2021-2022学年沪教版九年级数学上册单元过关卷-第24章 相似三角形（巩固篇）（教师版）

2020-2021九年级上下册单元过关卷（沪教版）

第24章相似三角形（巩固篇）

姓名：考号：分数：

（考试时间：100分钟满分：120分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.如图，已知零件的外径25cm,现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和3。相等，OC=OD）

量零件的内孔直径AB，若OC:AC=1:3,量的CD=10mm,则零件的厚度为（）

A.2inmB.2.5mmC.3mmD.3.5mm

【答案】B

【分析】

先根据题意证明勖。晒COD,再根据相似三角形对应边成比例求出A8,问题得解.

【详解】

解：团两条尺长AC和8。相等，OC=OD,

回。4=。8,

0OC：AC=1：3,

（30C：OA=1：2,

0OD：08=0C：04=1：2,

^\COD=BAOB,

^\AOBSBCOD,

0CD:AB=OC：OA=1：2,

BCD=10mm,

M8=20mm,

回零件的厚度为g(25-20)=2.5mm.

故选：B

【点睛】

此题考查相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比,

求出零件的内孔直径AB是解题关键.

k

2.如图，中，对角线经过点。，BDYAD，轴，反比例函数＞=一

x

的图象经过点5和点。(1,2),则8的长为()

C.5D.6

【答案】C

【分析】

设轴于点E，根据反比例函数的性质求得8点坐标为(-1,-2),然后利用勾股定

理及相似三角形的判定和性质求解.

【详解】

解：设无轴于点E,

团nABCD中，对角线80经过点O，y=人的图象经过点B和点。(1,2),

回8点坐标为(-1,-2)

回。£=1,BE=2

在RtaoEB中，OB=YOE2+BE2=石

回8。=2。8=2逐

&BD±AD^AB_Lx轴，

EEL4D8=I3OEB=90°

又13幽8。=回。8£

EEMDSEEOEB

OBABV5AB

BEBD22后

解得:AB=5

回口ABCD中，CD=A8=5

【点睛】

本题考查反比例函数与儿何综合以及相似三角形的判定和性质，掌握相关性质定理，利用数

形结合思想解题是关键.

3.如图，图形甲与图形乙是位似图形，。是位似中心，位似比为2:3,点A,B的对应点

分别为点A',B'.若AB=6,则的长为()

【答案】B

【分析】

直接利用位似图形的性质得出线段比进而得出答案.

【详解】

解：团图形甲与图形乙是位似图形，0是位似中心，位似比为2:3,

0AB=6，

回A'B'=9

故答案为：B.

【点睛】

此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键.

4.一个矩形按如图1的方式分割成三个直角三角形，最小三角形的面积为5,把较大两个

三角形纸片按图2方式放置，图2中的阴影部分面积为52,若$2=25,则矩形的长宽之

比为（）

图1图2

厂4厂

A.2B.y]2C.—D.43

【答案】A

【分析】

图中直角三角形比较多，通过分析E、$2之间的关系转化为线段比，所求的长宽等于两个

三角形的相似比，面积比等于相似比的平方，从而求得线段比.

【详解】

如图（1）,设RdBDC的面积为S3；

如图（2）由题意，知/1=/2,则N3+N1=N2+N4

Z3=Z4

:.OC=OA=OD

:.OA=-AC

2

S3=2s2

Q52=24

“4

ZABD+ZCBD=90°,ZABD+NBAD=90°

：.ZCBD=ZBAD

又ZBDC=ZADB=90°

:.AABD^ABCD

.•0=（纪尸

S.BC

_AB_]

"BC"2

二矩形的长宽之比为2.

图2

故选A.

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，相似三角形的面积比等

了相似比的平方.，相似三角形，本题中找到£、S3之间的关系是解题的关键.

5.在平面直角坐标系中，把AA6c以原点为位似中心放大，得到VAB'C,若点A和它的

对应点A'的坐标分别为(2,3),(6,9),则VAEC'与AABC1的相似比为()

11

A.—B.2C.-D.3

23

【答案】D

【分析】

根据坐标与图形的性质进行解答即可.

