无锡市江阴高级中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷

第=page2222页，共=sectionpages2222页2021-2022学年度江苏省江阴高级中学高二第一学期期中考试数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）直线3x-y+a=0(A.30∘ B.60∘ C.150∘双曲线x2a2-y2A.2a B.a2 C.2 若椭圆C：x2a2+y2b2=1(A.​55 B.35 C.​若椭圆x2m+y2n=1(m>n>0)和双曲线x2a2A.m-a2 B.12(m如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1A.1

B.​3

C.2

D.2《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图)，其中四边形ABCD为矩形，EF//AB，若AB=3EF，ΔADE和ΔBCF都是正三角形，且AD=2EF，则异面直线DE与A.π2 B.π4 C.π3在平面直角坐标系xOy中，圆C的一般方程为x2+y2-6x-8y+24=0，点A，B是圆C上不同两点，|ABA.4,285 B.215,295椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B，FA.[22,1 ) B.[2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）已知直线l经过点P(3,1)，且被两条平行直线l1：x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段长为A.x=2 B.x=3 C.y=1设m∈R，过定点A的动直线l1:x+my=0，和过定点B的动直线l2:mxA.直线l2过定点(1,3) B.直线l2与圆C相交最短弦长为2

C.动点P的曲线与圆C相交 D.|如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A.直线BD ​1⊥平面A ​1C ​1D

B.三棱锥P-A ​1C ​1D已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右两焦点分别是F1，F2A.若k≠0，则△ABF2的周长为4a

B.若AB的中点为M，则kOM·k=b2a2三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）若椭圆x2 m+y22=1的离心率为1已知向量n=1,1,-1和直线l平行，点A2,0,2在直线l上，则点P-4,0,2已知点A(-2,-2)，B(4,2)，点P在圆x2已知P为|x|+|y|=m上的点，过点P作圆O:x2+y2=1的切线，切点为M、N，若使得四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(本小题10.0分)求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过点(2,3)，且与椭圆9x(2)经过P((本小题12.0分)已知一个动点M在圆x2+y2=16(1)求点P的轨迹方程；(2)若点P的轨迹的切线在两坐标轴上有相等的截距，求此切线方程．(本小题12.0分)

如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，点M、N分别是(1)求证：平面MND⊥平面PCD(2)求点P到平面MND的距离．(本小题12.0分)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD(1)证明：OA⊥(2)若ΔOCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E-BC-(本小题12.0分)已知A(8,0)，B(4,0)，动点M((1)求点M的轨迹方程；(2)过点E(1,0)的直线交(1)中轨迹于PQ两点，交y轴于F点，若FP→=λ1(本小题12.0分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(1)求双曲线C的方程；(2)设直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线C相交于P,Q两点，问在x轴上是否存在定点D，使得∠PDQ的平分线与x轴或y轴垂直？若存在，求出定点答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】将直线方程整理成斜截式，利用斜率与倾斜角的关系列方程求解，

本题考查了斜率与倾斜角的关系．【解答】解：由3x-y+a=0得：y=3x+a，

设直线的倾斜角为

2.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了双曲线的性质与几何意义，点到直线距离公式的运用，属于基础题．

根据对称性取双曲线的一条渐近线方程为y=2ax，右焦点坐标为【解答】解：根据双曲线的对称性，设双曲线的一条渐近线方程为y=2ax，右焦点坐标为(c,0)，

又a2+4=c

3.【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查的是椭圆的几何意义，属于基础题．

利用2b=a+c，结合a【解答】解：由2b=a+c得b=a+c2．

又因为a2=b2+c2，所以a2=a+c

4.【答案】A

【解析】【分析】本题考查椭圆与双曲线的定义的运用，属于中档题．

根据椭圆与双曲线的定义可得|PF1【解答】解：不妨设|PF1|>|PF2|

根据椭圆与双曲线的定义可得|PF1|+|PF2

5.【答案】B

【解析】【分析】本题考查空间向量的加减运算及数乘运算，空间向量的模，空间向量的数量积及运算律，属于中档题．

以A1B1【解答】解：由题意，B1M=B1B+BM=B1B+12BD

=B

6.【答案】A

【解析】【分析】本题考查了异面直线所成角，可过F作FG//AE交AB于G，连接CG，得到∠CFG【解答】解：如图，在平面ABFE中，过F作FG//AE交AB于G，连接CG，

