2021-2022学年高二人教A版数学选修2-3练习：十八回归分析的基本思想及其初步应用

十八回归分析的基本思想及其初步应用

基础全面练(15分钟30分)

1.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相

关关系，根据一组样本数据⑶，yi)(i=1,2,…，n)用最小二乘法建

立的回归直线方程为，=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是

()

A.y与x具有正的线性相关关系

B.回归直线过样本点的中心(7,7)

C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg

D.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kg

选D.因为回归直线方程中的G=0.85>0,所以y与x具有正的线性

相关关系，A选项正确汉因为回归直线过样本点的中心(7,7),

所以选项B正确；又因为线性回归直线方程得出的值是近似值，所

以选项C正确，选项D不正确.

2.如表是某厂1~4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：

月份X1234

用水量y4.5432.5

由表中数据可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其

线性回归直线方程是£=-0.7x+a,则a=()

A.5.25B.5.15C.5.2D.10.5

选A.因为x=2.5,y=3.5,回归直线方程必过定点(x,y),

所以3.5=-0.7X2.5+a,所以a=5.25.

3.某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如表：

X1.99345.16.12

y1.54.047.51218.01

对于表中数据，现给出下列拟合曲线，其中拟合程度最好的是()

A.y=2x-2B.y=图

C.y=log2XD.y=2(x2-1)

选D.可以代入检验，残差平方和最小的拟合程度最高.

4.在研究身高和体重的关系时，求得R2k,可以叙述为“身

高解释了64%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的36%”，所以身

高对体重的效应比随机误差的效应大得多.

结合相关指数的计算公式

Z(Yi-^)2

i=l

R2=l----------------可知，当RM.64时，身高解释了64%的体重

Z(yi-7)2

i=1

变化.

答案:0.64

5高二⑶班学生每周用于数学学习的时间x(单位⑴与数学成绩y(单

位：分）之间有如表所示数据:

x/h24152319161120161713

y/分92799789644783687159

若某同学每周用于数学学习的时间为18h,试预测该同学的数学成

绩.

显然学习时间与学习成绩间具有相关关系，可以列出下表，并用科学

计算器进行计算.

i12345678910

Xi24152319161120161713

yi92799789644783687159

Xiyi22081185223116911024517166010881207767

1()10

E"=3182,2Xiyi=13578

i=li=l

设回归方程为夕=bx+cz,

10____

gx'-lOxy5454

于是可得分二1=1--------------------------------------------------------3.53,

-154.4

£Xj-10x

i=l

a=y-方x-74.9-3.53x17.4=13.5.

因此可求得回归方程为3.53x+13.5.

当x=18时，>>=3.53x18+13.5=77.

故预测该同学可得77分.

【补偿训练】

某农场对单位面积化肥用量x(kg)和水稻相应产量y(kg)的关系进行

了统计，得到数据如下：

X15202530354045

y330345365405445450455

如果x和y之间具有线性相关关系，求出回归直线方程，并预测当单

位面积化肥用量为32kg时，水稻的产量大约是多少？(精确到0.01

kg)

用列表的方法计算2与回归系数方.

9

序号X3rxy

1153302254950

2203454006900

3253656259125

43040590012150

535445122515575

640450160018000

745455202520475

V2102795700087175

-1—1

xx210=30,yx2795-399.3,

87175-7x30x399.3

石=----------；--=4.746,

7000-7x302

«=399.3-4.746x30=256.92,

y对x的回归直线方程为£=+bx=256.92+4.746x,

当x=32时，?=256.92+4.746x32-408.79.

答:回归直线方程为夕=256.92+4.746X,当单位面积化肥用量为32

kg时，水稻的产量大约为408.79kg.

综合突破练（30分钟60分）

一、选择题（每小题5分，共25分）

A.63.6万兀B.65.5万兀

C.67.7万元D.72.0万元

选B.因为a=y-

49+26+39+544+2+3+5

=---------4----------Ax-------------=9.1,

所以回归方程为少=9.4x+9.L

令x=6,彳导少=9.4x6+9.1=65.5（万元）.

2.下列四个命题中正确的是（）

①在线性回归模型中，e是bx+a预报真实值y的随机误差，它是一

个观测的量；②残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；③用R2

来刻画回归方程，R2越小，拟合的效果越好；④在残差图中，残差点

比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状

区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高.

A.①③B.②④C.①④D.②③

选B.e是预报变量y的随机误差，故①不正确；IV越接近1,拟合的

效果越好，故③不正确.

3.若一函数模型为y=sin2a+2sina+1,为将y转化为t的回归直线

方程，则需作变换t等于()

A.sin2aB.(sina+l)2

C.Qina+£)2D.以上都不对

选B.因为y是关于t的回归直线方程，实际上就是y关于t的一次函

数,又因为y=(sina+I)2,若令t=(sina+,则可得y与t的函数

关系式为y=t,此时变量y与变量t是线性相关关系.

4.两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是

()

A.y=a-xb

B.y=a+bInx

C.y=a-ebx

b

D.y=a-ex

选B.由散点图知，此曲线类似对数函数型曲线，因此可用函数y=a

+

bInx模型进行拟合.

