高考数学 热点专题复习热点七 圆锥曲线 文科试题

热点七圆锥曲线【考点精要】考点一.椭圆及其标准方程。椭圆的简单的几何性质，椭圆的参数方程的应用。双曲线及其标准方程，抛物线的简单的几何性质及其标准方程。如：设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为()A. B. C. D.考点二.直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线的交点（向量的数量积）、截取的线段。如：已知椭圆的右焦点为F,右准线，点，线段AF交C于点B。若,则=()A. B.2 C. D.3考点三.圆锥曲线的离心率。一般考查两个方面：一是求离心率的值，另一个是根据题目条件求离心率的范围问题。求解时或根据题意巧设参数，或利用直线与圆锥曲线的交点得到不等量关系进而求出离心率的范围。如：已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是.考点四.圆锥曲线的轨迹方程。借助代数、几何、平面向量等求圆锥曲线的轨迹方程问题，一般运用代入法、交规法，参数法、设而不求法等。如：已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若为的中点，则抛物线C的方程为。考点五.圆锥曲线的最值。以圆锥曲线知识为依托，注重考查对称问题、最值问题、存在性问题等，这类问题入手点难，运算量大，题目往往涉及的知识多，层次复杂，多以大题出现。巧点秒拨1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解，或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2.当直线与圆锥曲线相交时，涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.3.求圆锥曲线中的最值问题解决方法一般有两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来做非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用均值不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值。【典题对应】例1.（2014·山东文15）已知双曲线的焦距为，右顶点为A，抛物线的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为。命题意图：考查抛物线的标准方程，双曲线的标准方程、渐近线方程。解析：抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为即代入双曲线方程为∴渐近线方程为答案：1.例2.（2014·山东文21）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.（Ｉ）求椭圆的方程；（II）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）.点D在椭圆C上，且，直线BD与轴、轴分别交于M，N两点.（i）设直线BD，AM的斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；（ii）求面积的最大值.命题意图：本题考查椭圆的定义，离心率，弦长，最值。解析：（Ⅰ）∵∴∴.（=2\*ROMANII）（i）设直线与椭圆交于p,q两点.不妨设p点为直线和椭圆在第一象限的交点.又∵弦长为∴∴联立解得∴椭圆方程为（Ⅱ）（1）设，则，因为直线的斜率，又，所以直线的斜率，设直线的方程为，由题意知，，由，可得，所以因此，由题意知所以所以直线的方程为令，得，即。可得。所以，即。因此存在常数使得结论成立。（2）直线的方程为，令，得，即由（1）知，可得的面积。因为，当且仅当时等号成立。此时取得最大值。名师坐堂：求三角形的面积有多种方法，主要公式有：（1）;(2)；（3）；（4）；（5）。求解最值时要么转化成含有一个未知数的函数，要么利用均值不等式，要么利用单调性，要么利用整体代换。例3.（2013·山东文11）抛物线C1：y＝(p＞0)的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()A.B.C.D.命题意图：本题主要考查抛物线与双曲线的相关性质，掌握切线、渐近线等的求法，考证学生综合分析问题解决问题的能力。解析：设M，，故M点切线的斜率为，故M.由，，(2,0)三点共线，可求得p＝，故选D.名师坐堂：应掌握的相关知识：1.已知双曲线的渐近线为，在求该双曲线方程时为避免对焦点的讨论，可设方程为求解；2.若双曲线的方程为，即焦点在轴上，若直线与椭圆相交，被椭圆所截得弦为，其中点设为，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之积为常数，即；3.若双曲线的方程为，即焦点在轴上，若直线与椭圆相交，被椭圆所截得弦为，其中点设为，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之积为常数，即例4.（2013·山东文22)在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.设，求实数t的值.命题意图：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆中的线段、三角形的面积、共线向量等知识。考查学生综合分析问题解决问题的能力。解析：(1)设椭圆C的方程为(a＞b＞0)，由题意知解得a＝，b＝1.因此椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)当A，B两点关于x轴对称时，设直线AB的方程为x＝m，由题意＜m＜0或0＜m＜.