【详解】

解：团蜘8c和M8C关于原点位似，且点A和它的对应点A的坐标分别为(2,3),(6,9)

回对应点乘以3,则她，8c与胡8c的相似比为：3.

故选：D.

【点睛】

本题考查的是位似变换，熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相

似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k是解答此题的关键.

6.如图，在正方形A8CD中，点£,F,G分别在边8C,CD,DA±,四边形EFGH由两个正

A.75-1B.3-6C.3-也D.且二!■

22

【答案】D

【分析】

FGCE2CFBE

先证明ElDGFaaCFE,得出一=——=-,再证明回CFEEB8EA,得出——=—,设CE=a,

FEDF1CEAB

则CF=l-2a,BE=l-a,代入计算即可.

【详解】

解：13四边形48C。是正方形4BCD,四边形EFGH由两个正方形组成

00D=0B=0C=0GFE=9O°,GF=2EF

团团DFG+回CF£=90°

团CFE+团CEF=90°

盟DFGWCEF

盟DG丽CFE

FGDF2

~FE~~CE~1

设CE=a,则CF=l-2a,BE=l-a

盟CEF+MEB=90°

EL4EB+团£48=90°

酿EA8二团CEF

又回C=团8

^ICFE^BEA

CFBE

0------=-------

CEAB

1-2a\-a

0----------=---------

a1

0«2-3tz+l=O

0a<l

同3+6,仝土、3-6

回a=-----------（舍去），a=-----

22

SBE^l-a=1-=立11

22

故选：D.

【点睛】

本题考查相似三角形的性质及判定，正方形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握相似三

角形的判定是关键.

7.如图，四边形ABCD为菱形，BFEMC,DF交AC的延长线于点E,交8F于点F,且CE：AC

=1：2.则下列结论不正确的有（）

A.SABESBADE；B.BCBE^SCDF；

C.DE—FE；D.SBBCE：S四边）SA8FD=1：9

【答案】D

【分析】

由四边形A8CD为菱形，AB=AD,SBAC=BDAC,可证AA8E也△ADE（S4S）可判定A；由

MLBE^^ADE，可得财BE=04DE,由四边形ABCD为菱形，可得048C=EMDC,利用等角之

差MBE=mCDE,可判定B；连结BD交AC于。，四边形ABCD为菱形，可得8。=2。。，可证

QDOE^EDBF,可证。p=2Z）E，可判定C；根据0E为（3DBF的中位线，（3D。田ED8F,可得

SADBF=4S4£>OE，由CE：AC=1：2.可得%80A=5W8OC=SMC£=5M。。，SBDOE=2S[BBCF,可求

S四A8FO=10SABC£可判定D.

【详解】

解：团四边形A8CD为菱形，

^AB=AD,0S4C=0D4C,

团在EL48E和EL4DE中，

AB=AD

<NBAE=NDAE,

AE^AE

团AAB£%A4OE（&1S）

故选项4正确；

皿BE=EgDE,

回四边形ABCD为菱形,

WABC=SADC,

WCBE=SABE-&ABC=&ADE-&ADC=SCDE,

故选项B正确；

连结BD交AC丁0,

团四边形A8CD为菱形，

SDO=BO,OESBD,

SBD=20D,

SBR2AE,

^DOE=&DBF,&DEO=BF,

SEDOEWDBF,

DODE1

回-----------——>

DBDF2

®DF=2DE，

0DF=EF+DE=2DE，

@EF=DE，

故选项c正确；

000=08,DE=EF,

为团。8F的中位线，

^BF=20Ef

回S^DBF=4SADOE

0CE：AC=1：2.

04C=2CE,

^A0=0C=CEf

^S^B0A=S^B0C=S^BCE=SliAD0,

0S7]DOF=2S?jBCF，

故选项D不正确.

故选择D.

【点睛】

本题考查菱形性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，三角形面积与四边形

面积，掌握菱形性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，三角形面积与四边

形面积是解题关键.

8.如图，已知点D、E分别在MBC的边AB、AC上，DESBC,点F在8的延长线上，4F0BC,

则下列结论不正确的是（）

ADAEDEAF

C--------------D.-----=------

■ABACAFBC

【答案】D

【分析】

由A甩8C,DEHBC,得到AfElDE,根据平行线分线段成比例定理和三角形相似判定与性质即

可得到结论.

