初中数学例题习题变式拓展辅导

初中数学例题习题变式拓展辅导本课件仅供大家学习学习学习完毕请自觉删除谢谢本课件仅供大家学习学习学习完毕请自觉删除谢谢开头的话2016年《中国学生发展核心素养》内容的发布，标志着我国进入了素质教育2.0版。随之，数学核心素养内容也新鲜出炉，分为数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六个方面。史宁中先生认为，数学教学的最终目标，是要让学习者会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。而数学的眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言就是模型，因此，抽象、推理、模型应该是数学核心素养的关键。来源于八年级下册第29页第14题案例1基本模型基本结构1．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D在线段AB上，点E在线段AC上．请直接写出线段BD与线段CE的关系：

．2．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，请判断线段BD与线段CE的关系，并说明理由．变式1基本模型3．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D在线段AC上，请判断线段BD与线段CE的关系，并说明理由．变式2基本模型4．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，请判断线段BD与线段CE的关系，并说明理由．变式3基本模型5．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D在线段BC上，请判断线段BD与线段CE的关系，并说明理由．变式4基本模型6．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D在线段BC上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论．变式5基本模型7．（2014武汉）如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，求BD的长．变式6基本模型1．（2007南平）如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．（1）求∠PCQ的度数；（2）当AB=4，AP：PC=1：3时，求PQ的大小；（3）当点P在线段AC上运动时（P不与A重合），请写出一个反映PA2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．拓展1综合拓展2．（2015铁岭）已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE，BD⊥CE．（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，探究AD、BD、CD三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；（3）若BD=CD，直接写出∠BAD的度数．拓展2综合拓展3．（2015黄石）在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．拓展3综合拓展4．（2015贵港）已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：（1）如图①，若点P在线段AB上，猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为

；（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；（3）若动点P满足PA︰PB=1︰3，求

的值．（提示：请利用备用图进行探求）

拓展4综合拓展5．(2016黄石)在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．（1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ADF∽△ABC；（2）如图2，在（1）的条件下，若α=45°，求证：DE2=BD2+CE2；（3）如图3，若α=45°，点E在BC的延长线上，则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗？请说明理由．

拓展5综合拓展6．（2015威海）（1）如图1，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．（2）如图2，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，求AD的长．

拓展6综合拓展7．（2015梅州）在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0<α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于

，线段CE1的长等于

；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD1=CE1，且BD1⊥CE1；（3）①设BC的中点为M，则线段PM的长为

；②点P到AB所在直线的距离的最大值为

．（直接填写结果）

拓展7综合拓展8．（2016达州）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：

；②BC，CD，CF之间的数量关系为：

；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长．拓展8综合拓展9．（2013营口）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、

AD．（1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=4/3，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD，AF，求BD2+AF2的值．拓展9综合拓展10．（2016丹东）如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．拓展10综合拓展11．（2016三明）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点.（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，

①当∠EAC=90°时，求PB的长；

②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值.拓展11综合拓展拓展12综合拓展拓展13综合拓展案例2基本模型基本结构1．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的点，∠EAF﹦45°，当BE﹦DF时，连结EF．求证：BE＋DF﹦EF．基本模型基本结构2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的点，∠EAF﹦45°，当BE≠DF时，连结EF．求证：BE＋DF﹦EF．基本模型基本结构3．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的点，∠EAF﹦45°，连结BD,分别交AE，AF于点M，N．探究线段BM，MN，DN满足的等量关系，并说明理由．1．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在BC，CD边上，分别连接AE，AF，EF，若∠EAF=45°，求△CEF的周长．变式1基本模型1．如图，已知正方形ABCD的边长为12，点E，F分别在BC，CD边上，BE=4，分别连接AE，AF，EF，若∠EAF=45°，求△AEF的面积．变式2基本模型3．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在BC，CD边上，分别连接AE，AF，EF，若△CEF的周长是8，求∠EAF的度数．变式3基本模型4．（2013岳阳）某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图，正方形ABCD中，AB＝6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．（1）求证：DP＝DQ；（2）如图，小明在图①的基础上做∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；（3）如图，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB:AP＝3:4，请帮小明算出△DEP的面积．变式4基本模型5．已知∠MAN135°，正方形ABCD绕点A旋转．当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，连结MN．①如图1，若BM

DN，则线段MN与BM＋DN之间的数量关系是

；②如图2，若BM≠DN，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．变式5基本模型6．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D、E是边AB上的两点，AD=3，BE=4，∠DCE=45°，则△ABC的面积是多少？变式6基本模型拓展1综合拓展1．（2014日照）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD；（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10,求直角梯形ABCD的面积．拓展2综合拓展2．（2013达州）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．（1）思路梳理：

∵AB=CD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．

∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F，D，G共线．

根据____________，易证△AFG≌_______，得EF=BE+DF．（2）类比引申：如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系

时，仍有EF=BE+DF．（3）联想拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD，DE，EC应满足的等量关系，并写出推理过程．拓展3综合拓展3．如图，在正方形ABCD中，∠EBC=∠EAF=∠CDF=45°，探究BE，EF，DF之间满足的等量关系．拓展4综合拓展4．如图，E，F分别在正方形ABCD的对角线BD的延长线上，∠EAF=135°．探究ED，EF，BF之间满足的等量关系．拓展5综合拓展5．（2016贵港）如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．①求证：△AGE≌△AFE；②若BE=2，DF=3，求AH的长．（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．拓展6综合拓展6．（2016淄博）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变．（1）求证：AF⊥FM；（2）请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明．拓展7综合拓展7．（2011重庆）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG，CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④.其中正确结论的个数是（

）A．1B．2C．3D．4拓展8综合拓展拓展9综合拓展9．（2015三明）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．拓展10综合拓展10．（2016扬州）已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC，DC的延长线交于点E，F，连接EF．设CE=a，CF=b．（1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a，b的值；（2）当△AEF是直角三角形时，求a，b的值；（3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a，b满足的关系式，并说明理由．拓展11综合拓展11．（2018北京）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与点A，B重合)，连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并说明理由．拓展12综合拓展12．（2014达州）如图（1），点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，说明理由．解答：∵正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90°，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′，点F，D，E′在一条直线上．∴∠E′AF=90°﹣45°=45°=∠EAF，又∵AE′=AE，AF=AF，∴△AE′F≌△AEF（SAS），∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF．观察分析：观察图（1），由解答可知，该题有用的条件是①ABCD是四边形，点E，F分别在边BC，CD上；②AB=