【新初一衔接讲义】第14讲《整式及其加减》《基本平面图形》综合复习教师版

=171X+〃趣TFUF由、〃甘*B石国皿、2A

单项式,多项式,同类项，去括号法则.整式讨算

《整式及其加减》、《基本

线段,角的相关概念与计算

平面图形》综合复习

多边形与画的初步

)

类型一整式的相关概念

少考点说明：一.单项式：像8x、mn、100t、—fl2......这些式子都是数或者是字母的积,

我们把这样的式子叫做单项式，单独的一个数或者字母也是单项式。

x+21

提示：①单项式中只含有乘法或者乘方的运算，例如不是单项式，—不是单项式。

3x

②单项式可以是数和数的积，如62；也可以是数和字母的积，如：3a可以是字母和字母的

积，如：ab;也可以是多个数字和多个字母的积。③因为*是常数，所以2是单项式。

X

(1)单项式系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。

提示：①当一个单项式只含有字母因数时，它的系数就是1或-1。②当单项式是常数是

系数就是他本身。③单项式的系数包括前面的符号。

(2)单项式的次数：一个单项式中，所有的字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

提示：单项式的次数与数字的指数没有关系，例如：24a2力的次数是5而不是9o

二.多项式：几个单项式的和叫做多项式。例如：x2—2xy+y

(I)多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。

提示：①多项式的每一项都包括它前面的符号。②多项式中单项式的个数叫做多项式的

项数。

(2)常数项：在多项式中，不含字母的项叫做常数项。

(3)多项式的次数：在多项式中，次数最高项的次数，叫做多项式的次数。

提示：多项式通常以它最高次项的次数和项数来命名，称为几次几项式。例如：

6孙4+2孙2+5孙+3叫做五次四项式。

三.同类项：所含有的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。另

外所有常数项都是同类项。例如一机,、3m%就是同类项。

注意：判断是否为同类项的标准时“两相同''就是字母相同，相同字母的指数也相同。同

类项与系数没有关系。

四.整式：单项式和多项式统称为整式。

例1.若4x，yn+i与-5x，"y2是同类项，则m+n=5.

【答案】由同类项的定义可得m=4,n+l=2,解得n=l.

【解析】同类项定义中的两个“相同”：

(1)所含字母相同；

(2)相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点.

例2在代数式4x2-8x+5-3x2+6x-2中，4x?和-3x?是同类项,-8x和6x是同类

项，-2和也是同类项，合并后是x2-2x+3.

【答案】-3x2,6x,5,x2-2x+3.

【解析】在代数式4x2-8X+5-3x46x-2中，

4x2与-3x2是同类项，-8x和6x是同类项，-2和5是同类项，

合并后是x2-2x+3.

例3.A、B都是4次多项式，则A+B一定是()

A.8次多项式

第2页

B.次数不低于4的多项式

C.4次多项式

D.次数不高于4的多项式或单项式

【答案】D

第2页

【解析】根据合并同类项的法则，A+B的最高次数可能是4,最低次数可能是0即为常数.

例4.如果M是一个3次多项式，N是3次多项式，则M+N一定是（）

A.6次多项式

B.次数不高于3次整式

C.3次多项式

D.次数不低于3次的多项式

【答案】B

【解析】两个多项式的次数均为3,说明相加后多项式的次数不会大于3,但结果有可能是

单项式，也有可能是多项式，所以结果为整式，故选B.

例5.下列说法中，正确的是（）

A.0是最小的有理数

B.任一个有理数的绝对值都是正数

C.-a是负数

D.3和-2是同类项

【答案】D

【解析】A、没有最小的有理数；

B、任一个有理数的绝对值为非负数；

C、-a是任意数；

D、两个常数项也是同类项.

例6.下列说法正确的是（）

A.工2■的系数是工B.a匚L是单项式

553

C.-25m是5次单项式D.-x2y-35xy3是四次多项式

【答案】D

【解析】：A、二三的系数是三；故错误；

55

B、江L是多项式，故错误；

3

C、-25m是1次单项式，故错误；

第3页

D、-x2y-35xy3是四次多项式，故正确；

例7.单项式-3受21:的系数是-W,次数是5:多项式-3xy+5x3y-2x2y3+5的次

44~

数是5.

第3页

【答案】-,5；5.

4

【解析】单项式上引■的系数是-W,次数是2+3=5；

44

多项式-3xy+5x3y-2x?y3+5的最高次项为-2x?y3,次数为5.