【详解】

解：0DEI3BC,

ADAE

0------=------

BDCE

AD,AE,AD+BDAE+CE

团——+1=一+1,即un-------=---------

BDCEBDCE

ABACanBDCE

BDCEABAC

EWF0BGDE0BC,

幽用DE,

DECE

0-------=--------,

AFAC

BDDE

0------=--------

ABAF

故选项A正确,

04FEDE，

FDAE,FDDC

团---=----，即in----=----

DCECAEEC

故8正确,

团D£08C,

0[?LADE=08,W\ED=^ACB,

^ADE^BABC,

ADAEj.

0----------------,故C1上确，

ABAC

(2L4F0DE,

DECD

0------=-------，

AFCF

04FI21BC,

团团外。二团B,国F二团DC8,

00/4FD008CD,

AFFD

团---=---

BCCD

DECDFD

0-------=--------w--------,故D不正确.

AFCFCD

故选:D.

【点睛】

本题考查平行线分线段成比例定理，三角形相似判定与性质，掌握平行线分线段成比例定理,

三角形相似判定与性质是解题关键.

【答案】D

【详解】

对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形.根据位似图形的概念，AB,C

中的两个图形都是位似图形；D中的两个图形对应顶点的连线不能相交于一点，不符合位似

图形的概念，故不是位似图形.

10.如图，在正方形4BCO中，点E在CO边上，点F在BE边上，且4尸=筋，过点F

作FGLBE交BC于点G,若CG=2,£>E=7,则正方形的边长为（)

C.12D.13

【答案】C

【详解】

如解图，过点A作于点K,交BC于点H,设=♦.•四边形A5CD是正方

形，

BC=CD=AB=m,AABH=ZC=90°.

•;CG=2,DE=7,：.CE^m-1,BG=m-2.FG1BE,：.ZBFG=90°.

:AF=AB,AK1BE,BK=FK,即BF=2BK，

BHBK1

/BKH=9Q°=NBFG.:.^BKH^^BFG.——=—=一，即

BGBF2

BH=-BG=-(m-2).ZABK+ZBAH=ZABK+ZCBE=90°,

22

NBAH=4CBE,

ABAH=Z.CBE.在AABH和ABCE中，＜AB=BC,

NABH=NBCE.

：.BH=CE.Tm-,解得加=12.

2

11.如图，点P（9,6）在△ABC的边AC上，以原点。为位似中心，在第一象限内将AABC

则点P在A'C上的对应点p的坐标为（）

C.(4,3)D.(2,3)

【答案】A

【详解】

由题意得点P在AC上的对应点P'的坐标为（3,2）.

CLhC

12.已知a,》,c为AABC的三边，且——=——=——=k,则k的值为（）

b+ca+ca+b

A.1B.'•或1C.—D.1或-2

22

【答案】B

【详解】

略

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

k_

13.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(k<0,x<0)的图象经过A、P两点,

x

其中P为AB的中点，8点在x轴上，若豳。8的面积是9,则k的值为.

【答案】-6

【分析】

过点A作AC0X轴，垂足为C,点P作PD取轴，垂足为D,连接P。，根据k的几何意义，

确定8D=DC=0C,根据凶。8的面积是9,计算4>C。的值，根据图像的分布确定k值即可;

【详解】

过点A作ACHx轴，垂足为C,点P作PD取轴，垂足为。，连接P0,

X

回SNOC=S/XPOD，

轴，PDlilx轴,

EJPDMC,

附P二P8,

0BD=DC,

1

0PD=—AC,

2

团一ACxCO二一PDxDO,

22

111

团一4>C0=—x—47(zDC+CO),

222

团。c=CO,

0BD=DC=OC,

的4。8的面积是9,

11

0—ACxBO=—ACx3CO=9，

22

04CxCO=6,

0|k|=6,

回图像的分布在第二象限，

0k=-6,

故答案为：-6.

【点睛】

本题考查了反比例函数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，熟练

掌握反比例函数k的几何意义，灵活运用三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理是解

题的关键.

