回归分析的基本思想和其初步应用

回归分析的基本思想和其初步应用3.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）高二数学选修2-3求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看各点与此直线的距离和最小”.2023/11/26郑平正制作选变量画散点图选模型(线性)估计参数(a,b)分析和预测建立回归模型的基本步骤通过散点图,可直观地分析和了解两个变量是否存在相关关系,以确定回归模型．通过分析相关指数、随机误差（残差图），评价模型的好坏，进行预报．这也就是回归分析的基本思想．2023/11/26郑平正制作最小二乘法估计公式:探究1：你能推导出着两个计算公式吗？(推导思路见下一片；推导过程见课本)回归直线一定过样本点的中心！对于一组具有线性相关关系的数据:(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),

我们知道其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为：(xi,yi)(xi,yi)2023/11/26郑平正制作2023/11/26郑平正制作后两项与α,β无关前两项均为正且与α,β有关此项为0,Q有最小值.2023/11/26郑平正制作2023/11/26郑平正制作

2008年5月，中共中央国务院关于加强青少年体育、增强青少年体质的意见指出城市超重和肥胖青少年的比例明显增加.

“身高标准体重”该指标对于学生形成正确的身体形态观具有非常直观的教育作用.“身高标准体重”从何而来？我们怎样去研究?1.创设情境：例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示：求根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.问题呈现：女大学生的身高与体重分析：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：2、由散点图可以看出，样本点呈现条状分布，身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系.3、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y=bx+a描述它们关系.解：1.由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量x，体重为因变量y．3.用公式求出回归方程：2.画散点图；本例中,可求得r=0.798>0.75．这表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而也表明我们建立的回归模型是有意义的.身高172cm女大学生可以预报其体重为:所以回归方程为:对回归模型进行统计检验2023/11/26郑平正制作探究2：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重接近于60.316kg.下图中的样本点和回归直线的相互位置说明了这一点.由于样本点不在同一条直线上，只是散布在某一条直线附近，所以身高与体重的关系可用线性回归模型:y=bx+a+e,

……

(3)来表示，其中a和b为模型的未知参数，e是y与bx+a之间的误差.通常e为随机变量，称为随机误差(randomerror),即e称为随机误差.它的均值E(e)=0,方差D(e)=σ2.这样线性回归模型的完整表达式为：一般假定均值为0,即期望各点都在直线y=bx+a上.真实值a,b,y思考：产生随机误差e的原因(主要来源)是什么？一个人的体重除了受身高的影响外，还受其他许多因素的影响.其主要来源是(误差越小,回归模型的拟合效果越好！)(1)用线性回归模型近似真实模型(真实模型是客观存在的，只是通常我们不知道真实模型到底是什么)所引起的误差.另外可能存在非线性的函数能够更好地描述y与x之间的关系，但是现在却用线性函数来表达这种关系，结果就会产生误差.这种由于模型近似所引起的误差都包含在e中.(2)忽略了某些因素的影响.因为影响变量y的因素不只是变量x一个.例如:遗传因素、饮食习惯、是否喜欢运动等，所引起的误差都包含在e中.(3)观测误差.由于测量工具等原因造成度量误差也包含在e中.事实上，我们无法知道身高和体重之间的确切关系是什么，这里只是利用线性回归方程来近似这种关系.这种近似以及上面提到的影响因素都是产生随机误差e的原因.探究3：在线性回归模型中，e是用bx+a预报真实值y的随机误差，它是一个不可观测的量，那么怎样研究随机误差呢？是真实值与估计值的差！2023/11/26郑平正制作思考：如何发现数据中的错误？如何衡量模型的拟合效果？2023/11/26郑平正制作2023/11/26郑平正制作2023/11/26郑平正制作2023/11/26郑平正制作即在实际应用中应该尽量选择R2大的回归模型.2023/11/26郑平正制作例2、在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。解：2023/11/26郑平正制作例2、在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏.列出残差表为0.994因而，拟合效果较好.00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.42023/11/26郑平正制作用身高预报体重时，需要注意下列问题：1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；2、我们所建立的回归方程一般都有时间性；3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。——这些问题也使用于其他问题。涉及到统计的一些思想：模型适用的总体；模型的时间性；样本的取值范围对模型的影响；模型预报结果的正确理解。小结:2023/11/26郑平正制作2023/11/26郑平正制作2023/11/26郑平正制作2023/11/26郑平正制作2023/11/26郑平正制作2023/11/26郑平正制作2023/11/26郑平正制作2023/11/26郑平正制作2023/11/26郑平正制作2023/11/26郑平正制作2023/11/26郑平正制作2023/11/26郑平正制作2023/11/26郑平正制作假设1:身高和随机误差的不同不会对体重产生任何影响，

54.554.554.554.554.554.554.554.5体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号54.5kg探究3：在线性回归模型中，e是用bx+a预报真实值y的随机误差，它是一个不可观测的量，那么怎样研究随机误差呢？5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号

例如，编号为6的女大学生的体重并没有落在水平直线上，她的体重为61kg。解释变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从54.5kg“推”到了61kg，相差6.5kg，所以6.5kg是解释变量和随机误差的组合效应。用这种方法可以对所有预报变量计算组合效应。数学上，把每个效应（观测值减去总的平均值）的平方加起来，即用表示总的效应，称为总偏差平方和。5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号

假设2:随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散点图中所有的点将完全落在回归直线上。怎样研究随机误差？

因此，数据点和它在回归直线上相应位置的差异是随机误差的效应，称为残差。例如，编号为6的女大学生，计算随机误差的效应（残差）为：对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号称为残差平方和，它代表了随机误差的效应。表示为：我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是如何衡量预报的精度？显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。

如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。3.分析方程回归效果的常用方法（1）相关指数：该法主要从量上清楚地反映解释变量与预报变量间的效应.（2）残差图：该法主要从图上直观地分析点的分布情况,看一下样本数据与回归直线的拟合效果.只通过图形判断，无法精确地给出所得结论的可靠程度！2023/11/26郑平正制作学以致用：1、在对两个变量Ｘ，Ｙ进行线性回归分析时有下列步骤：①对所求出的回归方程作出解释，②收集数据（，）③求线性回归方程，④求相关系数，⑤根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可靠性要求能够作出变量Ｘ，Ｙ具有线性相关结论，则在下列操作顺序中正确的是（）Ａ．①②⑤③④Ｂ．③②④⑤①Ｃ．②④③①⑤Ｄ．②⑤④③①学以致用：2、对于相关指数，下列说法正确的是（）Ａ、的取植越小，模型拟合效果越好Ｂ、的取值可以是任意大，且取值越大拟合效果越好Ｃ、的取值越接近１，模型拟合效果越好Ｄ、以上答案都不对学以致用：3、甲、乙、丙，丁四位同学各自对Ａ，Ｂ两变量的线性相关性做实验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：则哪位同学的实验结果体现Ａ，Ｂ两变量有更强的线性相关性Ａ．甲Ｂ．乙Ｃ．丙Ｄ．丁学以致