类型二、整式的加减运算

时考点说明：一去括号与添加括号

1.去括号的法则：当括号前面是“+”时，把括号和这个“+”去掉，括号内的各项不改变符

号；当括号前面是时，把括号和这个去掉，括号内各项都要改变符号。例如：+

(3f+5xy+1)=+5xy+1,-(6ahc+3crh-4bc)=-6abc—2>ccb+4bc

注意：①去括号时要连同括号前的“+”或一起去掉。②法则可以简单的记为去正不变

号，去负全变号。

2.添加括号时，法则和去括号的相同，如果用正括号和负括号的说法，可以简述为：添

加正括号，各项不变号，添加负括号，各项都要变号。

如：——2if+-=+(~2cr+-)；——+-=-2(6T———)

3^333

3.如果一个式子当中既有小括号，又有大括号和中括号，一般应先去掉小括号，再去掉

中括号，最后去掉大括号。

4.绝对值号上实际可以看成是一个正括号或者一个负括号。当绝对值号里面是一个正

数时，绝对值号就是一个正括号，当绝对值号里面是一个负数时，绝对值就是负括号。

二合并同类项法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加减，所得的结果为系数，

字母和字母的指数不变。口诀：“同类项，需判断；两相同，是条件；合并时，需计算；系

数加，两不变

根据合并同类项法则，在合并同类项时可以按以下步骤完成:

第4页

第一步：准确找出同类项。

第二步：利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

第三步：写出合并同类项的结果。

第4页

注意：如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0；合并同类项时，

只能把几个同类项合并成一项，不是同类项的不能合并；不能合并的项，在每一步运算时不

能漏掉。

整式的加减：整式的加减实质上就是去括号，合并同类项。若有括号，就应运用去括号

法则去掉括号，然后在合并同类项，当算式中没有同类项，就是运算的最终的结果。

例1.下列去括号正确的是()

A.-(a+b-c)=-a+b-cB.-2(a+b-3c)=-2a-2b+6c

C.-(-a-b-c)="a+b+cD."(a-b-c)=-a+b-c

【答案】B

【解析】A、-(a+b-c)=-a-b+c,故不对；

B、正确；

C、-(-a-b-c)=a+b+c,故不对；

D、-(a-b-c)=-a+b+c,故不对.

例2.下列式子正确的是()

A.x-(y-z)=x-y-zB.-(x-y+z)=-x-y-z

C.x+2y-2z=x-2(z+y)D.-a+c+d+b=-(a-b)-(-c-d)

【答案】D

【解析】：A、x-(y-z)=x-y+z,错误；

B、-(x-y+z)=-x+y-z,括号前是“-去括号后，括号里的各项都改变符号，错误：

C、x+2y-2z=x-2(z-y),添括号后，括号前是“-括号里的各项都改变符号，错误；

D、正确.

例3.化简：7a2b+(-4a2b+5ab2)-(2a2b-3ab2).

(x3-2y3-3x2y)-(3x3-3y3-7x2y)

2(2a2+9b)+3(-5a2-4b)

【答案】解：原式=7a2b-4a2b+5ab2-2a2b+3ab2

第5页

=(7-4-2)a2b+(5+3)ab2

=a2b+8ab2.

解:原式=x3-2y3-3x2y-3x3+3y3+7x2y

=-2x3+y3+4x2y

第5页

解：原式=4a418b-15a2-12b

=(4-15)a2+(18-12)b

=-lla-M-bb.

【解析】解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则.去括号的时

候注意符号的变化，能够根据同类项的概念正确找出同类项.

3(1+3)

例4.（1）探索规律并填空：1+1+2+3=

是*2

1+2+3+4="4)；...1+2+3+...+2O210l+2+3+...+n=

一2

（2）用火柴棒按下面的方式搭图形，填写下表:

△

①

图形编号©②③④

大三角形周长的火柴棒根数36

小三角形个数1

火柴棒根数（选作）3

照这样的规律搭下去：

i）第n个图形的大三角形周长的火柴棒是几根？

ii）第n个图形的小三角形个数有几个第200个图形的小三角形个数有几个？

iii）（选做）第n个图形需要多少根火柴棒？（另加5分）

【答案】解：

（1）20X（1+20）（或210）,n（l+n）；

22

（2）表格中数据依次为：3,6,9,12

第6页

1,22,32,42

3,9,18,30

所以可推出：i)3n根.

ii)十个，第200个图形的小三角形个数有2002个(或40000个).

iii)3n(l+n)

2

第6页

【解析】分析题中给出的数据可知道这种常见的等差数列的求和公式为哽包，直接运用

2

即可.第(2)题同样需要读图，找到数据之间的关系3n,从而求解.关键是能够利用(1)

中关系式求出如垃■.