14.如图，在菱形ABCD中，AC,BD相交于点。，。。=2,将8c绕点8逆时针旋转得到BE,

交CD于点F,且使得DE13BD.若AC=4DE,则CF=—.

【分析】

首先根据题目已知条件理清各边之间的关系，根据勾股定理求出DE,AC的长，再根据勾股定

理求出菱形边长，利用相似：WBWDBE^A\OF^]^Z,再利用相似用0cMF得出CF的

长.

【详解】

设DE的长为X,

^AC=4DEf

蜘C=4x,

回四边形ABCD为菱形，

EWO=；AC=2X,AC08D,

H04OD为直角三角形，

团AD=办。2+002="%2+4,

团8c二皿

酗>J4f+4,

0DEI2BD,

03D8E为直角三角形，

此£=y/BD2+DE2=次+f=716+x2>

乂EIBE=8C,

0A/16+X2=\)4X2+4>

解得X=2,

0D£=2,AC=8,AO=OC=4,BC=DC=26，

设8E与AC交点为M,

SDEZDB,AC0D8,

0DEELAC,即DESOM,

团。为D8中点，

OMOB1

团----=---=一

DEDB2

0OM=1Z

又12004,

^\MC=0C-0M=3,

DEDF2

0--=--=—,

MCFC3

0CF=-DC=-?2^述，

555

故填:w

【点睛】

本题考查菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，相似，解题本题的关键是利用勾股定理求出

边长，再根据平行得出两组相似三角形.

15.如图，在边长为2的菱形A8CD中，蜘=60。，点E在AD上（不与A、。重合），连接

BE,CE,CE交BD于点F.当AE=DF时，则AE=.

【答案】3-V5

【分析】

DEDF

通过证明团DE用（3BCF,可得——=——，即可求解.

BCBF

【详解】

证明：团四边形A8CO是菱形，04=60°,

加嗡8C,团8c。=励=60°,AB=AD=CD=BC.

0048D和团C8。都是等边三角形.

^AD=BD=BC=2.

ME=DF,

aDE二BF.

^DE^BCF.

DEDF

团----=-----.

BCBF

设AE=DF=X9贝ljDE=BF=2-x.

2-XX

团—=-----.

22-x

2

整理得，X-6X+4=0.

解得，石=3—6，9=3+石.

03+V5>2-不合题意，舍去，

EME=3-V5.

故答案为：3-V5

【点睛】

本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方

程的解法等知识点，正确的找到相似三角形,建立已知量和未知量的等量关系是解题的关键.

16.如图，在△ABC中，。是8c的中点，以点。为位似中心，作AABC的位似图形

△DEF.若点A的对应点。是AABC的重心，则△ABC与.DEF的位似比为.

【答案】3:1

【分析】

结合题意，根据三角形重心的性质，得AD=2OD；再根据位似的性质，得

△ODFs^OAC,通过相似比计算，即可得到答案.

【详解】

13点。是AABC的重心，。是6c的中点

团4)=20。

回。是的中点，以点。为位似中心，作AA5c的位似图形△。所

团△ODRs/XOAC

ACOAOD+AD3

F51_______—_______—_________________——

DF~OD~OD~1

故答案为：3:1.

【点睛】

本题考查了位似、三角形重心、相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形重心、位

似和相似三角形的性质，从而完成求解.

AB

17.如图，以点。为位似中心，将E10AB放大后得到I30CD,04=3,AC=7,则一•=.

CD-

【答案】本3

【分析】

利用位似的性质求解.

【详解】

解：•••点。为位似中心，AQ43放大后得到A0CD，

.ABOA33

"CD-OC_3+7-10'

3

故答案为布.

【点睛】

本题考查了位似变换：位似的两个图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边

平行（或共线）.

18.如图，点A是边长为2的正方形DEFG的中心，在AABC中，ZABC=90°，A3=2,

BC=4,OG//BC,点P为正方形边上的一动点，在的右侧作NP5H=90°且

BH=2PB,则A”的最大值为.

