2021-2022学年新教材高中数学第七章统计案例§1一元线性回归课件北师大版选择性必修第一册

1.1直线拟合1.2一元线性回归方程第七章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习激趣诱思知识点拨一、直线的拟合1.如图是关于体重随身高的变化的规律,每个点对应的一对数据(xi,yi),称为成对数据,这些点构成的图称为散点图.2.从散点图上可以看出,如果变量之间存在着某种关系,这些点会有一个大致趋势,这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似地描述.这样近似描述的过程称为曲线拟合.若在两个变量X和Y的散点图中,所有点看上去都在一条直线附近波动,此时就可以用一条直线来近似地描述这两个量之间的关系,称之为直线拟合.名师点析1.相关关系:两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度,这种关系称为相关关系.2.正相关与负相关:如果从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现增加的趋势,我们就称这两个变量正相关;如果当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现减少的趋势,则称这两个变量负相关.微练习下列两个变量具有相关关系的是(

)A.角度和它的余弦值B.正方形的边长和面积C.直线上的点与该点的坐标D.人的身高和体重答案

D解析

A,B,C具有确定性的函数关系;一般地,身高越高,体重越重,是相关关系.故选D微思考相关关系与函数关系有什么异同点?提示相同点:两者均是指两个变量的关系.不同点:①函数关系是一种确定的关系,如圆的面积S与半径r的关系,它可以用函数关系式S=πr2来表示;相关关系是一种非确定的关系,如人的体重y与身高x有关,一般来说,身高越高,体重越重,但不能用一个函数关系式来严格地表示它们之间的关系.②函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.二、一元线性回归方程1.最小二乘法对于给定的两个变量X和Y(如身高和体重),可以把其成对的观测值(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)表示为平面直角坐标系中的n个点.现在希望找到一条直线Y=a+bX,使得对每一个xi(i=1,2,…,n),由这个直线方程计算出来的值a+bxi与实际观测值yi的差异尽可能小.为此,希望[y1-(a+bx1)]2+[y2-(a+bx2)]2+…+[yn-(a+bxn)]2达到最小.换句话说,我们希望a,b的取值能使上式达到最小.这个方法称为最小二乘法.2.线性回归方程的系数的计算公式

名师点析1.线性回归系数的求解公式还可以写成如下形式:2.在回归分析中,利用线性回归方程求出的值不一定是真实值,很多时候只是预测值.例如,人的体重与身高存在一定的线性相关关系,但体重除了受身高的影响外,还受其他因素的影响,如饮食习惯、是否喜欢运动等.微练习如果记录了X,Y的几组数据分别为(0,1),(1,3),(2,5),(3,7),那么Y关于X的回归直线必过点(

)A.(2,2)B.(1.5,2)C.(1,2)D.(1.5,4)答案

D课堂篇探究学习探究一直线拟合例1下面4个散点图中,不适合用直线拟合其中两个变量的是(

)答案

A解析

根据题意知,适合用直线拟合其中两个变量的散点图,必须是散点分布比较集中,且大体接近于某一条直线,分析选项中的4个散点图可得,A中的散点杂乱无章,最不符合条件.反思感悟

一般地,直观地判断线性相关性就是观察散点图是否近似成一条直线,等学习了后续的相关系数,还可以理论上进行判断.变式训练1如图四个散点图中,适合用直线拟合其中两个变量的是(

)A.①② B.①③ C.②③ D.③④

答案

B解析

根据题意,适合用直线拟合其中两个变量的散点图,必须是散点分布比较集中,且大体接近某一条直线的,分析4个散点图可得①③符合条件.探究二线性回归分析中的参数问题例2一车间为规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了4次试验,测得的数据如下,根据下表可得线性回归方程Y=8X+11,则实数a的值为(

)A.34 B.35 C.36 D.37答案

C延伸探究将例2改为如下:一车间为规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了4次试验,测得的数据如下,根据下表可得线性回归方答案

8探究三一元线性回归方程例3若从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体重数据如表所示:求根据女大学生的身高预测体重的线性回归方程,并预测一名身高为172cm的女大学生的体重.解

(1)画散点图选取身高为横坐标,体重为纵坐标,画出散点图,展示两个变量之间的关系,并判断二者是否具有线性关系.于是得到线性回归方程为Y=0.848X-85.712.(3)预测和决策当X=172时,Y=0.848×172-85.712=60.144(kg),即一名身高为172cm的女大学生的体重预测值为60.144kg.反思感悟

在使用线性回归方程进行预测时要注意:(1)线性回归方程只适用于我们所研究的样本的总体.(2)我们所建立的线性回归方程一般都有时间性.(3)样本取值的范围会影响线性回归方程的适用范围.(4)不能期望线性回归方程得到的预测值就是精确值.变式训练2PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物),为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关,现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表:(1)根据上表数据,用最小二乘法求出Y关于X的线性回归方程;(2)若周六同一时段车流量是200万辆,试根据(1)求出的线性回归方程,预测此时PM2.5的浓度.故Y关于X的线性回归方程为Y=0.72X+6.24.(2)当X=200时,Y=0.72×200+6.24=150.24(微克/立方米).所以可以预测此时PM2.5的浓度为150.24微克/立方米.素养形成方法优化——求线性回归方程的技巧典例某地粮食需求量逐年上升,部分统计数据如下表:(1)利用所给数据求年需求量Y关于年份X的线性回归方程;(2)利用(1)中所求出的线性回归方程预测该地2021年的粮食需求量.解

(1)由所给数据看出,年需求量与年份之间具有线性相关关系.下面来求线性回归方程,先将数据处理如下:由上述计算结果,可知所求线性回归方程为Y-257=6.5(X-2015)+3.2,即Y=6.5(X-2015)+260.2.(2)利用所求得的线性回归方程,可预测2021年的粮食需求量为6.5×(2021-2015)+260.2=6.5×6+260.2=299.2(万吨).方法点睛求线性回归方程时,重点考查的是计算能力.若本题用一般方法去解,则计算比较烦琐(如年份、需求量不做如上处理),所以平时训练时遇到数据较大时要考虑有没有更简便的方法解决.变式训练某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此做了四次试验,根据试验数据得到如图所示的散点图,其中X表示零件的个数,Y表示加工时间,则Y关于X的线性回归方程是

.

答案

Y=0.7X+1.05所以线性回归方程为Y=0.7X+1.05.当堂检测1.已知变量X,Y之间具有线性相关关系,其散点图如图所示,则其线性回归方程可能为(

)A.y=1.5x+2 B.y=-1.5x-2C.y=1.5x-2 D.y=-1.5x+2答案

D解析

由散点图知变量X,Y之间负相关,排除A,C,当X=0时,Y>0,排除B,故有可能是D....6答案

D3.如图为制作某款木制品的过程中,产量X吨与相应的消耗木材Y吨的统计数据,经计算得到Y关于X的线性回归方程Y=0.7X+0.85,由于某些原因m处的数据看不清楚了,则根据运算可得m=

.

答案

5.5解得m=5.5.4.(2021陕西西安模拟)某商店在2020年上半年前5个月的销售额如表所示:(1)若从这5个月中随机选取1个月计算销售纯收入,求选取月份的销售额不低于2万元的概率;(2)求销售额Y(单位:千元)关于月份X的线性回归方程,并预测该商店2020年上半年的销售总额.解

(1)因为这5个月中销售额不低于2万元的只有4月和5