2

建类型三、线段的相关概念和运算

0考点说明：一.线段、直线、射线

1.基本性质

(1)直线的性质：两点确定一条直线。

(2)线段的性质：两点之间线段最短。

①本知识点可用来解释很多生活中的现象.如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可

以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.

②连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.

2.线段的比较与运算

(1)线段的比较：

比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.

(2)线段的和与差：----------------------

如下图，有AB+BC=AC,或AC=a+b；AD=AB-BD。

AaBbC

b________

ADB

(3)线段的中点：

把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点.如下图，有：AM=MB=-AB

2

AMB

要点诠释：

①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段AB上，且有AM=-AB,则点M为线

2

段AB的中点.

②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，

第7页

点M,N,P均为线段AB的四等分点.

AMNPB

AM=MN=NP=PB=-AB

4

例1.下列说法中，正确的有（）

A.过两点有且只有一条直线

B.连接两点的线段叫做两点的距离

C.两点之间，直线最短

【答案】A

【解析】A、过两点有且只有一条直线，正确，故本选项正确；

B、连接两点的线段的长度叫做两点的距离，故本选项错误；

C、两点之间，线段最短，故本选项错误；

D、AB=BC,则点B是AC的中点错误，因为A、B、C三点不一定共线，故本选项错误.

例2.如图，从A到B最短的路线是（）

A.A-G-E-BB.A-C-E-BC.A-D-G-E-BD.A-F-E-B

【答案】D

【解析】根据图形，从A地到B地，一定要经过E点且必须经过线段EB,

所以只要找出从A到E的最短路线，

根据“两点之间线段最短”的结论，从A到E的最短路线是线段AE,即A-F-E,

所以从A地到B地最短路线是A-F-E-B.

例4.探索题

第8页

如图，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段AB上有三个点时，线段总共

有3条，如果线段AB上有4个点时，线段总数有6条，如果线段AB上有5个点时，线段

总数共有10条，…

••.-------.-------*.__•••____•

CBCDBAcDEB

3=2+16=3+2+110=4+3+2—1

第8页

(1)当线段AB上有6个点时，线段总数共有条.

(2)当线段AB上有101个点时，线段总数共有多少条？

【答案】(1)当线段AB上有6个点时，线段总数共有1+2+3+4+5=15条；

故答案为：15；

(2)当线段AB上有101个点时，线段总数共有1+2+3+...+100=工(100+1)xl(X)=5050条.

2

【解析】(1)根据题意确定出线段总数即可；

(2)归纳总结得出线段总数即可；

例5.点C是线段AB上一点，点M是AC的中点，点N是BC如图，C是线段AB上一点,

M是AC的中点，N是BC的中点

(1)若AM=1,BC=4,求MN的长度.

(2)若AB=6,求MN的长度.

A~~~CKB

解：⑴TN是BC的中点，M是AC的中点，AM=1,BC=4

；.CN=2,AM=CM=1

：.MN=MC+CN=3；

(2)是AC的中点，N是BC的中点，AB=6

NM=MC+CN=—AB=3.

2

(1)由已知可求得CN的长，从而不难求得MN的长度；

(2)由己知可得AB的长是NM的2倍，己知AB的长则不难求得MN的长度.

掌握两点间的距离，掌握线段中点的概念是解题的关键.

解：设AB的中点与AC的中点分别是点M、N.

如图1,MN」-AC-J-AB=—xl6-—xl0=3,

2222

如图2,MN=1-AC+—AB=—x16+—x10=13；

2222

综上所述，AB的中点与AC的中点之间的距离是3或13.

故答案为：3或13.

3/13

在直线AB±,AB=10,AC=16,那么AB的中点与AC的中点的距离为3或13.

・■________________________III_____________I________________________I

ACOCAR

第9页

解：如上图所示，可知：

①当点C在线段AB上时，，BC=AB-AC=2cm；

②当点C在线段BA的延长线上时，BC=AB+AC=8cm.