E

【答案】2万

【分析】

连接BD,连接BG并延长到。，且使GD'=8G,易得4DPB〜4DHB，由此可得当

点P在DG上运动时，点”在过点。'且垂直于8c的线段D'G'上运动，且。G'=-4,仿

此，可得点”在以点C为中心的边长为4的正方形上运动，可得当点P与点F重合时，AH

取得最大值，在RtSAE'E'中，利用勾股定理即可求得A”的长.

【详解】

如图，当点P在线段0G上时，连接BD,连接BG并延长到。'，且使GD'=BG

0BO3DG,EWeC=90"

EMB0DG

回四边形DEFG是正方形，且A为正方形的中心，AB=DG=2

EMB、DG相互垂直平分

OBO=BG,回。BG=90°

@BD=2BD

EI8H=2PB

BD'BH、

0——=——=2

BDPB

00DBG=0PBH=9O-

0NDBP=〃JBH

Se/\DRP~/\D'RH

0/BDG=/BD'H,D'H=2DP

a3BDG=IZ]BGD=45°,I3DGF=9O°

酿FGD'=45°,ZBDG=NBD'H=45。

0FG0DH

I3DG0FG

0DG0D'H

故当点P在边OG上运动时，点H则在线段。'G'上运动，且。'G'=2DG=4

由此可得，当点P在四边形DEFG上运动时，点”在以C为中心的正方形DE/'G'上运动,

且其边长为4

当点P与点F重合，点”与点尸重合时，AH最长，此时连接A。'，则47=2

回AE'=47+OE=6

在户'中，由勾股定理得：AH=AF'-yjAE'2+E'F'2=762+42=2713

故答案为：2屈

【点睛】

本题是动点问题，求线段的最大值，它考查了正方形的性质，三角形相似的判定与性质，勾

股定理等知识，关键和难点是确定动点H的运动路径.

三'解答题(本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)

19.有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放.每

本书的厚度为4cm,高度为20cm.

(1)找出图中的相似三角形，并证明.

(2)当CD=16cm时，求书架的宽BF.

【答案】(1)I2CDEEBEFG,证明见解析；(2)—cm

【分析】

(1)根据同角的余角相等EICEDWEGF,EICDE=EIEFG=90"可得回CDEE0EFG；

(2)由题意可知EG=4cm,CE=20cm,CD=16cm,根据勾股定理求出DE的长，根据相似三

角形的性质可得EF的长，由BF=BD+DE+EF即可求解.

【详解】

解：⑴ACDEsgFG.

证明：NCDE=NEFG=NCEG=90°,

NCED+NGEF=90°,ZEGF+Z.GEF=90°,

:.Z.CED=ZEGF,

•.•ZCDE=ZEFG=90°,

:.XCDEs.FG:

(2)由题意可知EG=4<7w,CE=20cm.CD—I6cm.

QNCDE=90。，

DE=^CE--CD-=12(cm),

•:NCDE》庄FG,

.EFEG

"ZB一在‘

,EF4

•--=--，

1620

•尸*3

••匕r—，

5

,/BD=4x4=16(cvn),

BF=BD-^DE+EF=16+12+—=—(cm),

55

答：书架的宽B尸为飞-cm.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的理解题意，认真识别图形是解题的关

键.

20.如图1是一张矩形纸片，点E在边A8上，把ABCE沿着直线CE对折，点B恰好落在

对角线AC上的点F处.如图2,连结。F,若点E,F,。在同一直线上.

(1)请写出图中与边DC相等的线段并说明理由.

(2)若AE=2，求EF的长.

(3)如图3,延长EF交边AD于点G,若。G：AG=〃，且AE=2，求BE的长(请用含

"的代数式来表示)

【答案】(1)DC=AB=DE,见解析；(2)EF=#-1；(3)>/n2+6n+5-(n+1)

【分析】

(1)利用矩形的性质和轴对称的性质即可找到与OC相等的线段；

(2)设EF=E8=x,则CD=DE=x+2,通过△AEf's^CDR,利用“相似三角形的对应边成比

例”将已知量和未知量:建立联系，从而求得讦的长；

(3)借助于(1)、(2)两题的经验和方法，同样将已知与未知通过AOUGSAAEG与

△AEFs"HF建立联系,解决求BE的长度的问题.