将x＝m代入椭圆方程＋y2＝1，得|y|＝.所以S△AOB＝|m|.解得m2＝或m2＝.①又＝＝(2m,0)＝(mt,0)，因为P为椭圆C上一点，所以＝1.②由①②得t2＝4或t2＝.又因为t＞0，所以t＝2或t＝.当A，B两点关于x轴不对称时，设直线AB的方程为y＝kx＋h.将其代入椭圆的方程＋y2＝1，得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由判别式Δ＞0可得1＋2k2＞h2，此时x1＋x2＝，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2h＝，所以|AB|＝＝.因为点O到直线AB的距离d＝，所以S△AOB＝|AB|d＝＝.又S△AOB＝，所以.③令n＝1＋2k2，代入③整理得3n2－16h2n＋16h4＝0，解得n＝4h2或n＝，即1＋2k2＝4h2或1＋2k2＝.④又＝＝(x1＋x2，y1＋y2)＝，因为P为椭圆C上一点，所以，即.⑤将④代入⑤得t2＝4或t2＝，又知t＞0，故t＝2或t＝.经检验，适合题意.综上所得t＝2或t＝.名师坐堂：1.在椭圆中，如果一个三角形的两个顶点是焦点，另一个顶点在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则三角形的周长为定值等于，面积等于，其中是短半轴的长；2.如果已知椭圆或双曲线过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨论可以设其方程为或；3.在椭圆中离心率，在双曲线中离心率.例5.（2012·山东21）如图，椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设直线与椭圆有两个不同的交点与矩形有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时的值.命题意图：本题主要考查椭圆的基本概念和性质，考查直线与椭圆的位置关系，最值的求解，考查数形结合思想，分类讨论思想。解析：(I)……①矩形ABCD面积为8，即……②由①②解得：，∴椭圆M的标准方程是.(II)，设，则，由得..当过点时，，当过点时，.①当时，有，，其中，由此知当，即时，取得最大值.②由对称性，可知若，则当时，取得最大值.③当时，，，由此知，当时，取得最大值.综上可知，当和0时，取得最大值.名师坐堂：与椭圆有关的知识较多，如椭圆的第一、第二定义，点与椭圆的关系，焦半径，焦点三角形，焦点弦、弦长公式与中点弦，椭圆的参数方程等。求椭圆的标准方程，实质上就是求方程中的未知数，若不确定焦点在轴上还是在轴上，标准方程可设为。例6.（2010·山东文22）如图，已知椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为、.点为直线上且不在轴上的任意 一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、，为坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线、的斜线分别为、.①证明：；②问直线上是否存在点，使得直线、、、的斜率、、、满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由.命题意图：本题主要考查椭圆的基本概念和性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查数形结合思想，分类讨论思想以及探求解决新问题的能力。解析：（1）因为椭圆过点（），，所以又，所以故所求椭圆方程为.(2)①证明：方法一：由于，，，的斜率分别为、，且点P不在轴上，所以.又直线，的方程分别为，，联立方程组得所以，由于在直线上，所以，因此即结论成立.②:设联立直线与椭圆的方程得化简得,因此，由于OA,OB的斜率存在,所以因此相似地可以得到,若，须有.当时，结合（1）的结论可得，所以解得点P的坐标为（0,2）；当时，结合（1）的结论可得（此时，不满足，舍去），此时直线CD的方程为，联立方程得，因此点P的坐标为。综上所述，满足条件的点P的坐标分别为（0,2），.名师坐堂：(1)根据离心率和已知点构造含有的方程组，可求出椭圆的方程；（2）方法一：将点P的坐标用表示出来，再将点P的坐标代入直线进行化简；方法二：设出点P的坐标，再将用点P的坐标表示，并利用点P在直线上进行化简；利用韦达定理将用表示出来，将用表示出来，再由可得关于的方程，再联立结论（1）可求出，最终可求出点P的坐标.【命题趋向】解析几何是高中数学的重要内容，解析几何的特点是用代数的方法研究解决几何问题，重点是用“数形结合”的思想把几何问题转化为代数问题，这类试题涉及面广、综合性强、题目新颖、灵活多样，解题对能力要求较高.其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线.这类问题涉及面广、综合性强、背景新颖、灵活多样，求解此类问题对能力要求较高.在考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标指导下，每年的高考对解析几何的考查都占有较大的比例，且常考常新.题目特点：(1)题型稳定：近几年来高考解析几何试题一直稳定在三(或二)个选择题，一个填空题，一个解答题上，分值约为30分左右，占总分值的20%左右。(2)整体平衡，重点突出：对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既注意全面，更注意突出重点，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度。