专题05 直线与圆的位置关系（原卷版）

专题05直线与圆的位置关系知识梳理：1、直线与圆的位置关系（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交＜====＞d<r；直线l与⊙O相切＜====＞d=r；直线l与⊙O相离＜====＞d>r；2、切线的判定和性质（1）、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。3、切线长定理（1）、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。（2）、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。(4)、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。题型一：直线与圆位置关系的判定【例1】已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（）A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相离【例2】直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（）A．r＜6 B．r=6 C．r＞6 D．r≥6【例3】已知∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=24cm，以r为半径作⊙P．（1）若r=12cm，试判断⊙P与OB位置关系；（2）若⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件．【例4】如图，在Rt△ABC中，，，，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？为什么？【例5】圆的直径是8cm,若圆心与直线的距离是4cm,则该直线和圆的位置关系是 ()A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切【例6】已知☉O的半径是一元二次方程x2+6x-16=0的解,且点O到直线AB的距离是2,则直线AB与☉O的位置关系是.

【例7】在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【例8】如图，已知⊙O与BC相切，点C不是切点，AO⊥OC，∠OAC＝∠ABO，且AC＝BO，判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由．【例9】如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线与⊙O的位置关系是（）A、相离B、相切C、相交D、以上三种情况都有可能题型二：直线与圆位置关系的性质【例1】如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧的距离6cm处．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（）秒钟后⊙P与直线CD相切．A．4 B．8 C．4或6 D．4或8【例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是．【例3】在Rt△ABC中，斜边AB=10，直角边AC=8，以C为圆心，r为半径作⊙C．若⊙C与斜边AB有一个公共点，则r的取值范围是______．【例4】如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是____．【例5】如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在直线AB上，开始时，PO=6cm，如果⊙P以1cm/s的速度沿A向B的方向移动，那么当⊙P的运动时间t（s）满足____时，⊙P与直线CD相交．【例6】如图所示,两个同心圆,大圆半径为5cm,小圆的半径为3cm,若大圆的弦AB与小圆相交,求弦AB的取值范围.【例7】已知直线y=kx(k≠0)经过点(12,-5),将直线向上平移m(m>0)个单位,若平移后得到的直线与半径为6的☉O相交(点O为坐标原点),求m的取值范围.题型三：切线的判定（有交点，连半径，证垂直；无交点，做垂直，证半径）【例1】如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上.求证：PE是⊙O的切线．OOABPEC【例2】如图，AB是⊙Ｏ的直径，AM，BN分别切⊙O于点A,Ｂ，CＤ交AM,BN于点D,C,ＤＯ平分∠AＤC.(1）求证:CＤ是⊙O的切线；(２）若AD=4,ＢC=9，求⊙O的半径R．【例3】已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．【例4】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC中点，连接DE．判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；【例5】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【例6】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，EB＝EC求证：DE是⊙O的切线；【例7】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF；题型四：切线的性质【例1】如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=20°，则∠C的大小等于（）20° B．25° C．40° D．50°【例2】如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（）A．50° B．55° C．60° D．65°【例3】如图，⊙I是OABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DEF＝50°．求∠A的大小．【例4】已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上AB同侧的两点，∠BAC＝25°（Ⅰ）如图①，若OD⊥AB，求∠ABC和∠ODC的大小；（Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于点E，若OD∥EC，求∠ACD的大小．【例5】如图是某商品标牌的示意图，⊙O与等边△ABC的边BC相切于点C，且⊙O的直径与△ABC的高相等，已知等边△ABC边长为4，设⊙O与AC相交于点E，则AE的长为_____．【例6】如图，⊙O的半径为3，点O到直线的距离为4，点P是直线上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为___．题型五：切线长定理【例1】如图，AB、AC切⊙O于B、C，AO交⊙O于D，过D作⊙O切线分别交AB、AC于E、F，若，，则△AEF的周长是（）CCOFAEDB10 B．12 C．14 D．16【例2】如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（）A． B． C． D．【例3】如图，PA、PB切⊙O于A、B，点C在上，DE切⊙O于C，交PA、PB于D、E，已知PO＝13cm，⊙O的半径为5cm，则△PDE的周长是．【例4】如图，PA、PB、DE切⊙O于点A、B、C、D在PA上，E在PB上，（1）若PA＝10，求△PDE的周长．（2）若∠P＝50°，求∠O度数．【例5】如图，直线PA、PB、MN分别与⊙O相切于点A、B、D，PA＝PB＝8cm，△PMN的周长是．题型六：三角形的内切圆【例1】内心与外心重合的三角形是（）A.等边三角形 B.底与腰不相等的等腰三角形 C.不等边三角形D.形状不确定的三角形【例2】已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（）A．4 B．3 C．2 D．1【例3】如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为．【例4】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为，则△BIC的外接圆半径为（）A．7 B．7 C． D．题型七：与切线证明有关的综合问题【例1】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB（1）求证：DC为⊙O的切线；（2）若∠DAB＝60°，⊙O的半径为3，求线段AC的长【例2】如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．（1）如图1，证明：OD∥BC；（2）如图2，若AD是⊙O的切线，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，且OA＝，求EF的长．【例3】如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．【例4】已知：如图，在中，点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，当点到达终点时，点也随即停止运动，设点的运动时间为．以点为圆心，长为半径作．（1）若，求的值;（2）若与线段有唯一公共点，求的取值范围．题型八：动圆相切问题【例1】在平面直角坐标系中，直线经过点A(﹣3，0)、B(0，)，点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O，将⊙P沿轴向左平移，平移后得到⊙P′（点P的对应点为P′）.当⊙P′与直线相交时，横坐标为整数的点P′共有（）A、1个B、2个C.、3个D、4个【例2】如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了____s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切．【例3】如图，已知直线交x轴、y轴于点A、B，⊙P的圆心从原点出发以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动，移动时间为t（s），半径为，则t＝______s时⊙P与直线AB相切．【例4】如图，△ABC中，BC＝5，AC＝4，，点D从点B开始以每秒1个单位的速度沿BC向点C运动，同时点E从点C开始以每秒2个单位的速度沿CB向点B运动，过点E作直线EF∥AC交AB于点F，当运动______秒时，直线EF与以点D为圆心，BD为半径的圆相切．【例5】如图，在平面直角坐标系中，直线l的表达式是，长度为2的线段AB在y轴上移动，设点A的坐标为（0，a）．（1）当以A为圆心，AB为半径的圆与直线l相切时，求a的值；（2）直线l上若存在点C，使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，则a的取值范围为_____．课后练习1．如图，AB为⊙O的直径，点D在⊙O外，∠BAD的平分线与⊙O交于点C，连接BC、CD，且∠D＝90°．（1）求证：CD是⊙O的切线；2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CF=2，DF=4，求⊙O的直径．3、如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD丄PA，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC﹢DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．4、⊙O的直径为10，圆心O到直线l的距离为3，下列位置关系正确的是（）A．B．C．D．5、在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心、3为半径的圆，一定（）A.与x轴相切，与y轴相切 B.与x轴相切，与y轴相交C.与x轴相交，与y轴相切 D.与x轴相交，与y轴相交6、如图，∠ABC＝30°，BO＝7，以O为圆心，2为半径作⊙O，圆心O在BC边上向左移动，当⊙O与射线BA相切时，圆心O移动的距离等于_____．7、如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为（3，﹣1），AB=．将⊙P沿着与y轴平行的方向平移______距离时⊙P与x轴相切．8、如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD，若∠A