32立体几何中的向量方法(平行垂直、夹角距离)课件

3.2立体几何中的向量方法----直线的方向向量与平面的法向量一、点、直线、平面的位置的向量表示点●O●P基点空间中任意一点P的位置可用向量表示直线●A●Pl点A和不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出l上的任意一点P。平面O●P点O和、不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出

内的任意一点P。平面法向量：若，则叫做平面的法向量。●A过点A，以为法向量的平面是完全确定的二、线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系探究1：平行关系设直线l，m的方向向量分别为

，，平面，的法向量分别为，线线平行线面平行面面平行点击点击点击探究2：垂直关系设直线l，m的方向向量分别为

，，平面，的法向量分别为，线线垂直线面垂直面面垂直点击点击点击探究3：夹角设直线l，m的方向向量分别为

，，平面，的法向量分别为，线线夹角线面夹角面面夹角点击点击点击三、简单应用练习1：设直线l，m的方向向量分别为

，，根据下列条件判断l，m的位置关系：练习2：设平面

，的法向量分别为

，，根据下列条件判断，的位置关系：四、课堂小结1、点、直线、平面的位置的向量表示2、线线、线面、面面间的位置关系的向量表示五、思考lmllmllmlmll3.2立体几何中的向量方法（2）----空间角与距离的计算举例一、复习二、讲授新课1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。

（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形问题）2、例题

例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD图1解：如图1，设化为向量问题依据向量的加法法则，进行向量运算所以回到图形问题这个晶体的对角线的长是棱长的倍。思考：（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？

（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?A1B1C1D1ABCD分析:分析:∴这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。

（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）A1B1C1D1ABCDH

分析：面面距离回归图形点面距离向量的模解：∴所求的距离是练习:

如图2，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连结DE，计算DE的长。OABCDE图2

例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。解：如图，化为向量问题根据向量的加法法则进行向量运算于是，得设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。因此ABCD图3所以回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为

例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。思考：

（1）本题中如果夹角可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？ABCD图3分析：∴可算出AB的长。

（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？

分析：如图，设以顶点为端点的对角线长为，三条棱长分别为各棱间夹角为。A1B1C1D1ABCD

（3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？A1B1C1D1ABCD分析：二面角平面角向量的夹角回归图形

解：如图，在平面AB1

内过A1

作A1E⊥AB于点E，EF在平面AC内作CF⊥AB于F。∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。练习：

（1）如图4，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长。B图4ACD

（2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB＝45°，∠A1AC＝60°，求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。ABCA1B1C1图5

如图6，在棱长为的正方体中，分别是棱上的动点，且。（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取最大值时，求二面角的正切值。O’C’B’A’OABCEF图6思考：小结：用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。作业：课本P121

第2、4题面面距离回归图形点面距离向量的模二面角平面角向量的夹角回归图形3.2立体几何中的向量方法（3）xxz----利用向量解决平行与垂直问题一、复习1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形问题）2、平行与垂直关系的向量表示（1）平行关系设直线l，m的方向向量分别为

，，平面，的法向量分别为，线线平行线面平行面面平行点击点击点击

（2）垂直关系设直线l，m的方向向量分别为

，，平面，的法向量分别为，线线垂直线面垂直面面垂直点击点击点击二、新课

（一）用向量处理平行问题（二）用向量处理垂直问题（一）用向量处理平行问题ADCBEFNMADCBEFNM评注：向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是存在实数对x,y使p=xa+yb.利用共面向量定理可以证明线面平行问题。本题用的就是向量法。XYZXYZ评注：由于三种平行关系可以相互转化，所以本题可用逻辑推理来证明。用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系，方能减少运算量。本题选用了坐标法。（二）用向量处理垂直问题DACBBCDAFEXYZDACBBCDAFEXYZDACBBCDAFEXYZ评注：本题若用一般法证明，容易证A’F垂直于BD，而证A’F垂直于DE，或证A’F垂直于EF则较难，用建立空间坐标系的方法能使问题化难为易。向量法坐标法三、小结利用向量解决平行与垂直问题向量法：利用向量的概念技巧运算解决问题。坐标法：利用数及其运算解决问题。

两种方法经常结合起来使用。ABCDMXYZ四、作业

1.ABCDMXYZ1.作业：2.课本p.116第2题。Bye－bye!lmllml3.2立体几何中的向量方法（4）xxz----坐标法中解方程组求向量的有关问题一、复习1、单位向量，平面的法向量

（1）单位向量－－模为1的向量。

（2）平面的法向量－－垂直于平面的向量。2、坐标法

例1，如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求证：平面A1BC1的法向量为直线DB1的方向向量.二、讲授新课分析：（1）建立空间坐标系；（2）用坐标表示向量（3）设平面A1BC1的方向向量为n=(x,y,z)，由下列关系列方程组求x,y,z.（4）证明向量n//思考：有更简单的方法吗？2分析：二面角的范围：关键：观察二面角的范围设平面2F1F2F3ACBO500kgF1F2F3ACBO500kgzxyF1F2F3ACBO500kgzxyF1F2F3ACBO500kgzxyF1F2F3ACBO500kgzxy三、练习:

1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P在A1B1上，Q在BC上，且A1P=QB，M、N分别为AB1、PQ