2022届天津市高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

xlnx-2x,x>0

1.已知函数/(x)={23c的图像上有且仅有四个不同的点关于直线y=-l的对称点在y=1的图像

XH--X,X40

上，则实数Z的取值范围是()

2.在空间直角坐标系。一型中，四面体Q43c各顶点坐标分别为:

0(0,0,0),A(0,0,2),8(gG,0,()],C(0,gG,oj.假设蚂蚁窝在。点，一只蚂蚁从。点出发，需要在AB,AC上

分别任意选择一点留下信息，然后再返回。点.那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是()

A.272B.711-721C.,5+⑨D.273

3.已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面

积为()

近双圉

IRK图

A.2B.5C.V13D.V22

4.设是定义在实数集R上的函数，满足条件y=/(x+l)是偶函数，且当XN1时，=-1,则

iz=/(Iog32),=c=/(3)的大小关系是()

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>b>a

5,函数y=skiW+x在xe[-2肛2乃]上的大致图象是（）

6.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何

体的体积为

7.等腰直角三角形BCD与等边三角形A3。中，NC=90°,BD=6,现将△ABZ）沿80折起，则当直线4。与平

面BCD所成角为45°时，直线AC与平面A3。所成角的正弦值为（）

A-TB.与c-T"岁

8.做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验

中成功次数X的期望为（）

A.{B.7C.1D.2

iJ

22

9.已知双曲线C：=—4=1(。>0乃>0)的左右焦点分别为士，F2,P为双曲线。上一点，。为双曲线C渐近

a~b~

线上一点，P,。均位于第一象限，且25=引,QF；QF\=O,则双曲线C的离心率为()

A.V3-1B.V3+1C.V13+2D.V13-2

10.已知复数W满足z(3-4i)=5i,贝!||z|=()

A.1B.75C.73D.5

11.设(l+i)a=l+初，其中a,。是实数，则,+2同=()

A.1B.2C.73D.V5

12.方程2(x-I)sin»x+l=0在区间［-2,4］内的所有解之和等于()

A.4B.6C.8D.10

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在直角坐标系xOy中，已知点A(0,l)和点8(-3,4),若点。在NAQB的平分线上，且|3|=3面，则向量反

的坐标为.

14.若火(x-2)展开式中的常数项为240,则实数。的值为.

15.在三棱锥P-ABC中，AB=5,BC=3,C4=4,三个侧面与底面所成的角均为60°,三棱锥的内切球的表面

积为.

y<x

m

16.若实数x，J满足约束条件x+y24,设z=3x-2)，的最大值与最小值分别为〃7,%贝!!一=.

x<3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知A是抛物线E：，=2px(p>0)上的一点，以点A和点3(2,0)为直径两端点的圆C交直线x=l于M,

N两点.

(1)若|MN|=2,求抛物线E的方程；

(2)若OVpVL抛物线E与圆(*-5)2+必=9在x轴上方的交点为尸，Q,点G为尸。的中点，O为坐标原点，求直

线OG斜率的取值范围.

18.(12分)某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查，问卷共

100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位：分)进行统计，将数

据按照[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于

60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生.

理科方向文科方向总计

男110

女50

总计

(1)根据已知条件完成下面2x2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关？

(2)将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文

科方向”的人数为若每次抽取的结果是相互独立的，求J的分布列、期望石传)和方差。抬).

参考公式：烂二证而"其中〃=

参考临界值:

P（K2>k）

00.100.050.0250.0100.0050.001

卜02.7063.8415.0246.6357.87910.828

22

19.(12分)设a,b,c,d都是正数，且户5+/,y=y]c+d-求证：xy>^ac+bd')[ad+bc').

20.(12分)已知函数〃力=(厂+一二)，其中“eH.

(1)当a=0时，求/'(x)在(1"(1))的切线方程；

(2)求证：“力的极大值恒大于0.

21.(12分)max{〃?,〃}表示，”，〃中的最大值，如max卜,JT5}=,己知函数,f(x)=max{x2—i,21nx},

22

g(x)=max<x+lnx,-^+(a2-^jx+2a+4a>.

