小题基准考法(二)-概　率

小题基准考法(二)——概率12目录3命题点一古典概型命题点二相互独立事件、条件概率及全概率公式命题点三正态分布及其应用[真题导向]1．(2022·新课标Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为

(

)

命题点一古典概型答案：D

2．(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、

高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为

(

)答案：D

3．(2021·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为

(

)答案：C

4．(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．②所取的4个点为正方体同一个对角面上的4个顶点，如图2，也有6种取法．[素养评价]1．(2023·郑州二模)世界数学三大猜想：“费马猜想”“四色猜想”“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”.281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1＋2”由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为

(

)答案：B

解析：不超过17的质数有2,3,5,7,11,13,17，共7个，2．根据近五年的资料显示，某村庄月光照量X(小时)的统计数据(注：月光照量指的是当月的阳光照射总时长)以及在适合温度下，月光照量与草莓花芽分化的概率的关系，表格如下：X/小时[160,240)[240,320)[320,400)月份数271815草莓花芽分化的概率0.900.950.80该村庄现有一批草莓，根据上表，试估计在适合温度下，草莓花芽分化的概率为

(

)A．0.85 B．0.89C．0.91 D．0.95答案：B

3．(2023·南京调研)袋子中有大小相同的5个白球和5个红球，从中任取3个球，已知3个球中有白球，则恰好拿到2个红球的概率为(

)答案：A

4．将甲、乙等5名志愿者分配到4个社区做防诈骗宣传，要求每名志愿者去一个社区，每个社区至少去一名志愿者，则甲、乙二人去不同社区的概率为

(

)答案：C

[一站补给]知识的“盲点”古典概型中分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件的个数思想的“高点”直接求解有困难时，可考虑对立事件的概率，注意正难则反即转化思想的应用[真题导向]1．(2022·全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则(

)A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大命题点二相互独立事件、条件概率及全概率公式答案：D

解析：设棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为P甲，在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为P乙，在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为P丙，由题意可知，P甲＝2p1[p2(1－p3)＋p3(1－p2)]＝2p1p2＋2p1p3－4p1p2p3，P乙＝2p2[p1(1－p3)＋p3(1－p1)]＝2p1p2＋2p2p3－4p1p2p3，P丙＝2p3[p1(1－p2)＋p2(1－p1)]＝2p1p3＋2p2p3－4p1p2p3.所以P丙－P甲＝2p2(p3－p1)>0，P丙－P乙＝2p1(p3－p2)>0，所以P丙最大，故选D.2．(2023·新课标Ⅱ卷)[多选]在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0＜α＜1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0＜β＜1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1，则译码为1) (

)A．采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为(1－α)(1－β)2B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为β(1－β)2C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3D．当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率答案：ABD

解析：由题意，发0收1的概率为α，发0收0的概率为1－α；发1收0的概率为β，发1收1的概率为1－β.对于A，发1收1的概率为1－β，发0收0的概率为1－α，发1收1的概率为1－β，所以所求概率为(1－α)(1－β)2，故A正确．对于B，相当于发了1,1,1，收到1,0,1，则概率为(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B正确．3．(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为

(

)A．0.8 B．0.6C．0.5 D．0.4答案：A

解析：同时爱好两项的概率为0.5＋0.6－0.7＝0.4.记“该同学爱好滑雪”为事件A，“该同学爱好滑冰”为事件B，则P(A)＝0.5，4．(2023·天津高考)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为________；将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为________．[素养评价]1．(2023·山东省实验中学模拟)某市地铁1号线从A站到G站共有7个站点，甲、乙二人同时从A站上车，准备在B站、D站和G站中的某个站点下车，若他们在这3个站点中的某个站点下车是等可能的，则甲、乙二人在不同站点下车的概率为

(

)

答案：C

2．某高校校党委计划开展“学党史，争当新时代先锋”活动月，并在活动月末举办党史知识竞赛．数学学院初步推选出2名教师和6名学生共8名党史知识学习优秀者，并从中随机选取5名组成院代表队参加学校党史知识竞赛，则在代表队中既有教师又有学生的条件下，教师甲被选中的概率为 (

)答案：B

3．(2023·杭州三模)班级举行知识竞猜闯关活动，设置了A，B，C三个问题．答题者可自行决定答三题顺序．甲有60%的可能答对问题A,80%的可能答对问题B,50%的可能答对问题C.记答题者连续答对两题的概率为p，要使得p最大，他应该先回答