B

已知线段AB=5cm,在直线AB上画线段AC=3cm,则线段BC的长为（）

A.8cmB.2cm或8cmC.2cmD.不能确定

•••点N是BC的中点，

NC=&B,

2

•/MC-NC=2,

.,.—AC-—BC=2,

22

则AC-BC=4,

故AC比BC长4cm,

解：：点M是AC的中点，

AC,

2

c

果MC比NC长2cm,AC比BC长（）

a111]

AVCNB

A.1cmB.2cmC.4cmD.6cm

的中点，如果MC比NC长2cm,AC比BC长（）

AVCN'B

A.1cmB.2cmC.4cmD.6cm

【答案】c

【解析】解：♦.•点M是AC的中点，

AC,

2

♦.•点N是BC的中点，

第10页

.•・NC=A<B,

2

VMC-NC=2,

第10页

.•士A士BC=

2c：2，

则AC-BC=4,

故AC比BC长4cm,

例6.如图，C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是BC的中点

(1)若AM=1,BC=4,求MN的长度.

(2)若AB=6,求MN的长度.

A~~~CVB

【答案】解：(1)是BC的中点，M是AC的中点，AM=I,BC=4

，CN=2,AM=CM=1

；.MN=MC+CN=3；

(2)是AC的中点，N是BC的中点，AB=6

NM=MC+CN=J-AB=3.

2

【解析】(1)由已知可求得CN的长，从而不难求得MN的长度；

(3)由己知可得AB的长是NM的2倍，已知AB的长则不难求得MN的长度.

类型四、角相关概念和运算，多边形的认识

昨考点说明：一.角的度量

(1)角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这

两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.

(2)角的分类：

Zp锐角直角钝角平角周角

范0<Zp<90°ZP=9O°900<Zp<180°Zp=180°Zp=360°

围

二.角的比较与运算

(1)角的比较方法：①度量法；②叠合法.

(2)角的平分线：

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：

如下图，因为0C是NAOB的平分线，所以N1=N2=!NAOB,或NAOB=2Z1=2N2.

2

类似地，还有角的三等分线等.

第11页

A

3.方位角

以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.

要点诠释：

(1)方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确

定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.

(2)北偏东45。通常叫做东北方向，北偏西45。通常叫做西北方向，南偏东45。通常叫做东

南方向，南偏西45。通常叫做西南方向.

(3)方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.

三.多边形及正多边形：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭

平面图形.其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.如下图：

E

五边形正六边形

要点诠释:

第12页

(1)n边形有n个顶点、n条边，对角线的条数为

2

(2)多边形的内角和公式(n-2)xl80°

(3)多边形按边数的不同可分为三角形、四边形、五边形、六边形等.

四.圆及扇形：

(1)圆：如图，在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A

所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，

记作“。0”，读作“圆0”.

第12页

要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.

(2)扇形：由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA,0B所组成的图形叫做扇形.

如下图:

要点诠释：扇形OAB的面积公式:

扇形OAB的弧长公式:

S”嚼夺

nJUl

例1.将一个圆分成4个扇形，已知扇形AOB、AOD、BOD的圆心角的度数之比为2：3：4,

OC为/BOD的角平分线，求这4个扇形的圆心角度数.

【答案】；0C为NBOD的角平分线,

CD=BC,

•・•扇形AOB、AOD、BOD的圆心角的度数之比为2：3：4,

AZAOB：ZAOD：ZCOD：ZBOC=2：3：2：2,

•:ZAOB+ZAOD+ZCOD+ZBOC=360°,

ZAOB=ZCOD=ZBOC=80°,ZAOD=120°.

【解析】由OC为NBOD的角平分线，得到琏前，根据周角的定义列方程即可得到结论.

例2.如图，圆的四条半径分别是OA,OB,OC,OD,其中点O,A,B在同一条直线上，

第13页

ZAOD=90°,ZAOC=3ZBOC,那么圆被四条半径分成的四个扇形的面积的比是（）

D

A.1：2：2：3B.3：2：2：3C.4：2：2：3D.1：2：2：1

【答案】A

【解析】•••点O,A,B在同一条直线上，ZAOD=90°,

,ZBOD=90°,

VZA0C=3ZB0C,

二ZBOC=—x180°=45°,ZAOC=3x45°=135°,

4

S«®BOC：SHBBOD：Ssa®AOD：SmiAOC-45：90：90：135=1：2：2：3.

例3.线段、角、三角形、和圆都是几何研究的基本图形，请用这些图形设计表现客观事物的

图案，每幅图可以由一种图形组成，也可以由两种或三种图案组成，但总数不得超过三个，

并且为每幅图案命名，命名要求与画面相符（不少