(1)设〃(x)=/(x)-3卜-;卜求函数网力在(0』上的零点个数；

(2)试探讨是否存在实数ae(-2,+oo),使得g(x)<,x+4a对xe(a+2,”)恒成立？若存在，求”的取值范围;

若不存在，说明理由.

22.(10分)如图，在四棱锥P—ABCZ)中，侧棱Q4_L底面ABC。，AD//BC,4)=1,PA=AB=BC=2,M

是棱PB的中点.

(1)求证：AM〃平面PCD；

(2)若NA5C=9(r,点N是线段8上一点，且QN=gz)C,求直线MN与平面PCD所成角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

可将问题转化，求直线y=依-1关于直线y=-l的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临

界点，进一步确定k的取值范围即可

【详解】

可求得直线y=区-1关于直线y=T的对称直线为y=的-1(机=-火)，

当x〉O时，f(x)=x]nx-2x,r(x)=lnx-l,当x=e时，r(力=0,则当xe(0,e)时，/,(x)<0,/(x)

单减，当xe(e,M)时，/'(x)>0,/(x)单增；

当XWO时，〃司=炉+]》，/(x)=2x+j,当》=一“尸(x)=0,当》<一\时，/(X)单减，当一；。<0时,

/(X)单增；

根据题意画出函数大致图像，如图:

3i

当y=—l与/(x)=x2+]X(x<0)相切时，得△=(),解得加=一耳；

y=xlnx-2x

当y=/nx—l与/(x)=xlnx-2x(x>0)相切时，满足<y=〃ix—l

m=lnx-1

解得x=i,机=T,结合图像可知，«-"),即

故选：A

【点睛】

本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题

2.C

【解析】

将四面体。钻C沿着。4劈开，展开后最短路径就是△40。的边OO',在八40。中，利用余弦定理即可求解.

【详解】

将四面体。LBC沿着。4劈开，展开后如下图所示：

最短路径就是AAOO'的边00'.

易求得ZOAB=ZO'AC=30°,

由AO=2,0B=^6知AB=&C

33

AC=-V3,BC=ylOB2+OC2=-46

33

AB?+A[2-BC?

=>cosABAC—

2ABAC

16+16_8

3333

444

2x耳'耳

由余弦定理知OO'-=AO2+AO'2-2AO-AO'-cosZOAO'

3—、历

其中AO=AO'=2,cosZOAO'=cos(60°+ZBAC)=―—

•**OO'2=5+6,=OO'=75+721

故选：c

【点睛】

本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.

3.D

【解析】

根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积.

【详解】

由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥

P-ABC.S^AC=S^AB=V13,SDAC=后，50尤=2,故最大面的面积为夜.选D.

【点睛】

本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.

4.C

【解析】

Vy=f(x+1)是偶函数，：・f(・x+l)=f(x+1),即函数f(x)关于x=l对称.

9

.当xNl时,=—1为减函数,Vf(log32)=f(2-loga2)=f(jOg2)

k2y

I27

且Tog赤-=log[=log4log34V]og2<3,/.b>a>c,

故选C

5.D

【解析】

讨论X的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断.

【详解】

当x20时，y=sinx+x,则y'=cosx+l20,

所以函数在［0,2句上单调递增，

令g(x)=cosx+l,贝！］g'(x)=—sinx,

根据三角函数的性质，

当工«0,句时，g'(x)=-sinx<0,故切线的斜率变小，

当肛2可时，g'(x)=—sinx〉0,故切线的斜率变大，可排除A、B；

当x<0时，y=-sinx+x,则y'=-cosx+li0,

所以函数在0］上单调递增，

令/z(x)=-cosx+1,〃'(x)=sinx,

当xe［-2肛一句时，//(x)=sinx>0,故切线的斜率变大，

当xe［-乃,()］时，〃'(％)=sinx<0,故切线的斜率变小，可排除C,

故选：D

【点睛】

本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题.

6.B

【解析】

由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4,高为3的正四棱

锥，利用体积公式，即可求解。

【详解】

由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4,

高为3的正四棱锥，

所以几何体的体积为V=KT—%E=4X4X5—；X4X4X3=64,故选B。

【点睛】

本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间

几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。求解以三视图为载体的空间几何体的表面

积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。

7.A

【解析】

设E为50中点，连接AE、CE,过A作AOLCE于点。，连接得到NADO即为直线与平面所成角

的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到NC4E即为直线AC与平面所成角，进而求得其正弦值，得

到结果.