【详解】

(1)答：DC=AB=DE.理由如下：

团四边形A8CD是矩形，

BDC=AB,DC^AB.

国NDCE=NCEB.

国将.BCE沿CE翻折得到/\FCE,

⑦NCEF=NCEB.

也NDCE=NCEF.

团DC=DE.

0DC=AB=DE.

（2）0DC-DE-AB,

0DC=DF+EF=AE+BE，

由折叠知8£=所，

0AE=£>F=2.

团。皿8,

团/\AEF^Z\CDF，

AEEF

回------.

CDDF

设EF=EB=x,则CD=DE=x+2.

整理得，X2+2X-4^0

解得，玉=石—1,X2=-A/5-1（不合题意，舍去）.

回族=逐-1.

（3）如图3,延长EG,CD交于点H.

OHCELAB,

0/HCE=NCEB.

回将ABCE沿CE翻折得到丛FCE，

国NCEH=NCEB.

BZHCE^ZCEH.

0HC=HE.

0DHELAE,

0△Z）//G0°z^4£G.

0DH=tiAE=2n.

设BE二FE=x,则CD=AB=x+2.

⑦HE=HC=DH+DC=2n+x+2.

HF=HF-EF=2n+x+2-x=2n+2.

EL4E0CH,

田△AEFs«HF.

AEEF

团---=----.

CHHF

2x

0------------=--------.

2n+x+2In+2

整理得，x?+2(〃+l)x—4(〃+1)=0.

22

解得，x,=y/n+6n+5-(n+1),x2=-yjn+6n+5—(n+1)(不合题意，舍去).

⑦BE=x=J/+6〃+5-+1).

【点睛】

本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质、一

元二次方程的解法等知识点，熟知相关图形的判定或性质是解题的基础，将已知量和未知量

通过相似三角形的性质建立联系是解题的关键.

21.如图，在AA5c中，AB=AC,N8AC=a,M为的中点，点。在上，以点

A为中心，将线段顺时针旋转a得到线段AE，连接BE,DE.

(1)比较NBAE与NC4D的大小；用等式表示线段BE,之间的数量关系，并证

明；

(2)过点M作AB的垂线，交QE于点N,用等式表示线段NE与的数量关系，并

证明.

【答案】(1)ZBAE=ZCAD.BM=BE+MD，理由见详解；(2)DN=EN，理

由见详解.

【分析】

(1)由题意及旋转的性质易得N84C=NE4O=a,AE^AD-然后可证

进而问题可求解；

(2)过点£作EHM8,垂足为点Q,交A8于点H,由(1)可得NACD,BE=CD,

易证BH=BE=CD,进而可得=然后可得ADMNS^DHE,最后根据相似

三角形的性质可求证.

【详解】

(1)证明：EZBAC^ZEAD^a，

SlZBAE+ZBAD=ZBAD+ZCAD=a!,

SZBAE=ZCAD.

由旋转的性质可得AE=AD^

0AB—AC>

^^ABE^ACD(SAS),

0BE=CD,

13点M为BC的中点，

0BM-CM,

&CM=MD+CD=MD+BE,

0BM-BE+MD:

(2)证明：DN=EN,理由如下：

过点E作EH048,垂足为点Q,交AB于点H,如图所示:

⑦NEQB=NHQB=90。,

由(1)可得△ABE/AC。，

SZABE=ZACD,BE=CD,

0AB=AC,

0ZABC=ZC=ZABE,

SBQ=BQ,

Q^BQE^BQH(ASA),

0BH=BE=CD,

0MB-MC.

0HM=DM，

团MNLA5,

MNIIEH,

ElADMNSADHE.

DMDN1_

0---------

DHDE2

SDN=EN.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋

转的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性

质、旋转的性质是解题的关键.

EB1

22.矩形ABCO中，E是BC上一点，—连结AE,作AE的中垂线FG交A8,CD于

AB2

点F,G,交AE于点H.

(1)若AB=BC,求证：AE=FG.

cS1

(2)若AB=3C,记△A”「的面积为S,矩形ABC。面积为$2,求广的值.

~DG1-

(3)石—，<KLrJ值.