则∠CFG或其补角为异面直线AE与CF所成的角．

设EF=1，则AB=3，AD=2．

因为EF//AB，AE//FG，所以四边形AEFG为平行四边形，

所以FG=AE=AD=2，AG=1，BG=2，

又AB⊥

7.【答案】B

【解析】【分析】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，利用垂径定理求弦长以及与圆有关的轨迹和最值问题，属于中档题．

化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由弦长求得|CM|以及点M的轨迹，最后得【解答】解：化圆C的一般方程为标准方程得(x-3)2+(y-4)2=1，

∴圆心为C(3,4)，半径为1，

∵|AB|=65，

∴|CM|=1-

8.【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的离心率的求法，椭圆的定义，三角函数的恒等变换以及正弦型函数的值域求法，属于较难题．

设左焦点为F'，根据椭圆定义：|AF|+|AF'|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF'|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c【解答】解：∵B和A关于原点对称，

∴B也在椭圆上，

设左焦点为F'，

根据椭圆定义：|AF|+|AF'|=2a，

又∵|BF|=|AF'|∴|AF|+|BF|=2a

…①，

O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c，

又|AF|=2csinα

…②，

9.【答案】BC

【解析】【分析】本题考查两平行间的距离及直线方程的求解，属于基础题．

求出l1，l2间的距离，由已知分析l与l1【解答】解：由已知l1，l2间的距离为|6-1|12+12=522，

又直线l被两条平行直线l1和l2截得的线段长为5，

则l与l1所成的锐角为45°，

又l1的倾斜角为135°，

所以l的倾斜角为0°或90°，

直线l经过点P(3,1)，当

10.【答案】ABC

【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，两条直线垂直的判定，直线系方程及其应用，点与圆的位置关系及判定，属于中档题．

利用直线系方程及其应用，对A进行判断，利用点与圆的位置关系的判定得点B(1,3)在圆C内，再利用平面几何知识，结合两点间的距离公式，对B进行判断，再利用两条直线垂直的判定得直线l1与直线l2垂直，再利用平面几何知识得直线l1与直线l2的交点P是以A，B为直径两端点的圆，再利用点与圆的位置关系的判定得点B(1,3)在圆C内，点A0,0在圆C外，对【解答】解：对于A.因为直线l2：mx-y-m+3=0，即直线l2：mx-1-y-3=0.所以由x-1=0y-3=0得x=1y=3，因此直线l2过定点B(1,3)，所以A正确;

对于B.因为点B(1,3)在圆C内，而点B(1,3)到点C(2,4)的距离为1-22+3-42=2，所以过点B(1,3)且被点B(1,3)平分的弦长为232-22=2，

因此B正确;

对于C.当m=0时，直线l1与直线l2垂直;

当m≠0时，

直线l1与直线l2垂直，而直线l1：x+my=0过定点A0,0，

11.【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查线面垂直的判定，考查棱锥的体积计算，考查线线角、线面角的求解，属于中档题．

在A中，由条件可证得BD1⊥A1C1和BD1⊥DC1，由线面垂直的判定定理得结论；在B中，B1C//平面A1C1D，三棱锥P-A1C1D的体积为定值；在C中，当P与B1重合时，直线AP【解答】解：在A中，连接B1D1，A1C1⊥B1D1．

由BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，得BB1⊥A1C1．

又B1D1与BB1是平面BB1D1D内的两条相交直线，所以A1C1⊥平面BB1D1D．

又BD1⊂平面BB1D1D，∴BD1⊥A1C1.同理可证BD1⊥DC1．

又A1C1∩DC1=C1，A1C1,DC1⊂平面A1C1D，∴直线BD1⊥平面A1C1D.A

12.【答案】AC

【解析】【分析】本题考查椭圆的定义的应用，椭圆与直线位置关系，中点弦问题，椭圆的几何性质，属于较难题．

由椭圆的定义判断A，由中点弦，“作差法”判断B，由向量的数量积的坐标表示求离心率的范围，判断C，由AB无最小值判断D．【解答】解：直线l：y=k(x+c)恒过定点(-c,0)，即过左焦点，

∴△ABF2的周长为AF1+AF2+BF1+BF2=4a，A正确；

设Ax1,y1，Bx2,y2，

则k=y1-y2x1-x2，点Mx1+x22,y1+y22，

∴kOM=y1+y22x1

13.【答案】83或3【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质，考查离心率的计算，考查分类讨论的数学思想，比较基础．