【详解】

设E为〃。中点，连接AE、CE,

由题可知CELBD,所以平面AEC,

过A作AOJ_CE于点0,连接。。，则A0_L平面BOC,

所以ZADO即为直线AD与平面BCD所成角的平面角，

所以sin/AOO=^=42,可得AO=3夜，

2AD

在AAOE中可得。石=3,

又0C=LBD=3,即点。与点C重合，此时有AC,平面BCQ,

2

过C作CE_LAE与点品

又平面AEC,所以所以平面A3D,

从而角ZC4E即为直线AC与平面ABD所成角，sinZC4£=—=-4==—,

A£3733

故选：A.

【点睛】

该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平

面角的定义，属于中档题目.

8.C

【解析】

每一次成功的概率为二=:=:，二服从二项分布，计算得到答案.

【详解】

每一次成功的概率为二=：=%二服从二项分布，故二（二）=（x3=/.

故选：Z.

【点睛】

本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.

9.D

【解析】

22

由双曲线的方程4=1的左右焦点分别为6，E,P为双曲线C上的一点，。为双曲线C的渐近线上的一点，

a~b~

且P,Q都位于第一象限，且2/=师［函•0Q=O,

可知P为QF2的三等分点，且西」弧，

点。在直线灰-政=0上，并且［0。|=以则Q（a,与，鸟9,0）,

设「（斗，必），则2（,xi-a,yi-b）=（c-xl,-yi）,

M.2a+c2b„„.2a+c2b.

解得％=—^―，X=W，n

代入双曲线的方程可得@"+c）2一［=］,解得e=£=JR-2,故选D.

4a24a

点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重

要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出4，。，代入公式e=£；②只需要

a

根据一个条件得到关于〃,仇。的齐次式，转化为“，c的齐次式，然后转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式），

即可得je的取值范围）.

10.A

【解析】

首先根据复数代数形式的除法运算求出z,求出z的模即可.

【详解】

地5i5z(3+4z)-4+3/

解：z=------=--------------------，

3-4/255

故选：A

【点睛】

本题考查了复数求模问题，考查复数的除法运算，属于基础题.

11.D

【解析】

根据复数相等，可得。,沙，然后根据复数模的计算，可得结果.

【详解】

由题可知：(l+i)a=l+bi,

即a+ai=l+bi,所以a=1,6=1

贝!J\a+2例=|l+2i|=JF+22=逐

故选：D

【点睛】

本题考查复数模的计算，考验计算，属基础题.

12.C

【解析】

画出函数丁=4!1⑪和y=-的图像，y=sin心和均关于点(1,0)中心对称，计算得到答案.

Z(X—1)Z(x—1)

【详解】

1_

2(x-I)sin〃x+l=0,验证知x=l不成立,故sin万尤=

2(x-1)

1

画出函数》=$也也和y=-的图像,

2(x-l)

易知：y=sinu和y=一■^匕j均关于点(1，°)中心对称，图像共有8个交点,

故所有解之和等于4x2=8.

故选：C.

本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点(1,0)中心对称是解题的关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(-3,9)

【解析】

点。在NAQB的平分线可知反与向量丝+丝共线，利用线性运算求解即可.

\OA\\OB\

【详解】

因为点C在NAO8的平线上，

所以存在4w(0,+00)使OC=丸(―X(0,1)+X[-=(一,

110Al\OB\)I55八55)

而|反|=’(—l/Ly+i'aA=3710,

可解得4=5,

所以云=(—3,9),

故答案为：(-3,9)

【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算，利用向量的坐标求向量的模，属于中档题.

14.-3

【解析】

依题意可得二项式展开式的常数项为7；+1=/江2.（一2］即可得到方程，解得即可；

IX）

【详解】

（2V（2Y

解「,二项式以X，的展开式中的常数项为5=3C52.-女=—804=240,

<xjkX）

，解得Q=—3.

故答案为：-3

【点睛】

本题考查二项式展开式中常数项的计算，属于基础题.

