创新应用考法-从宽度、深度、开放度上激活思维

创新应用考法——从宽度、深度、开放度上激活思维一、命题“宽度”上——注重横向多元拓展■关联点：函数＋数列1．已知等差数列{an}的首项与公差d均为正数，且lga1，lga3，lga6成等差数列，则lga1，lga3，lga6的公差为 (

)答案：C

■关联点：导数＋两直线位置关系＋抛物线2．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点E(2，0)，线段EF与抛物线C相交于点M，若抛物线C在点M处的切线与直线2x＋y＋2＝0垂直，则抛物线C的方程为

(

)A．x2＝3y B．x2＝12yC．x2＝9y D．x2＝6y答案：D

答案：ACD

解：(1)2个T结束后，ξ的取值可能为1,2,3,4，其中P(ξ＝1)＝p2，P(ξ＝2)＝p(1－p)＋(1－p)p2＝p－p3，E(ξ)＝1×p2＋2×(p－p3)＋3×2p(1－p)2＋4×(1－p)3＝p2－4p＋4.(2)①P2(n)表示分裂nT结束后共有2个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成2个X细胞．不妨设在第kT时分裂为2个X细胞，之后一直有2个X细胞，此事件概率P2，k＝pk－1×(1－p)×(p2)n－k＝(1－p)×p2n－1－k，②证明：P3(n)代表分裂nT后有3个细胞的概率，设细胞X在kT后分裂为2个新的X细胞，这两个X细胞在剩下的(n－k)T中，其中一个分裂为2个X细胞，一个保持一直分裂为1个X细胞，此事件的概率二、命题“深度”上——强化纵向高次延伸■延伸链：抽象函数→函数的奇偶性→单调性→分类讨论→解不等式1．若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x＋1)≥0的x的取值范围是

(

)A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]答案：B

解析：因为定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上也是单调递减，且f(－2)＝0，f(0)＝0，所以当x∈(－∞，－2)∪(0,2)时，f(x)＞0,当x∈(－2,0)∪■延伸链：函数的最值→函数的单调性→数形结合→切线的斜率2．已知函数f(x)＝ex＋ax2＋2ax在x∈(0，＋∞)上有最小值，则实数a的取值范围为

(

)答案：D

解析：因为f(x)＝ex＋ax2＋2ax，所以f′(x)＝ex＋2ax＋2a，若函数f(x)在x∈(0，＋∞)上有最小值，即f(x)在(0，＋∞)先递减再递增，即f′(x)在(0，＋∞)先小于0，再大于0，令f′(x)<0，得ex<－2a(x＋1)，令g(x)＝ex，h(x)＝－2a(x＋1)，只需h(x)的斜率－2a大于过(－1,0)的g(x)的切线的斜率即可，设切点是(x0，ex0)，则切线方程是y－ex0＝ex0(x－x0)，将(－1,0)代入切线方程得x0＝0，故切点答案：C

答案：D

解析：因为g(1＋2x)为偶函数，所以g(x＋1)＝g(1－x)，所以g′(x＋1)＝－g′(1－x)．令x＝0，则g′(1)＝0.因为f(x＋1)－g(x)＝4，所以f′(x＋1)＝g′(x)

①.所以f′(x＋2)＝g′(x＋1)②.又因为f′(x)＋g′(x＋1)＝0

③，由②③得f′(x)＋f′(x＋2)＝0

④，所以f′(x＋2)＋f′(x＋4)＝0，所以f′(x)＝f′(x＋4)．所以f′(x)的周期为4.又因为f′(x)＋g′(x＋1)＝0，所以g′(x)的周期为4.在①中令x＝1得f′(2)＝g′(1)＝0，在③中令x＝2得g′(3)＝－f′(2)＝0，在④中令x＝2得f′(4)＝－f′(2)＝0，所以f′(1)g′(1)＝f′(2)g′(2)＝f′(3)(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的极大值；(2)已知x1，x2∈(0，＋∞)，且满足f(x1)>g(x2)，求证：x1＋aex2>2a.所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故f(x)的极大值为f(1)＝－1.②若0<t1<1，设t3∈(1，＋∞)，且满足h(t3)＝h(t1)，如图所示，所以F(x)＝h(x)－h(2－x)在x∈(0,1)上单调递增．所以F(x)<F(1)＝0.所以F(t1)＝h(t1)－h(2－t1)<0，即h(t1)<h(2－t1)．又因为h(t3)＝h(t1)，所以h(t3)<h(2－t1)，t3,2－t1∈(1，＋∞)，所以t3>2－t1，即t3＋t1>2.又因为1<t3<t2，所以t1＋t2>2，即x1＋aex2>2a.由①②可知，x1＋aex2>2a得证．三、命题“开放度”上——探究多渠道解决问题■开放类型：条件开放，目标明确1．在①f′(ln3)＝2；②f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线斜率为0；③f(x)的单调递减区间为(0，ln2)，这三个条件中任选一个补充在下面的问题(1)中，并加以解答．(1)若________，求实数a的值；(2)若a∈R，讨论函数f(x)的单调性．解：(1)f′(x)＝e2x－(a＋2)ex＋2a＝(ex－2)(ex－a)．选条件①，则f′(ln3)＝(3－2)(3－a)＝2，∴a＝1.选条件②，则f′(0)＝(1－2)(1－a)＝0，∴a＝1.选条件③，则依题意0和ln2是f′(x)＝(ex－2)(ex－a)＝0的两个根，∴a＝1.(2)∵f′(x)＝e2x－(a＋2)ex＋2a＝(ex－2)(ex－a)，则可以分以下几种情况讨论：①当a≤0时，令f′(x)>0即x>ln2，令f′(x)<0即x<ln2.∴f(x)在(－∞，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增．②当0<a<2时，令f′(x)>0即x>ln2或x<lna，令f′(x)<0即lna<x<ln2.∴f(x)在(－∞，lna)，(ln2，＋∞)上单调递增，在(lna，ln2)上单调递减．③当a＝2时，f′(x)＝(ex－2)2≥0，∴f(x)在R上单调递增．④当a>2时，令f′(x)>0即x>lna或x<ln2，令f′(x)<0即ln2<x<lna，∴f(x)在(－∞，ln2)，(lna，＋∞)上单调递增，在(ln2，lna)上单调递减．综上所述，①当a≤0时，f(x)在(－∞，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增；②当0<a<2时，f(x)在(－∞，lna)，(ln2，＋∞)上单调递增，在(lna，l