(

)A．问题A

B．问题BC．问题A，B和C都可以

D．问题C答案：D

解析：①若先回答问题A，则答题顺序可能为A，B，C和A，C，B，当答题顺序为A，B，C且连对两题时，p＝0.6×0.8×(1－0.5)＋(1－0.6)×0.8×0.5＝0.4；当答题顺序为A，C，B且连对两题时，p＝0.6×0.5×(1－0.8)＋(1－0.6)×0.5×0.8＝0.22.∴先回答问题A，连对两题的概率为0.4＋0.22＝0.62.②若先回答问题B，则答题顺序可能为B，A，C和B，C，A，当答题顺序为B，A，C且连对两题时，p＝0.8×0.6×(1－0.5)＋(1－0.8)×0.6×0.5＝0.3；当答题顺序为B，C，A且连对两题时，p＝0.8×0.5×(1－0.6)＋(1－0.8)×0.5×0.6＝0.22.∴先回答问题B，连对两题的概率为0.3＋0.22＝0.52.③若先回答问题C，则答题顺序可能为C，A，B和C，B，A，当答题顺序为C，A，B且连对两题时，p＝0.5×0.6×(1－0.8)＋(1－0.5)×0.6×0.8＝0.3；当答题顺序为C，B，A且连对两题时，p＝0.5×0.8×(1－0.6)＋(1－0.5)×0.8×0.6＝0.4.∴先回答问题C，连对两题的概率为0.3＋0.4＝0.7.∵0.7>0.62>0.52，∴要使p最大，应先回答问题C.4．[多选]已知两个事件A，B，满足P(A)>0，P(B)>0，则下列结论正确的是

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)A．若A，B为相互独立事件，则P(B)＝P(B|A)B．若P(B|A)＝P(B)，则P(A|B)＝P(A)答案：ABC

答案：ABC

解析：若A，B为相互独立事件，则P(AB)＝P(A)P(B)，5．(2023·全国模拟预测)为了解高中学生的体质健康水平，某市教育局分别从身体形态、身体机能、身体素质等方面对该市高中学生的体质健康水平进行综合测评，并根据2018年版的《国家学生体质健康标准》评定等级，经过统计，甲校有30%的学生的等级为良好，乙校有60%的学生的等级为良好，丙校有50%的学生的等级为良好，且甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生人数之比为5∶8∶7.从甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生中随机抽取1名学生，则该学生的等级为良好的概率为

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)A．0.40 B．0.47C．0.49 D．0.55答案：C

[一站补给]思维的“难点”(1)求解条件概率最易混淆的就是P(B|A)与P(A|B)，前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率；(2)如果知道事件A的发生会影响事件B发生的概率，那么P(B)≠P(B|A)思想的“高点”求相互独立事件同时发生的概率时，当正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算，体现了转化与化归的思想续表[真题导向]1．(2021·新课标Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是

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)A.σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B.σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等命题点三正态分布及其应用答案：D

解析：正态分布的曲线形状由参数σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”，即在(9.9,10.1)的概率越大，落在(9.9,10.2)的概率大于落在(10,10.3)的概率，A正确，D不正确．曲线在x＝10时处于最高点，并由此向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，所以在一次测量中大于10的概率为0.5，小于9.99与大于10.01的概率相等，B、C正确．故选D.2．(2022·新课标Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝________.答案：0.14解析：因为X～N(2，σ2)，所以P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.[素养评价]1．(2023·衡水中学一模)新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐．某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量(单位：kW·h/100km)情况，随机调查得到了1200个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量ξ～N(13，σ2)，若P(12<ξ<14)＝0.7，则样本中耗电量不小于14kW·h/100km的汽车大约有

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)A．180辆

B．360辆C．600辆

D．840辆答案：A

解析：因为ξ～N(13，σ2)，且P(12<ξ<14)＝0.7，2.(2023·天津三模)某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶．根据其种植经验，在正常环境下，甲、乙两个品种的茶青每500克的红茶产量(单位：克)分别为X，Y，且X～A．Y的数据较X更集中B．P(X≤c)<P(Y≤c)D．P(X>c)＋P(Y≤c)＝1答案：D

解析：Y的密度曲线更尖锐，即数据更集中，故A正确；附：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