＝27°．故选：B．9．（2分）（2021秋•滕州市期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠1+∠2＝120°，则∠BA'C的度数为（）A．120° B．110° C．100° D．90°解：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角，∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，即∠1+∠2＝2∠A，∵∠1+∠2＝120°，∴∠A＝60°，∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，∴∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A．∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+×60°＝120°．故选：A．10．（2分）（2022秋•广州期中）如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（）个．A．4 B．5 C．6 D．7解：∵△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2，∴2＜BC＜22﹣BC，解得2＜BC＜11，又∵△ABC的三边长均为整数，△ABM的周长比△ACM的周长大2，∴AC＝为整数，∴BC边长为偶数，∴BC＝4，6，8，10，即BC的长可能值有4个，故选：A．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023春•秦淮区期末）如图，五边形ABCDE的两个外角的平分线交于点P．若∠P＝112°，则∠A+∠B+∠E＝316°．解：在△PCD中，∵∠P＝112°，∴∠PCD+∠PDC＝180°﹣∠P＝180°﹣112°＝68°，∵五边形ABCDE的两个外角的平分线交于点P，∴∠BCD+∠EDC＝360°﹣2（∠PCD+∠PDC）＝360°﹣2×68°＝224°，∵∠A+∠B+∠E+∠BCD+∠EDC＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠A+∠B+∠E＝540°﹣∠BCD﹣∠EDC＝540°﹣224°＝316°．故答案为：316．12．（2分）（2023•海棠区一模）如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠CBG＝12°．解：在正六边形ABCDEF内，正五边形ABGHI中，∠ABC＝120°，∠ABG＝108°，∴∠CBG＝∠ABC﹣∠ABG＝120°﹣108°＝12°．故答案为：12°．13．（2分）（2023春•南京期中）南京大报恩寺琉璃塔地基平面可以看成八边形，它的每个内角都相等，则每个内角的度数是135°．解：∵一个八边形，它的每个内角都相等，∴这个八边形的每个外角都相等，∴每个外角的度数＝360°÷8＝45°，∴每个内角的度数＝180°﹣45°＝135°．故答案是：135．14．（2分）（2023春•宛城区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为20°或60°．解：如图所示，当∠BFD＝90°时，∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°，∴Rt△ADF中，∠ADF＝60°；如图，当∠BDF＝90°时，同理可得∠BAD＝30°，∵CE是△ABC的高，∠BCE＝50°，∴∠BFD＝∠BCE＝50°，∴∠ADF＝∠BFD﹣∠BAD＝20°，综上所述，∠ADF的度数为20°或60°．故答案为：20°或60°．15．（2分）（2023春•天门期中）如图，在四边形ABCD中，∠1＝∠2＝∠A＝30°，则∠ADB＝120°．解：∵∠1＝∠2＝∠A＝30°，∠ADB+∠A+∠2＝180°，∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠2＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故答案为：120°．16．（2分）（2022春•玄武区期末）如图，在△ABC中有两个内角相等，且BD是△ABC的角平分线，∠BAE＝∠BAC，∠EDF＝∠EDA．若DF∥BC，则∠BAE＝或22.5°．解：∵∠BAE＝∠BAC，∠EDF＝∠EDA，∴设∠BAE＝x，∠EDF＝y，则：∠BAC＝3x，∠FDA＝3y，∵DF∥BC，∴∠ACB＝∠FDA＝3y，∠CBD＝∠EDF＝y，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABC＝2y，①当∠ABC＝∠BAC时，由题意得：．∴，∴∠BAE＝x＝（）°，②当∠BAC＝∠C时，由题意得：∴．∴∠BAE＝22.5°．故答案为：或22.5．17．（2分）（2023春•常州期末）将一副三角尺按如图所示放置，直角顶点重合于点C，∠B＝60°，∠E＝45°，斜边AB⊥DE，垂足为F，则∠ACD＝15°．​解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝90°﹣∠B＝30°，∵DE⊥AB，∴∠AFM＝90°，∴∠AMF＝90°﹣∠A＝60°，∴∠AMF＝∠CME＝60°，∵∠E＝45°，∴∠MCE＝180°﹣∠E﹣∠CME＝75°，∵∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠DCE﹣∠MCE＝15°，故答案为：15°．18．（2分）（2023春•金牛区校级期中）△ABC中，∠A＝90°．现进行第一次操作：如图1作射线BA1，使得∠ABA1＝∠ABC，作射线CA1，使得∠ACA1＝∠ACD．再进行第二次操作：如图2作射线BA2，使得∠A1BA2＝∠A1BC，作射线CA2，使得∠A1CA2＝∠A1CD．