CG5AB

D,\G___________C

■

A6B

【答案】(1)证明见解析；(2)—；(3)—

6412

【分析】

(1)根据AA5证明△GKF学AABE即可得到结论：

(2)连结EF,设EB=a,AB=2a,EF—x>则EF=,AF-x.EB=2a-x.根据勾

股定理求得x=3,再计算三角形的面积即可得到结论；

(3)过G点作GHJ_AB于点R,连结EF,设。G=Z,(CG=5k,则AB=£>C=6左，

EB=3k，再设AE=EF=x，由勾股定理可得％=”攵再证明尸S/XABE,根

4

据相似三角形的性质可得结论.

【详解】

(1)如图1,过G作G®8于点K

K

图1

团AB=BC,

回矩形ABC。是正方形、

ZGKF=ZABE=90°,GK=AB,

H3E4H=E1BAE,04HF=0S=90o

⑦NGFK=ZAEB,

回ZXGKF也△ABE,

0AE=FG.

(2)如图2,连结EF,

设EB=a,AB=2a,EF=x,则石厂二人尸二刀,FB=2a-x.

在RtAEFB中，有EF2=FB2+EB2-

0x2=(2a-x\+a2,

化简得x=*a.

4

222

团E=^SAAEF=^-x^x^axa=^-a,S2=(2a)=4a.

ZZZ4lo

回EL武，5.

S2-4a2-64

(3)如图3,G在CD上.过G点作GRJ_A5尸点R,连结EF,

DGI

0——=一,汲DG=k,CG=5k,则AB=0C=6左，EB=3k,再设==

CG5

FB=6k—x,

在Rt/\EFB中，有EF2=FB?+EB2-

0%2=（6A:-X）2+（3A:）2.

化简得:

RF=AF-AR=AF-DG=x-k=—k-k=—k.

44

又®NGRF=NABE=90°，ZGFR=ZAEB,

0/\GRF^ZXABE,

GRAB

0---=----.

RFBE

GR=211

011,即GR=—G,.

772

与

BCB_2_11

~AB~~6k~n

【点睛】

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角

形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形

相似是解题的关键.

23.己知：如图，在四边形A8Q9中，E是边A3的中点，连接耳），EC.将AADE沿直

线ED折叠，将ABCE沿直线EC折叠，点48同时落在CD边上点F处.延长AO,EF相

交于点G,连接GC.

BC

(1)填空：直线AD与直线的位置关系是；

(2)若4=90°,AB=12,求的值；

(3)在(2)的条件下，若△CFG与△EFD相似，求AO的长.

【答案】(1)平行；(2)36；(3)20或3亚

【分析】

(1)由折叠的性质得S4DEEBFDE,团BCH33FCE,根据全等三角形的性质可得M=(3OFE,0B

=0fFC,由平角的定义可得出凶+回8=180°,即可得出AD回8C；

(2)由折叠的性质得附ED=EIDEF,QBEC^FEC,由平角的定义可得出EL4ED+08EC=90°,根

据如1=90。可得a4ED+EMOE=9(r,则04DE=EI8EC,由8c得EL4=®8=90。，可得E1ADE008EC,

根据相似三角形的性质即可得出结论；

(3)分两种情形：①回CFGEEEFD,^CFG^EEFD,0ADE00FDE,0BCE00FCf,由(2)求得的

B4DE0I38EC可得EICFCEHCFE,根据相似三角形的性质得自CEF=I3CGF,0£CF=0GCF,等角对等

边得CE=CG,根据等腰三角形的性质可得CDI3EG,EF=GF,由线段中垂线的性质得DE=DG,

则EIDGF=囱DEF,可得回DGF+I3CGF=E1DEG+I3C£F=9O。，可得出四边形A8CG是矩形，则CG=

48=12,可得CE=12,根据勾股定理可求出BC的值，利用(2)的结果即可求

解.(2)SCFGWDFE,延长DE交CB的延长线于兀设AD=x,8C=y.构建方程组求解即可.

【详解】

解：(1)由折叠得：SADEEBFDE,SBCE^EFCE,

33A=^DFE,0B=0EFC,

EBDFE+EIEFC=180°,

004+06=180°,

SAD回8C,

即直