（3）直线与圆的方程，圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是支撑解析几何的基石，也是高考命题的基本元素.高考十分注重对这些基础知识的考查，有的是求圆锥曲线的标准方程；有的是直接考查圆锥曲线的离心率，在考查相应基础知识的同时，着重考查基本数学思想和方法，如分类讨论思想、数形结合思想.除此之外，要重视对考生思维能力和思维品质的考查。(4)能力立意，渗透数学思想：一些虽是常见的基本题型，但如果借助于数形结合的思想，就能快速准确的得到答案。(5)题型新颖，位置不定：近几年解析几何试题的难度有所下降，选择题、填空题均属易中等题，且解答题未必处于压轴题的位置，计算量减少，思考量增大。加大与相关知识的联系(如向量、函数、方程、不等式等)，凸现教材中研究性学习的能力要求。加大探索性题型的分量。纵观近几年新教材高考对解析几何内容的考查以下几点应该引起我们特别关注：1.求曲线方程(类型确定、类型未定);2.直线与圆锥曲线的交点问题(含切线问题);3.与曲线有关的最(极)值问题;4.与曲线有关的几何证明(对称性或求对称曲线、平行、垂直);5.探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征.【直击高考】1.已知双曲线（b＞0）的焦点，则b=()A.3 B. C. D.2.已知椭圆方程,双曲线的焦点是椭圆的顶点,顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为（） A. B. C.2 D.33.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为().A.18B.24C.36D.484.若点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则eq\o(OP,\s\up14(→))·eq\o(FP,\s\up14(→))的最大值().A.2 B.3C.6 D.85.已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=____________.6.已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为.7.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的图过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．8.已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．是上异于椭圆中心的点．（1）若（为坐标原点），当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；（2）若是与椭圆的交点，求的面积的最小值．9.如图，椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.(Ⅰ)求椭圆M的标准方程；(Ⅱ)设直线与椭圆M有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m的值.10.过抛物线上不同两点分别作抛物线的切线相交于点，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求证：直线恒过定点；（Ⅲ）设（Ⅱ）中直线恒过定点为，若恒成立，求的值.

热点七圆锥曲线【直击高考】1.解析：可得双曲线的准线为,又因为椭圆焦点为所以有.即b2=3故b=.故C.2.解析：椭圆的焦点为,顶点为,即双曲线中,所以双曲线的离心率为,选C.3.解析：设抛物线方程为y2＝2px，当x＝eq\f(p,2)时，y2＝p2，∴|y|＝p，∴p＝eq\f(|AB|,2)＝eq\f(12,2)＝6，又点P到AB的距离始终为6，∴S△ABP＝eq\f(1,2)×12×6＝36.选C.4.解析：由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x0，y0)，则eq\o(OP,\s\up14(→))·eq\o(FP,\s\up14(→))＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝xeq\o\al(2,0)＋x0＋yeq\o\al(2,0).∵P为椭圆上一点，∴eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),3)＝1.∴eq\o(OP,\s\up14(→))·eq\o(FP,\s\up14(→))＝xeq\o\al(2,0)＋x0＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0),4)))＝eq\f(x\o\al(2,0),4)＋x0＋3＝eq\f(1,4)(x0＋2)2＋2.∵－2≤x0≤2.∴eq\o(OP,\s\up14(→))·eq\o(FP,\s\up14(→))的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6.答案C5.解析：依题意，有，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。6.解析：答案解法1因为在中，由正弦定理得则由已知，得，即设点由焦点半径公式，得则记得由椭圆的几何性质知，整理得解得，故椭圆的离心率解法2由解析1知由椭圆的定义知，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1.（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得解得a=4,c=3,所以椭圆C的方程为（Ⅱ）设