47r

15.--

3

【解析】

先确定顶点在底面的射影，再求出三棱锥的高以及各侧面三角形的高，利用各个面的面积和乘以内切球半径等于三棱

锥的体积的三倍即可解决.

【详解】

设顶点在底面上的射影为〃，”是三角形ABC的内心，内切圆半径r=1.三个侧面与底面所

成的角均为60°,APAB，APBC,APAC的高PD=尸石=尸产=2，PH=6设内

切球的半径为R,（g（3+4+5）x2+gx3x4）xH=3x；xgx3x4x6=66

:.R=B,内切球表面积S=4万A?=4工.

33

4万

故答案为：

3

【点睛】

本题考查三棱锥内切球的表面积问题，考查学生空间想象能力，本题解题关键是找到内切球的半径，是一道中档题.

16.-

2

【解析】

1T1

画出可行域，平移基准直线版-2），=0到可行域边界位置，由此求得最大值以及最小值，进而求得一的比值.

n

【详解】

画出可行域如下图所示，由图可知，当直线z=3x-2），过点（3,1）时，二取得最大值7；过点（2,2）时，z取得最小值

-m7

2,所以——=二.

n2

【点睛】

本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画

出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行

域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(应)

17.(1)=4无.⑵0,—

I2)

【解析】

(1)设A的坐标为A(xo,yo),由题意可得圆心C的坐标，求出C到直线x=l的距离.由半个弦长，圆心到直线的

距离及半径构成直角三角形可得P的值，进而求出抛物线的方程；

(2)将抛物线的方程与圆的方程联立可得韦达定理，进而求出中点G的坐标，再求出直线OG的斜率的表达式，换

元可得斜率的取值范围.

【详解】

(1)设A(xo,jo)且yo2=2pxo,则圆心C(外工,£),

22

圆C的直径|4阴=J(x0-2)+y0,

圆心C到直线X=1的距离d=|血土2—1|=|E|,

22

因为|MN|=2,所以(丝上)2+/=(网)2,即1+至=(/2)一+.%-，4=2pxo,

2244

整理可得(2〃-4)xo=O,所以0=2,

所以抛物线的方程为：V=4x；

(2)联立抛物线与圆的方程八'=2,2整理可得了2-2(5-p)x+16=0,△>0,

l(x-5)2+/=9

设尸(X],J1),。(X2,丁2),则Xl+X2=2(5-p),X1X2=16,

所以中点G的横坐标XG=5-p,%=4至+=《9P-p?,

所以痴=也"P—(0<P<l),

5-P

A__z_/u、、mil>[20+r——1201~,1—1—1

令f=5-p(fG(44,，))，JU!]koG-.I---------/11(—),、

Vt-Vt2t5t4

6

解得OVkoGV旺,

2

所以直线OG斜率的取值范围(0,三).

2

【点睛】

本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，换元方法的应用，属于中档题.

18.(1)列联表见解析，有；(2)分布列见解析，.

525

【解析】

(1)由频率分布直方图可得分数在［60,80)、［80,1()()］之间的学生人数，可得列联表.根据列联表计算K?的值，结合

参考临界值表可得到结论；

(2)从该校高一学生中随机抽取1人，求出该人为“文科方向”的概率P.由题意8(3,〃)，求出分布列，根据公式

求出期望和方差.

【详解】

(1)由频率分布直方图可得分数在［60,80)之间的学生人数为().0125x20x200=50,在［80,100］之间的学生人数为

0.(X)75x20x200=30,所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为

理科方向文科方向总计

男8030110

女405090

总计12080200

又小片黯哉叽…35.

所以有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关.

QA7

（2）易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科方向”的概率为，=——=—.

2005

【点睛】

本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于中档题.

