高考数学二轮复习简易通 1-3 导数及其应用 理科

第三辑导数及其应用[通关演练](建议用时：40分钟)1．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(x))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为()．A．4B．－eq\f(1,4)C．2D．－eq\f(1,2)解析依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，g′(1)＝2，则f′(1)＝2＋2＝4.答案A2．直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b的值为()．A．－3B．9C．－15D．－7解析把点(2,3)代入y＝kx＋b与y＝x3＋ax＋1得：a＝－3,2k＋b＝3，又k＝y′|x＝2＝(3x2－3)|x＝2＝9，∴b＝3－2k＝3－18＝－15.答案C3．设函数f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx，则()．A．x＝eq\f(1,2)为f(x)的极大值点B．x＝eq\f(1,2)为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点解析∵f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx(x>0)，∴f′(x)＝－eq\f(2,x2)＋eq\f(1,x)，由f′(x)＝0解得x＝2.当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．x＝2为f(x)的极小值点．答案D4．如图，由曲线y＝x2和直线y＝t2(0<t<1)，x＝1，x＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是()．A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．2解析设图中阴影部分的面积为S(t),则S(t)＝(t2－x2)dx＋(x2－t2)dx＝eq\f(4,3)t3－t2＋eq\f(1,3)，由S′(t)＝2t(2t－1)＝0，得t＝eq\f(1,2)为S(t)在区间(0,1)上的最小值点，此时S(t)min＝Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,4).答案A5．设曲线y＝sinx上任一点(x，y)处切线斜率为g(x)，则函数y＝x2g(x()．解析y′＝cosx，即g(x)＝cosx，所以y＝x2g(x)＝x2cosx为偶函数，图象关于y轴对称，所以排除A，B.由y＝x2cosx＝0，得x＝0或x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，即函数图象过原点，所以选C.答案C6．若y＝f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y＝f′(x)()．A．既是周期函数，又是奇函数B．既是周期函数，又是偶函数C．不是周期函数，但是奇函数D．不是周期函数，但是偶函数解析因为y＝f(x)是周期函数，则有f(x＋T)＝f(x)，两边同时求导，得f′(x＋T)(x＋T)′＝f′(x)，即f′(x＋T)＝f′(x)，所以导函数为周期函数．因为y＝f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，两边求导得f′(－x)(－x)′＝－f′(x)，即－f′(－x)＝－f′(x)，所以f′(－x)＝f′(x)，即导函数为偶函数．答案B7．设a＝eq\f(1,x)dx，b＝eq\f(1,x)dx，c＝eq\f(1,x)dx，则下列关系式成立的是()．A.eq\f(a,2)<eq\f(b,3)<eq\f(c,5) B.eq\f(b,3)<eq\f(a,2)<eq\f(c,5)C.eq\f(c,5)<eq\f(a,2)<eq\f(b,3) D.eq\f(a,2)<eq\f(c,5)<eq\f(b,3)解析a＝eq\f(1,x)dx＝lnx|eq\o\al(2,1)＝ln2，b＝eq\f(1,x)dx＝lnx|eq\o\al(3,1)＝ln3，c＝eq\f(1,x)dx＝lnx|eq\o\al(5,1)＝ln5，所以eq\f(a,2)＝eq\f(ln2,2)＝lneq\r(2)，eq\f(b,3)＝eq\f(ln3,3)＝lneq\r(3,3)，eq\f(c,5)＝eq\f(ln5,5)＝lneq\r(5,5).因为(eq\r(2))6＝23＝8，(eq\r(3,3))6＝32＝9，所以eq\r(2)<eq\r(3,3)，(eq\r(2))10＝25＝32，(eq\r(5,5))10＝52＝25，所以eq\r(5,5)<eq\r(2)，即eq\r(5,5)<eq\r(2)<eq\r(3,3)，所以eq\f(c,5)<eq\f(a,2)<eq\f(b,3).答案C8．定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，已知f(x＋1)是偶函数，且(x－1)f′(x)<0.若x1<x2，且x1＋x2>2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()．A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)＝f(x2)C．f(x1)>f(x2) D．不确定解析由(x－1)f′(x)<0可知，当x>1时，f′(x)<0，函数递减．当x<1时，f′(x)>0，函数递增；因为函数f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)，f(x)＝f(2－x)，即函数的对称轴为x＝1.所以若1<x1<x2，则f(x1)>f(x2)．若x1<1，则x2>2－x1>1，此时由f(x2)<f(2－x1)，即f(x2)<f(2－x1)＝f(x1)，综上f(x1)>f(x2)答案C9．已知函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，且当x∈(－∞，0)，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝(20.2)·f(20.2)，b＝(ln2)·f(ln2)，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log

\f(1,4)))·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log

\f(1,4)))，则a，b，c的大小关系是()．A．a>b>c B．b>a>cC．c>a>b D．a>c>b解析因为函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则y＝f(x)关于y轴对称，所以函数y＝xf(x)为奇函数．又因为[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)，所以当x∈(－∞，0)时，[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)<0，函数y＝xf(x)单调递减；则当x∈(0，＋∞)时，函数y＝xf(x)单调递减．因为1<20.2<2,0<ln2<1，logeq\f(1,4)＝2，所以0<ln2<20.2<logeq\f(1,4)，所以b>a>c.答案B10．设函数f(x)＝x3－4x＋a(0<a<2)有三个零点x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则下列结论正确的是()．A．x1>－1 B．x2<0C．x3>2 D．0<x2<1解析∵函数f(x)＝x3－4x＋a(0<a<2)，∴f′(x)＝3x2－4，令f′(x)＝0，解得x＝±eq\f(2\r(3),3).∵在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2\r(3),3)))上，f′(x)>0；在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))上，f′(x)<0；在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞))上f′(x)>0.故函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2\r(3),3)))上是增函数；在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))上是减函数；在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞))上是增函数．故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)))是极大值，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))是极小值，再由f(x)的三个零点为x1，x2，x3，且x1<x2<x3，得x1<－eq\f(2\r(3),3)，－eq\f(2\r(3),3)<x2<eq\f(2\r(3),3)，x3>eq\f(2\r(3),3)，根据f(0)＝a>0，且f(1)＝a－3<0，得1>x2>0.答案D11．曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为_______．解析y′＝3lnx＋1＋x·eq\f(3,x)＝3lnx＋4，由导数的几何意义，k＝y′|x＝1＝4，∴切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.答案y＝4x－312．若(2x＋eq\f(1,x))dx＝3＋ln2(a>1)，则a的值是______．解析由(2x＋eq\f(1,x))dx＝(x2＋lnx)|eq\o\al(a,1)＝a2＋lna－1＝3＋ln2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1＝3，,lna＝ln2，))解得a＝2.答案213．设a>0，若曲线y＝eq\r(x)与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a，则a＝______.解析由定积分的几何意义，曲线y＝eq\r(x)与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积．S＝eq\r(x)dx＝eq\f(2,3)x|eq\o\al(a,1)＝eq\f(2,3)a，∴eq\f(2,3)a＝a，解得a＝eq\f(9,4).答案eq\f(9,4)14．函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是______．解析令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝eq\r(a)或－eq\r(a).f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：x(－∞，－eq\r(a))－eq\r(a)(－eq\r(a)，eq\r(a))eq\r(a)(eq\r(a)，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值从而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\r(a)3－3a－\r(a)＋b＝6，,\r(a)3－3a\r(a)＋b＝2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝4，))所以f(x)的单调递减区间是(－1,1)．答案(－1,1)15．已知函数f