5.已知x与y之间的几组数据如表：

X123456

y021334

假设根据表中数据所得线性回归方程为5>=方x+3,若某同学根据表

中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y，=b，x+a"则以

下结论正确的是()

A.石〉b',a>a'B.7>bz,a<a'

C.b<W,a>a'D.%<b',3<a'

选C.过(1,0)和(2,2)的直线方程为/=2x-2,画出六点的散点图，

回归直线的大概位置如图所示，

显然，b，>方，a>3,'.

二、填空题(每小题5分，共15分)

6如果某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程y=bx+a+e(单

位：亿元)，其中b=0.8,a=2,|e|W0.5,如果今年该地区财政收入为

10亿元，则年支出预计不会超过_______亿元.

因为当x=10时，y=0.8x10+2+e=10+e,又因为|把0.5,所以

y<10.5.

答案：10.5

7.已知x,y取值如表：

X0134

y2.24.34.86.7

若x,y具有线性相关关系，且回归方程为0.95x+3,则当x=10

时，y的值是_______.

由已知x=2,y=4.5,而回归方程过点(x,y).

则4.5=0.95x2+a,所以3=2.6.

所以当x=10时，y=0.95x10+2.6=12.1.

答案：12.1

8.已知方程，=0.85x-82.71是根据女大学生的身高预报她的体重的

回归方程，其中x的单位是cm『的单位是kg，那么针对某个体(160,

53)的残差是_________.

将x=160代入0.85x-82.71,

得)=0.85x160-82.71=53.29,

所以残差合=y-P=53-53.29=-0.29.

答案：-0.29

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.关于x与y有以下数据：

X24568

y3040605070

已知X与y线性相关，由最小二乘法得为=6.5,

⑴求y与x的线性回归方程.

(2)现有第二个线性模型：9=7x+17,且R2=0.82.

若与(1)的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明

理由.

⑴依题意，设y与x的线性回归方程为，=6.5x+6.

―2+4+5+6+8_30+40+60+50+70

x==5,y==50,

因为？=6.5x+。经过(x,y),

所以50=6.5x5+«,所以3=17.5,

所以y与X的线性回归方程为9=6.5X+17.5.

⑵由⑴的线性模型得与-自与y-7的关系如表：

yi-y\-0.5-3.510-6.50.5

yi-y-20-1010020

5

所以Z(yi-?i)2=(-0.5)2+(-3.5)2+102+(-6.5)2+0.52=155.

i=1

5_

E(yi-y)2=(-20)2+(-io)2+io2+o2+202=1000.

i=1

5

一(…)2

i=l155

所以Ry=1--------------=1-痛前=0.845.

Z(Yi-7)2

i=1

由于R?=0.845,R2=0.82知R?>R2,

所以⑴的线性模型拟合效果比较好.

10.(2020.全国II卷)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，

野生动物数量有所增加.为调杳该地区某种野生动物的数量，将其分

成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取

20个作为样区,调查得到样本数据垂,y»(i=1,2,…，20),其中

士和山分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生

2020

动物的数量，并计算得£>i=60,£>=1200,

i=li=l

20—20—20——

Z(Xi-x)2=80(yi-y)2=9000，Z(Xi-x)(yi-y)

i=li=li=l

=800.

⑴求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值

等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);

⑵求样本(Xi,yi)(i=1,2,,20)的相关系数(精确到0.01)；

⑶根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样

本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一

种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

£（x「x）（yi—y）

附：相关系数「二7声---------------，啦-1.414.

、位（x「i苣（y「7）2

Vi=li=l

1201

⑴样区这种野生动物数量的平均数为表£>=之xl200=60地块

乙U4U

i=l

数为200，该地区这种野生动物数量的估计值为200x60=12000.

（2）样本3,%）的相关系数

20___

g（x「x）（y「y）800^2…

=

人鼠£（x「一x）2£部（y「y.）2=而嬴而3加94.

Vi=li=l

⑶分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地

块进行分层抽样.

理由如下：由⑵知各地块的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很

强的正相关.由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这

种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的办法较好地保持了样本

结构与总体结构的一致性，提高了样本代表性，从而可以获得该地区

这种野生动物数量更准确的估计.

创新迁移练

1•为了考查两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各

自独立地做了100次和150次试验，并且利用线性回归方法，求得回

归直线分别为/i和，2.已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的

平均值都是s,对变量y的观测数据的平均值都是t,那么下列说法

正确的是（）

A.和，2有交点G,t）

B./］与/2相交，但交点不一定是（s,t）

C./1与〃必定平行

D./1与/2必定重合

选A./1,/2都过样本点的中心（S,t），但斜率不确定.

2.随着新型冠状病毒肺炎疫情好转，某地为方便市民出行，推出利

用支付宝和微信扫码支付乘车活动，并采用随机优惠鼓励市民扫码支

付乘车.该公司某线路公交车队统计了第一周内使用扫码支付的情

况，其中x（单位：天）表示活动推出的天数，y（单位：十人次）表示当

天使用扫码支付的人次，整理后得到如图所示的统计表1和散点图.

表1：

X第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天

y71220335490148

由散点图分析后，可用