《指数》示范课教案【高中数学】

《指数》教学设计

♦教学目标

1.学会根式与分数指数塞之间的相互转化.

2.掌握用有理数指数基的运算性质化简求值.

3.了解无理数指数累的意义.

♦教学重难点

IJ

教学重点：根式与分数指数幕之间的相互转化.

教学难点：指数暴的运算性质.

♦课前准备

PPT课件.

♦教学过程

一、整体概览

问题1：阅读课本第74页，回答下列问题：

(1)本章将要研究哪类问题？

(2)本章研究的起点是什么？目标是什么？

师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容.

预设的答案：(1)本章将要研究指数与对数.(2)起点是根式、指数募的拓展，目标

是通过研究指数与对数，掌握指数与对数的运算性质，为指数函数与对数函数打下伏笔.

设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的

框架.

二、新课导入

关于根号的故事，最有价值和意义的当属血的发现，它导致了第一次数学危机，并促

使了逻辑学和几何学的发展.

公元前五世纪，古希腊有一个数学学派，名叫毕达哥拉斯学派，毕达哥拉斯学派提出的

著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石.而“一切数均可表示成整数或整数之比''则是这一

学派的数学信仰.

对于这一理论，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对

角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数

来表示.希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数夜的诞生.小小血的出现，却在

当时的数学界掀起了一场巨大的风暴，史称“第一次数学危机”.希帕索斯也因发现了0,

憾动了学派的基石而被扔进大海.

引语：本章将进一步学习指数与对数.(板书：4.1指数)

设计意图：情境导入，引入新课.

【探究新知】

牛顿是大家所熟悉的物理学家，你知道他在数学上的贡献吗？他在1676年6月13日写

给莱布尼茨的信里面说：“因为数学家将四，的a,等写成后,“3,“4等，所以可将

右,必，写成后,/,；将，写成小,。-2,/3,，,.这是牛顿首次使用

aaaaaa

任意实数指数.

阅读教材75-77页结合上述情境回答下列问题：

问题1：牛顿这一发现在数学上有什么贡献？

问题2：根式的定义是什么？根式有什么性质？

问题3：如何将根式转化为分数指数幕？

问题4：根据上述问题，想一想有理指数基有哪些运算性质？

师生活动：学生分析解题思路，给出答案.

预设的答案：1.牛顿的这一发现，使得正整数指数塞推广到了任意实数指数落.

2.式子板叫做根式，这里〃叫做根指数，。叫做被开方数；(">1,且"6N*)

根式的性质：①加)"=a；②技=卜"为奇数‘

〃为偶数.

3.利用,规定：aM=—(6/>0,m,〃£N*,且〃>1)将根式转化为分数指

数幕.

4.(1)#"=/'(a>0,r,s£Q).

(2)(ay=a2(a>0,r,sGQ).

(3}(abY^arb'(a>0,b>0,rdQ).

【想一想】1.正数〃的〃次方根一定有两个吗？

2.(标)"与折中的字母〃的取值范围是否一样？

师生活动：学生分析解题思路，给出答案.

预设的答案：1.不一定.当〃为偶数时，正数”的，7次方根有两个，且互为相反数；

当n为奇数时，正数〃的"次方根只有一个且仍为正数.

2.取值范围不同.式子(板)"中隐含a是有意义的，若〃为偶数，则若"为奇数,

“GR；式子折■中，aGR.

设计意图：培养学生分析和归纳的能力.

【巩固练习】

例1.(1)16的平方根为,-27的5次方根为.

(2)已知/=6,则工=.

(3)若五二菱有意义，则实数x的取值范围是.

师生活动：学生分析解题思路，给出答案.

预设的答案：(1)：(±4)2=16,

.•.16的平方根为±4.—27的5次方根为止方.

(2)Vx7=6,.*.x=V6.

(3)要使毛¥-2有意义,则需x—220,即x22.

因此实数x的取值范围是[2,+8).

设计意图：理解与运用根式的概念解决问题.

例2.化简x/x2-2x+\-\]x2+6x+9(—3<x<3).

师生活动：学生分析解题思路，给出答案.

预设的答案：原式=J(x—1)--J(x+3尸=|x-11—|x+3|.

*.*—3<x<3,/.—4<x—1<2,0<x+3<6.

当一44r—1<0,即一3<x〈l时，卜一1|一|x+3|=1—x—(%+3)=—2x—2；

当0。一1<2,即lWx<3时,|x-l|-|x+3|=x-l-(x+3)=-4.

&-2x+l-&+6x+9=尸-2,-3<x<1.

反思与感悟：有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、

拆分等方式进行化简.

设计意图：理解与运用根式的性质解决问题.

例3.在下列根式与分数指数幕的互化中，不正确的是()

A.(-x)05=*0)

B.后衰

师生活动：学生分析解题思路，给出答案.

预设的答案：对于A,(-x)°3=_«(xw0),左边X<0,右边X>0,故A错误;

对于B,犷=，，当，<。时，柠'=故B错误；

对于C,由分式指数幕可得孙>0,贝“2故C正确;

411

对于D,尤F=孤，故。错误.故选：C.

设计意图：理解与运用根式与分数指数标的互化方法.

【课堂小结】

板书设计：

4.1指数

1.〃次方根的概念例1

2.带条件的根式的化简例2

3.根式与分数指数暴的互化例3

2.总结概括：

问题：1.根式的定义是什么？根式有什么性质？

2.如何化简带条件的根式？

3.根式与分数指数幕互化的规律是什么？

师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.

预设的答案：

1.式子幅叫做根式，这里”叫做根指数，a叫做被开方数；(〃>1,且“CN*).

①(布)"=a.

⑨犷J"，"为奇数，

■血，”为偶数.

2.有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要

考虑被开方数或被开方的表达式的正负.

3.(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用

根式的性质进行化简或求值.

（2）开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合

条件或分类讨论.

设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确指数的有关知识.

布置作业：

【目标检测】

1.若〃/_4a+l='（1-2”，则实数。的取值范围是（）

A.[l,4^o）B.（-oo.ljC.D.R

2222

设计意图：巩固根式的概念与性质.

2.设。＞0,则下列运算正确的是（）

设计意图：巩固有理数指数繇的运算性质.

3.疡K的分数指数幕表示为（）

A.姬B.C.，D.a

设计意图：理解与运用根式与分数指数露的互化方法.

4.计算厂的结果为()

yja-yja'

3I5

A.々5B.iC.a6D.小

设计意图：巩固根式与分数指数籍的互化方法.

_2

5.计算：(-9.6)°'+(1.5f=

设计意图：巩固有理数指数第的运算性质.

6.设awR,且求。-

设计意图：巩固有理数指数森的运算性质.

7.⑴计算（-0」2）。+图二国匚（肩卜尼可

(2\~2_11

⑵化简：卜"叮.小,〃.

设计意图：巩固有理数指数赛的运算性质.

参考答案：

1.根据根式和指数基的运算性质，因为“〃2_4。+1=行工存,即

J(2“_l)2=&1_2G3,

可得12a—1|=1—2a,所以]—为20，即aW；.

故选：B.

2.对A,凉片=凉二=〃丘，故A错误;

对B,=6f44=a,故B正确；

对C,总兄高”=］，故C错误;

对D，，故D错误•

故选：B.

321

3.依题意指二k二a^3=a2.故选：A.

22,75

4.因为———-=—=a6=ab,故选C・

\[a-i/a^

a2-a3a6