再进行第三次操作：如图3作射线BA3使得∠A2BA3＝∠A2BC，作射线CA3，使得∠A2CA3＝∠A2CD．则∠A3＝20°．解：第一次操作：∵∠A＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∵∠ABA1＝∠ABC，∠ACA1＝∠ACD，∴∠DCA1＝（90°+∠ABC）＝45°+，∠CBA1＝∠ABC，第二次操作：∵∠A1BA2＝∠A1BC，∠A1CA2＝∠A1CD，∴A2BC＝∠A1BC＝∠ACB，∠A2CD＝∠A1CD＝（90°﹣∠ABC）＝60°﹣∠ABC，第三次操作：∵∠A2BA3＝∠A2BC，∠A2CA3＝∠A2CD，∴∠A3BC＝∠ACB，∠A3CD＝40°﹣∠ABC，∴∠A3＝∠A3CD﹣∠A3BC＝40°﹣∠ABC﹣∠ACB＝40°﹣（∠ABC+∠ACB）＝20°；故答案为：20°．19．（2分）（2023春•吴江区期中）如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF（B、E、F在同一条直线上），若∠B＝46°，AC与DE相交于点G，∠AGD和∠DFB的平分线GP、FP相交于点P，则∠P＝67°．解：∵△ABC沿BC方向平移到△DEF（B、E、F在同一条直线上），∴DF∥AC，AB∥DE，∴∠DEF＝∠B＝46°，∠D＝∠AGD，∴∠DFE+∠D＝180°﹣46°＝134°，∵∠P+∠DGP＝∠D+∠DFP，∴∠P＝∠D+∠DFP﹣∠DGP＝∠DFE+∠D＝（∠DFE+∠D）＝67°．故答案为：67．20．（2分）（2022春•铁西区期末）有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝30°，∠C＝50°，点D在边AB上，请在边BC上找一点E，将纸片沿直线DE折叠，点B落在点F处，若EF与三角形纸片ABC的边AC平行，则∠BED的度数为25°或115°．解：①当点F在AB的上方时，如图：∵AC∥EF，∠C＝50°，∴∠BEF＝∠C＝50°，∴∠BED＝∠FED＝∠BEF＝×50°＝25°；②当点F在BC的下方时，如图：∵AC∥EF，∠C＝50°，∴∠CEF＝∠C＝50°，∵∠F＝∠B＝30°，∴∠BGD＝50°+30°＝80°，∴∠BDG＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∴∠BDE＝∠BDG＝×70°＝35°；∴∠BED＝180°﹣∠B﹣∠BDE＝180°﹣30°﹣35°＝115°综上所述，∠BDE的度数为25°或115°．故答案为：25°或115°．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023春•高安市期中）如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高，∠B＝50°，∠C＝70°，求∠DAE．解：∵∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∵AD是角平分线，∴∠BAD＝∠BAC＝×60°＝30°，∵AE是高，∴∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣30°＝10°．22．（6分）（2023春•盐城期末）如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，且∠ABC＝∠DAC，∠ABC的平分线BE交AD于点E，过点D作DF∥BE交AC于点F．求证：（1）∠BAC＝90°；（2）∠ADF＝∠AFD．解：（1）∵AD是高，∴∠BAD+∠ABD＝90°．又∠ABC＝∠DAC，∴∠BAD+∠DAC＝90°，即∠BAC＝90°．（2）∵DF∥BE，∴∠DBE＝∠CDF，∠BED＝∠ADF．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE＝∠CDF．∵∠BED＝∠ABE+∠BAE，∴∠ADF＝∠BED＝∠CDF+∠BAE．∵AD是高，∴∠ABC+∠BAE＝90°，∠DAC+∠C＝90°．又∠ABC＝∠DAC，∴∠BAE＝∠C．∴∠ADF＝∠CDF+∠C．又∠AFD＝∠CDF+∠C，∴∠ADF＝∠AFD．23．（8分）（2023春•福田区校级期中）如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．（1）填空：∠1＝120°，∠2＝90°．（2）如图2，现将三角板绕点B点逆时针旋转n°，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，①请直接写出∠1＝（120﹣n）°，∠2＝90+n°．（结果用含n的代数式表示）；②若∠2恰好是∠1的倍，求n的值．（3）如图1三角板ABC的放置，现将AB绕点A以每秒1°的转速逆时针旋转，同时CF绕点C以每秒2°的转速顺时针旋转，当CF第一次旋转回到起点时，CF、AB均停止转动，设旋转时间为t（s）．请求出当t为何值时，AB∥CF．解：（1）由图1可知：∠1＝180°﹣60°＝120°，∠2＝∠ACF＝90°．故答案为：120，90．（2）①如图2，∵DG∥EF，∴∠DCB＝∠CBF＝n°，∴∠ACD＝90°﹣n°，∴∠1＝∠A+∠ACD＝（120﹣n）°，∵DG∥EF，∴∠BCG＝180°﹣∠CBF＝180°﹣n°，∵∠ACB+∠BCG+∠2＝360°，∴∠2＝360°﹣∠ACB﹣∠BCG＝360°﹣90°﹣（180°﹣n°）＝（90+n）°．故答案为：（120﹣n），（90+n）．②当时，，解得n＝30．∴n的值是30．答：n的值是30．（3）分类如下：①0＜t＜90，如图：由题意，得∠ACF'＝（90+2t）°，∠CAB'＝（t﹣30）°，∵AB'∥CF'，∴∠ACF'+∠CAB'＝180°，即（90+2t）°+（t﹣30）°＝180°，解得t＝40．②90≤t＜120，如图：由题意，得∠ACF'＝（270﹣2t）°，∠CAB'＝（t﹣30）°，∵AB'∥CF'，∴∠ACF'＝∠CAB'，即（270﹣2t）°＝（t﹣30）°解得t＝100．