19.证明见解析

【解析】

利用比较法进行证明：把代数式（。2+/）12+储）,（时+M『展开、作差、化简可得,（ad—be720,可证得

yja2+b2-\lc2+d22ac+Z?d>0成立，同理可证明Jt?+/•\]c2+d22加+be>0，由此不等式得证•

【详解】

证明:因为（"+1/2）=a2c2+erd2+c2b2+b2d2,

^ac+bd\=a2c2+2abcd+b2d?,

所以+〃2）（c2+d，—+=a2d2-2ahcd4-c2h2

=^ad-bc^>0,

...(/+〃乂/+"2)4"+仇/)2成立，又a、c、b、d都是正数，

,da2+/•yl(r+d2>ac+bd>Q>①

同理Ji?」+/•4?+/Nad+bc>0,

xy>yj(ac+bd)(ad+/?c).

【点睛】

本题考查利用比较法证明不等式;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;把差变形为因式乘积的形式是证明本题的

关键;属于中档题。

20.(1)y^-x(2)证明见解析

e

【解析】

(1)求导，代入。=0,求出在x=l处的导数值及函数值，由此即可求得切线方程；

(2)分类讨论得出极大值即可判断.

【详解】

⑴/'(无)=-♦2-(。-2)-+2(7=—(x+a)(x-2),

当a=0时，/,(1)=-,/(1)=-，

ee

则/(x)在(1,/⑴)的切线方程为y=：x；

(2)证明:令/(x)=O,解得x=2或x=-。，

①当a=—2时，/'(x)WO恒成立，此时函数“X)在R上单调递减，

二函数”X)无极值；

②当a>—2时，令尸(力>0,解得—a<x<2,令/'(x)<0,解得x<-“或x>2,

•••函数/(x)在(一。,2)上单调递增，在(—，―a),(2,卡功上单调递减，

〃-I-4

'/(X)极大值=/⑵=>0;

③当a<-2时，令/'(x)>0,解得2<x<-a,令/'(x)<0,解得x<2或x>—。，

函数/(%)在(2,-a)上单调递增，在(-8,2),(-。,内)上单调递减,

•••/（•极大值二”-加子〉。，

综上，函数/（X）的极大值恒大于0.

【点睛】

本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.

21.（1）2个；（D存在，（空口，2］・

4

【解析】

试题分析：（D设F（x）=x2-l_2hx，对其求导，及最小值，从而得到广（X）的解析式，进一步求值域即可；（D

分别对aW0和a>0两种情况进行讨论，得到g8的解析式，进一步构造h（力，通过求导得到最值，得到满足条件

的a的范围.

试题解析：⑴设/力二/一1一21nx,E'（x）=2x-Z="^~DC'+1）.....................1分

XX

令尸（x）>0,得x>l,*x）递增；令尸（x）<0,得0<x<l,*x）递减,.................1分

•••尸（》*=*1）=°，，尸（“2°，即1221nx，.•./（力=%2—1.....................3分

设6（%）=3卜一；）》一1）2,结合了（力与G（x）在（0,1］上图象可知，这两个函数的图象在（0,1］上有两个交点，即

〃（%）在（0,1］上零点的个数为1..............................................5分

（或由方程/（x）=G（x）在（0,1］上有两根可得）

（1）假设存在实数。€（-2,+00）,使得g（x）<；x+4a对xe（a+2,+»）恒成立,

x+lnx<—x+4。

,2/、

则｛(3，对工£(。+2,+8)恒成立,

—f+1/—x++4。<—X+4。

I22

Inx——x<4a

即｛2,对%£(〃+2,+oo)恒成立..................................6分

(工+2乂工_叫>0

①设“(尤)=lnx_gx,“'(x)==2—九

2x

令”'(x)>0,得0<xv2,H(x)递增；令"'(x)<0,得1>2,H(x)递减,

:."（x）m,、=〃（2）=ln2—1,

当0<a+2<2即一2<。<0时，4a>ln2-l,；,a>in2~l,Va<0,1叱一］,。

4I4

故当aernjL。］时,lnx-；x<4a对xe（a+2,+oo）恒成立........................8分

当a+222即aNO时，”（x）在（。+2,心）上递减，.\〃（x）<”（a+2）=ln（a+2）—ga—1.

•.•（ln（a+2）-L-l］=—'--1<0,.•.H（«+2）<H（0）=ln2-l<0,

I2Ja+22

故当时，111%一；兀<44对%€(。+2,欣)恒成立............................10分

②若(x+2)(x-/)>0对xe(a+2,+oo)恒成立，则a+22a”«一1