专题6.2 相似三角形中的动点问题（压轴题专项讲练）（苏科版）（原卷版）

专题6.2相似三角形中的动点问题【典例1】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒（1）若△BPQ与△ABC相似，求（2）直接写出△BPQ是等腰三角形时t（3）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求【思路点拨】（1）根据勾股定理可得AB=10cm，分两种情况：①△BPQ∼△BAC，②（2）分三种情况：①当PB=PQ时，过P作PH⊥BQ，则BH=12BQ=4-2t，PB=5t，根据平行线分线段成比例定理得到PBAB=BHBC，进而即可求解；（3）设AQ，CP交于点N，过P作PM⊥BC于点M，先根据相似三角形的判定与性质可得PM=3tcm，BM=4t【解题过程】解：（1）∵∠ACB=90∴AB=由题意得：BP=5分以下两种情况讨论：①当△BPQ∼△BAC即5t解得t=1②当△BPQ∼△BCA即5t解得t=综上，t的值为1或4132（2）解：分三种情况：①当PB=PQ时，如图，过P作则BH=12∵PH⊥BQ，∴PH∥∴PBAB=BH解得：t=②当PB=BQ时，即解得：t=③当BQ=PQ时，如图，过Q作QG⊥AB则BG=12∵∠QBG=∴△BGQ∼∴BGBC=BQ解得：t=综上所述：△BPQ是等腰三角形时t的值为：23或89（3）解：如图，设AQ，CP交于点N，过P作PM⊥BC于点∵PM⊥∴PM∥∴△BPM∴BPBA=PM解得PM=3tcm∴MC=∵∠QAC+∴∠QAC=在△ACQ和△CMP中，∴△ACQ∼∴ACCM=CQ解得t=经检验t=1．（2022·辽宁沈阳·九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，点P从点B出发以1个单位长度/秒的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位长度/秒的速度向点B运动，其中一点到达另一点即停．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（

）A．2411秒 B．95秒 C．2411秒或92．（2022·全国·九年级课时练习）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点P是AD上的一个动点，若以A，P，B为顶点的三角形与△PDC相似，则满足条件的点P的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2㎝，BC=6㎝，AB=7㎝，点P是从点B出发在射线BA上的一个动点，运动的速度是1㎝/s，连接PC、PD．若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P个数是（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，正方形ABCD边长为8，E为AD中点，线段PQ在边DC上从左向右以1个单位/秒的速度运动，PQ=3，从P点与D点重合时开始计时，到Q点与C点重合时停止，设运动时间为t秒，连结BE､EP､BQ，在运动过程中，下列4个结论：①当t=1时，△BAE≌△BCQ；②只有当t=53时，以点E､D､P构成的三角形与△BCQ相似；③四边形EPQB的周长最小等于A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2022·全国·九年级课时练习）如图，有一正方形ABCD，边长为62，E是边CD上的中点，对角线BD上有一动点F，当△ABF与△DEF相似时，BF的值为__________6．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD中，E是AB的中点，点P从点D出发沿射线DC以每秒1个单位长度的速度运动，过点P作PF⊥DE于点F，当运动时间为______秒时，以P、F、E为顶点的三角形与△AED相似．7．（2022·广东佛山·九年级期末）如图，△ABC中AB=AC，A(0，8)，C(6，0)，D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的53倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为____________8．（2022·湖北武汉·一模）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE，垂足为F．当点P在射线AD上运动时，若以P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似，则PA的值为______．9．（2022·浙江绍兴·九年级期末）如图，边长为5cm的正方形ABCD，E，F分别从A，B两点同时出发，以1cm/s速度沿射线AB，射线BC运动，连结AF，DE交于点P，G为AD中点，连结PG，PB，若△PDG与△ABP相似，则运动时间t的值为______．10．（2022·辽宁·鞍山市第二十六中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs．(1)当PQ∥BC时，求(2)△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．11．（2022·福建省大田县教师进修学校九年级期中）如图，在三边互不相等的△ABC中，AB=8cm，BC=16cm．动点P从A开始沿AB边运动，速度为2cm/秒，动点Q同时从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/秒，当点P到达点B时，P，Q就不再运动．设(1)证明：当x=2时，△BPQ (2)若△BPQ 与△ABC相似，求x12．（2022·山东·滕州市南沙河镇中学九年级期中）在平面直角坐标系中，已知OA=10cm，OB=5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用(1)用含t的代数式表示：线段PO=cm；OQ=cm．(2)求当t为何值时，四边形PABQ的面积为19cm(3)当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．(4)求当t为何值时，线段PQ分三角形AOB的面积比为6:19．13．（2022·浙江金华·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，BC>CD，BC,CD分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个根，连结BD，动点P从B出发，以1个单位每秒速度，沿BD方向运动，同时，动点Q从点D出发，以同样的速度沿射线DA运动，当点P到达点D时，点Q即停止运动，设运动时间为t秒.以PQ为斜边作RtΔPQM，使点M落在线段(1)求线段BD的长度；(2)求ΔPDQ(3)当ΔPQM与ΔBCD相似时，求t14．（2022·上海市市北初级中学九年级期中）如图，已知ΔABC中，AB=4，BC=5，AC=6，把线段AB沿射线BC方向平移至PQ，直线PQ与直线AC交于点E，又连接BQ与直线AC交于点D(1)若BP=3，求AD的长；(2)设BP=x，DE=y，试求y关于x的函数解析式；(3)当BP为多少时，以Q、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．15．（2022·福建·将乐县教师进修学校九年级期中）已知：E是矩形ABCD的边AB上一个动点，直线EF⊥DE交BC于点F，(1)求证：△ADE∽△BFE；(2)若直线EF经过C点，且AD=3,AB=10，是否存在这样的点E，使△ADE和△BFE相似？若存在，请求出AE的长度；若不存在，请说明理由．(3)连结DF，若AD=3，AE=2，当△ADE和△EFD相似时，则AB=16．（2022·上海市建平实验中学九年级期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，P是AB边上的一个动点．(1)当CA=CP时，求AP的长；(2)当CP平分∠ACB时，求点P到BC的距离；(3)过点P作PQ⊥BC，PQ交边CB于Q，设AP=x，BQ=y，求y关于x的函数关系式并写出定义域．17．（2022·江苏·江阴市长泾第二中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作∠DEF=90°，EF交射线BC于点F．设BE=x，△BED的面积为y．(1)求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)如果以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似，求△BED的面积．18．（2022·吉林吉林·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB、BC的长分别是一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，其中BC＞AB，OA=2OB，边CD交y轴于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点E出发沿折线段ED—DA向点A运动，运动的时间为t（0＜t＜6）秒，设△BOP与矩形AOED重叠部分的面积为s．请解答下列问题：(1)求点D的坐标；(2)求s关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BEP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2022·山东·济南阳光100中学九年级阶段练习）如图1，在△ABC中，∠BCA＝90°,AC＝3,BC＝4，点P为斜边AB上一点，过点P作射线(1)问题产生∶若P为AB中点，当PD⊥AC,PE(2)问题延伸：在（1）的情况下，将若∠DPE绕着点P旋转到图2的位置，PDPE(3)问题解决：如图3，连接DE，若△PDE与△ABC