③120≤t＜180，如图：由题意，得∠F'CA＝（2t﹣270）°，∠CAB'＝（t﹣30）°，∵AB'∥CF'，∴∠F'CA+∠CAB'＝180°，即（2t﹣270）°+（t﹣30）°＝180°，解得t＝160．综上所述，当t＝40，100，160时，AB∥CF．24．（8分）（2022春•涟水县校级期中）如图，点A、B分别在∠MON的边OM、ON上运动（不与点O重合），BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线交∠OAB的平分线于点D．（1）如图（1）当∠MON＝90°，∠OAB＝60°时，∠D＝45°．（2）如图（2）当∠D＝60°时，∠MON＝120°．（3）在解题过程中，你认为∠D与∠MON是否有数量关系，如有请写出关系式并说明理由．解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴∠ABN＝150°，∵BC是∠ABN的平分线，∴∠OBD＝∠CBN＝×150°＝75°，∵AD平分∠BAO，∴∠DAB＝30°，∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD﹣∠AOB＝180°﹣75°﹣30°﹣30°＝45°，故答案为：45；（2）设∠BAD＝α，∠MON＝β，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO＝2α，∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝β+2α，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC＝β+α，∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝β+α﹣α＝β＝60°，∴β＝120°．故答案为：120；（3）∠D＝∠MON，理由如下：设∠BAD＝α，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO＝2α，设∠MON＝β，∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝β+2α，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC＝β+α，∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝β+α﹣α＝β＝∠MON．25．（8分）（2023春•姑苏区校级月考）如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q．（1）若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠DPC＝115°，∠Q25°；（2）若∠A＝50°，当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数是否发生变化？并说明理由；（3）若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠A的度数45°或60°或120°或135°．解：（1）∵∠A＝50°，∠B＝60°，∴∠ACB＝70°，∴∠BCP＝∠ACB＝35°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠PGD＝∠PCB＝35°，∵∠PDE＝∠ADE＝30°，∴∠DPC＝180°﹣∠PDE﹣∠PGD＝115°；又∵∠ACQ＝∠ACF，∴∠PCQ＝∠ACQ+∠ACP＝（∠ACF+∠ACB）＝90°，∴∠Q＝∠DPC﹣∠QCP＝25°；故答案为：115，25；（2）∠DPC、∠Q的度数不会发生变化．理由：由（1）得：∵∠PDE＝∠ADE＝∠B，∠PGD＝∠BCP＝∠ACB，∴∠DPC＝180°﹣∠PDE﹣∠PGD＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝115°；∴∠Q＝∠DPC﹣∠QCP＝25°；（3）设∠A＝x，则，∵CP平分∠ACB，CQ平分∠ACF，∴，，∴，，因为△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，∴①当∠Q＝3∠QPC时，，∴x＝135°，②当∠QPC＝3∠Q时，，∴x＝45°，③当∠PCQ＝3∠Q时，，∴x＝60°，④当∠PCQ＝3∠QPC时，，∴x＝120°，综上①②③④可知∠A＝45°或60°或120°或135°．故答案为：45°或60°或120°或135°．26．（8分）（2021秋•宁安市期末）以直线MN上点O为端点作射线OC，将直角三角板AOB的直角顶点放在点O处．（1）如图①，三角板AOB的边OB在射线ON上，若∠BOC＝40°，则∠AOC＝50°．（2）如图②，将三角板绕点O逆时针方向转动，使得OB平分∠CON，请判断OA平分∠COM吗？并说明理由．（3）若∠CON＝50°，将三角板AOB绕点O按逆时针方向转动，使得，则∠BON＝30°或60°.（可用备用图．）解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝50°；故答案为：50°；（2）OA平分∠COM，理由：∵OB平分∠CON，∴∠BON＝∠BOC，∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+BOC＝90°，∠AOM+∠BON＝90°，∴∠AOC＝∠AOM，∴OA平分∠COM；（3）当BO在∠CON内部，如图：设∠BOC＝x°，则∠AOM＝3x°，∵∠AOM+∠AOB+∠BON＝180°，∠CON＝50°，∴3x+90+50﹣x＝180，解得x＝20，即∠BOC＝20°，∴∠BON＝∠CON﹣∠BOC＝50°﹣20°＝30°；当BO在∠CON外部，如图：设∠BOC＝x°，则∠AOM＝3x°，∵∠AOM+∠AOB+∠BON＝180°，∠CON＝50°，∴3x+90+50+x＝180，解得x＝10，