高考数学二轮复习 第二部分 （六） 18、19、20、21（含解析）试题

54分专项练(六)18、19、20、211．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且eq\f(（a2＋c2－b2）·sinA,sinC)＝ac.(1)若C＝eq\f(5π,6)，c＝3，求a；(2)若4S△ABC＋c2＝2a2，求B的大小．2．已知等比数列{an}是递减数列，a1a4＝3，a2＋a3＝4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2n－2an＋1＋n，求数列{bn}的前n项和Tn.3．如图，在四棱台ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1＝A1B1＝eq\f(1,2)AB＝1，∠ABC＝60°，AA1⊥平面ABCD.(1)若点M是AD的中点，求证：C1M∥平面AA1B1B；(2)棱BC上是否存在一点E，使得二面角E­AD1­D的余弦值为eq\f(1,3)？若存在，求线段CE的长；若不存在，请说明理由．4．法国数学家亨利·庞加莱(JulesHenriPoincar)是个每天都会吃面包的人，他经常光顾同一家面包店，面包师声称卖给庞加莱的面包平均重量是1000g，上下浮动50g．在庞加莱眼中，这用数学语言来表达就是：面包的重量服从期望为1000g，标准差为50g的正态分布．(1)假如面包师没有撒谎，现庞加莱从该面包店任意买2个面包，求其质量均不少于1000g的概率；(2)出于兴趣或一个偶然的念头，庞加莱每天将买来的面包称重并记录，得到25个面包质量(X)的数据(单位：g)如下：983972966992101010089549529699689981001100695795096997197595295998710111000997961设从这25个面包中任取2个，其质量不少于1000g的面包数记为η，求η的分布列和E(η)；(3)庞加莱计算出这25个面包质量(X)的平均值eq\o(X,\s\up6(－))＝978.72g，标准差是20.16g，认定面包师在制作过程中偷工减料，并果断举报给质检部门，质检员对面包师做了处罚，面包师也承认自己的错误，并同意做出改正．庞加莱在接下来的一段时间里每天都去这家面包店买面包，他又认真记录了25个面包的质量，并算得它们的平均值为1002.6g，标准差是5.08g，于是庞加莱又一次将面包师举报了．请你根据两次平均值和标准差的计算结果及其统计学意义，说说庞加莱又一次举报的理由．54分专项练(六)18、19、20、211．解：(1)由eq\f(（a2＋c2－b2）·sinA,sinC)＝ac及正弦定理，可得eq\f(（a2＋c2－b2）a,c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝c2，故a2＝b2，即a＝b，故A＝B＝eq\f(π,12).由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得a＝eq\f(c·sinA,sinC)＝eq\f(3×\f(\r(6)－\r(2),4),\f(1,2))＝eq\f(3\r(6)－3\r(2),2).(2)因为4S△ABC＋c2＝2a2，所以2absinC＋c2＝2a2，由余弦定理得2absinC＋a2＋b2－2abcosC＝2a2.由(1)知a＝b，故sinC＝cosC，即tanC＝1，故C＝eq\f(π,4).又a＝b，故B＝A＝eq\f(3π,8).2．解：(1)设等比数列{an}的公比为q，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1a4＝a2a3＝3，,a2＋a3＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,a3＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝3，,a3＝1，))所以q＝3或eq\f(1,3)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1,3)，,q＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝9，,q＝\f(1,3).))又因为数列{an}是递减数列，所以a1＝9，q＝eq\f(1,3).故数列{an}的通项公式为an＝33－n.(2)由(1)得bn＝2n－2×32－n＋n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n－2)＋n，故Tn＝eq\f(\f(3,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(n))),1－\f(2,3))＋eq\f(n（n＋1）,2)＝eq\f(9,2)－eq\f(9,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)＋eq\f(n＋n2,2).3．解：(1)证明：连接B1A，由已知得B1C1∥BC∥AD，且B1C1＝AM＝eq\f(1,2)BC，所以四边形AB1C1M是平行四边形，所以C1M∥B1A.又因为C1M⊄平面AA1B1B，B1A⊂平面AA1B1B，所以C1M∥平面AA1B1B.(2)取BC中点Q，连接AQ，AC.因为ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，所以△ABC是正三角形，所以AQ⊥BC，即AQ⊥AD.又由于AA1⊥平面ABCD，所以以A为原点，AQ，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A­xyz，如图所示．则A(0，0，0)，A1(0，0，1)，D1(0，1，1)，Q(eq\r(3)，0，0)．假设点E存在，设点E的坐标为(eq\r(3)，λ，0)，－1≤λ≤1.所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，λ，0)，eq\o(AD,\s\up6(→))1＝(0，1，1)．设平面AD1E的法向量n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AE,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AD,\s\up6(→))1＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋λy＝0，,y＋z＝0，))可取n＝(λ，－eq\r(3)，eq\r(3))．易知平面ADD1的法向量为eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，0，0)，所以|cos〈eq\o(AQ,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(\r(3)|λ|,\r(3)\r(λ2＋6))＝eq\f(1,3)，解得λ＝±eq\f(\r(3),2).又由于二面角E­AD1­D为锐角，由图可知，点E在线段QC上，所以λ＝eq\f(\r(3),2)，即CE＝1－eq\f(\r(3),2).4．解：(1)由已知可得庞加莱从该面包店购买任意一个面包，其质量不少于1000g的概率为eq\f(1,2)，设庞加莱从该面包店购买2个面包，其质量不少于1000g的面包数为ξ，由已知可得ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，故P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4).(2)25个面包中，质量不少于1000g的有6个，则η的可能取值为0，1，2，P(η＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,19),Ceq\o\al(2,25))＝eq\f(171,300)＝eq\f(57,100)；P(η＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,19),Ceq\o\al(2,25))＝eq\f(114,300)＝eq\f(19,50)；P(η＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,25))＝eq\f(15,300)＝eq\f(1,20)，所以η的分布列为η012Peq\f(57,100)eq\f(19,50)eq\f(1,20)所以E(η)＝0×eq\f(57,100)＋1×eq\f(19,50)＋2×eq\f(1,20)＝0.48.(3)庞加莱经过仔细思考，认为标准差代表了面包重量的误差，可以理解成面包师手