分类讨论，利用椭圆的离心率公式，即可求出m的值．

【解答】解：m>2时，则m-2m=14，∴m=83；

0<m<2

14.【答案】26【解析】【分析】本题主要考查空间两点间的距离的求解，利用空间向量法是解决本题的关键．

利用空间向量法即可得到结论．【解答】解：∵点A(2,0,2)在直线上，点P-4,0,2，

∴AP=(-6,0,0)，AP=6，

∵向量n=1,1,-1和直线l平行，

则AP在

15.【答案】28

【解析】【分析】本题考查圆的参数方程，训练了利用三角函数求最值，是基础题．

由题意设P(2cosθ,2【解答】解：∵点P在圆x2+y2=4上，∴设P(2cosθ,2sinθ)，

又A(-2,-2)，B(4,2)，

∴

16.【答案】(2【解析】【分析】本题考查轨迹问题，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合思想，属中档题．

解答本题的关键是先求出点P在x2+y2=2上，然后转化为曲线|x|+|【解答】解：如图，根据切线的性质可得△OPM与△OPN全等，

由∠MPN=90∘，则△OPM为等腰直角三角形，则|OP|=2

所以点P在圆x2+y2=2上

又点P在|x|+|y|=m上

∴P为|x|+|y|=m与圆x2+y2=2的交点，

即曲线|x|+|y|=m与圆x2+y2=2有8个公共点，

对于|x|+|y|=m，当x≥0，y≥0时，x+y=m，

当x≤0，

17.【答案】解：(1)椭圆9x2+4y2=36，即x24+y29=1，故c=5，

焦点为0,5，0,-5，

设所求椭圆的标准方程y2a2+x2b2=1a>b>0，

所以【解析】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质和意义，属于基础题．

(1)由条件可设所求椭圆方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0)，利用已知条件求出a2，b218.【答案】解：(1)设P(x,y)，M(由x02+y02=16，得(2x-(2)由点P的轨迹方程(x-4)2+y2=4，可知圆心(4,0)，半径为2，

当切线在两坐标轴上截距均为0∴k=±33当切线在两坐标轴上截距相等且不为0时，设切线方程x+由相切有|4-a|2=2，

∴a=4±22，

切线方程为x

【解析】本题考查圆锥曲线中的轨迹问题，圆的切线方程的求法，中点坐标公式，点到直线的距离公式，属于中档题．

(1)设Px,y，Mx0,y0，根据中点公式可得(2)分类讨论：当切线在两坐标轴上截距均为0时，设切线方程y=kx，根据点到直线的距离公式求出k的值即可得到切线方程，当切线在两坐标轴上截距相等且不为0时，设切线方程x+y=

19.【答案】(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AB、AD、AP两两互相垂直，

以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，

则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，

M(1，0，0)，N(1,1,1)，

故MN=(0，1，1)，ND=(-1，1，-1)，PD=(0，2，-2)，

设m=(x,y,z)是平面MND的一个法向量，

可得m⋅MN=y+z=0m⋅ND=-x+y-z=0，取y=-1，得x=-2，z=1，

则m=(-2，-1，1)是平面MND的一个法向量，

同理可得n=(0，1，1)是平面PCD的一个法向量，

因为【解析】本题考查点面距离的向量求法、平面与平面所成角的向量求法、线面垂直的性质，属于中档题．

(1)以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.分别求出平面MND和平面PCD的法向量，根据两平面的法向量数量积为0，即可得证平面MND⊥平面PCD．

(2)由(1)可得PD和平面PCD的法向量m的坐标，根据d=|m⋅20.【答案】解：(1)证明：∵AB=AD，O为BD中点，

∴AO⊥BD，

∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD，

∴AO⊥平面BCD作EF⊥BD于F，作FM⊥BC于由(1)知AO⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，所以AO⊥BD，

则AO/​/EF，所以EF⊥平面BCD，因为BC⊂平面又因为EM⊂平面EFM则∠EMF为二面角E-BC-因为BO=OD，▵OCD为正三角形，BO=OD=OC=CD=1，

所以∠OBC=∠OCB,∠OCD=∠ODC，且∠OBC+∠OCB+∠OCD+∠ODC=180°∵