专题19 三垂直模型【有答案】

中考常考几何模型专题19三垂直模型如图，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。结论：Rt△BCD≌Rt△CAE。模型精练1．（2020•浙江自主招生）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，BC＝5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转90°至DE，连接AE，则△ADE的面积是3．【点睛】由旋转可得△DHC≌△DFE，可求得EF，可求得△ADE的面积．【解析】解：如图，过D作DH⊥BC于点H，则HC＝BC﹣BH＝BC﹣AD＝5﹣3＝2，∵旋转，∴△DHC≌△DFE，∴EF＝HC＝2，且∠EFA＝∠DHC＝90°，∴S△ADE=12AD•EF=12×3故答案为：3．2．（2019•九龙坡区期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M、N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值．其中结论正确的有①③④．【点睛】先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．【解析】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB＝90°，∠DEC+∠AEB＝90°，∴∠1＝∠DEC，又∵∠1+∠2＝90°，∴∠DEC+∠2＝90°，∴∠C＝90°，∴∠B+∠C＝180°，∴AB∥CD，故①正确；∴∠ADN＝∠BAD，∵∠ADC+∠ADN＝180°，∴∠BAD+∠ADC＝180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；∵∠4+∠3＝90°，∠2+∠1＝90°，而∠3＝∠1，∴∠2＝∠4，∴ED平分∠ADC，故③正确；∵∠1+∠2＝90°，∴∠EAM+∠EDN＝360°﹣90°＝270°．∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∴∠EAF+∠EDF=12×270∵AE⊥DE，∴∠3+∠4＝90°，∴∠FAD+∠FDA＝135°﹣90°＝45°，∴∠F＝180°﹣（∠FAD+∠FDA）＝180﹣45°＝135°，故④正确．故答案为：①③④3．（2020•孝南区校级月考）如图，已知AE＝DE，AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC．求证：AB+CD＝BC．【点睛】通过全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△ECD，则AB＝EC，BE＝CD，所以易证得结论．【解析】证明：如图，∵AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠AED＝∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE＝∠CED（同角的余角相等），∴在△ABE与△ECD中，∠B=∠ECD∠BAE=∠CED∴△ABE≌△ECD（AAS），∴AB＝EC，BE＝CD，∴AB+CD＝EC+BE＝BC，即AB+CD＝BC．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，AD＝7cm，BE＝3cm，求DE的长．【点睛】易证∠CAD＝∠BCE，即可证明△CDA≌△BEC，可得CD＝BE，CE＝AD，根据DE＝CE﹣CD，即可解题．【解析】解：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在△CDA和△BEC中，∠CDA=∠BEC=90°∠CAD=∠BCE∴△CDA≌△BEC（AAS），∴CD＝BE，CE＝AD，∵DE＝CE﹣CD，∴DE＝AD﹣BE，∵AD＝7cm，BE＝3cm，∴DE＝7﹣3＝4cm．5．如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点（BP＜CP），分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F．（1）求证：EF＝CF﹣BE．（2）若点P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论．【点睛】（1）由BE⊥AP，CF⊥AP可以得出∠AEB＝∠AFC＝90°，根据∠BAC＝90°就可以求出∠BAE＝∠ACF，就可以得出△ABE≌△CAF，而得出AE＝CF，BE＝AF得出结论；（2）如图2，同样由BE⊥AP，CF⊥AP可以得出∠AEB＝∠AFC＝90°，根据∠BAC＝90°就可以求出∠BAE＝∠ACF，就可以得出△ABE≌△CAF，而得出AE＝CF，BE＝AF得出结论EF＝BE+CF．【解析】解：（1）证明：∵BE⊥AP，CF⊥AP，∴∠AEB＝∠AFC＝90°．∴∠FAC+∠ACF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠BAE＝∠ACF．在△ABE和△CAF中，∠AEB=∠AFC∠BAE=∠ACF∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AE＝CF，BE＝AF．∵EF＝AE﹣AF，∴EF＝CF﹣BE；（2）EF＝BE+CF理由：∵BE⊥AP，CF⊥AP，∴∠AEB＝∠AFC＝90°．∴∠FAC+∠ACF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠BAE＝∠ACF．在△ABE和△CAF中，∠AEB=∠AFC∠BAE=∠ACF∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AE＝CF，BE＝AF．∵EF＝AE+AF，∴EF＝BE+CF．6．如图，直线l上有三个正方形a、b、c，其中a、c的面积分别为5和11．求正方形b的面积．【点睛】根据正方形的性质得出∠ACB＝∠DEB＝90°，AB＝DB，∠ABD＝90°，求出∠CAB＝∠DBE，根据AAS推出△ACB≌△BED，根据全等得出AC＝BE，DE＝BC，根据勾股定理得出即可．【解析】解：∵根据正方形的性质得：∠ACB＝∠DEB＝90°，AB＝DB，∠ABD＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∠ABC+∠DBE＝90°，∴∠CAB＝∠DBE，在△ACB和△BED中∠CAB=∠DBE∠ACB=∠DEB∴△ACB≌△BED，∴AC＝BE，DE＝BC，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝AC2+DE2＝5+11＝16，即正方形b的面积是16．7．（2019•红塔区三模）如图，正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，且BE＝CF，求证：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF．【点睛】（1）根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABE＝∠BCF，然后利用“边角边”证明△ABE和△BCF全等，即可得出结论；（2）根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，全等三角形对应角相等可得∠BAE＝∠CAF，然后求出∠BAE+∠ABF＝∠ABC＝90°，判断出AE⊥BF．【解析】证明：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠BCF，在△ABE和△BCF中，AB=BC∠ABE=∠BCF∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF；（2）∵△ABE≌△BCF，∴∠BAE＝∠CBF，∴∠BAE+∠ABF＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝90°，∴AE⊥BF．8．如图，在△ABC外分别以AB，AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，AM是△ABC中BC边上的中线，延长MA交EG于点H，求证：（1）AM=12（2）AH⊥EG；（3）EG2+BC2＝2（AB2+AC2）．【点睛】（1）延长AM到点N，使MN＝MA，连接BN，先证得△MBN≌△MCA，得到∠BNM＝∠CAM，NB＝AC，从而得到BN∥AC，NB＝AG，进一步得到∠NBA＝∠GAE，根据SAS证得△NBA≌△GAE，即可证得结论；（2）由△NBA≌△GAE得∠BAN＝∠AEG，进一步求得∠HAE+∠AEH＝90°，即可证得∠AHE＝90°，得到AH⊥EG；（3）连接CE、BG，易证△ACE≌△ABG，得出CE⊥BG，根据勾股定理得到EG2+BC2＝CG2+BE2，从而得到2（AB2+AC2）．【解析】（1）证明：延长AM到点N，使MN＝MA，连接BN，∵AM是△ABC中BC边上的中线，∴CM＝BM，在△MBN和△MCA中AM=MN∠AMC=∠NMB∴△MBN≌△MCA（SAS），∴∠BNM＝∠CAM，NB＝AC，∴BN∥AC，NB＝AG，∴∠NBA+∠BAC＝180°，∵∠GAE+∠BAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠NBA＝∠GAE，在△NBA和△GAE中NB=AG∠NBA=∠GAE∴△N