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第一讲不等式和绝对值不等式2、基本不等式及其应用a2+b2≥2ab一、重要不等式：文字语言：两个数的平方和不小于它们积的2倍

（当且仅当a=b时，取“=”号）一般地，对于任意实数a,b，我们有

当且仅当a=b时，等号成立。

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。二、定理2（基本不等式）如果a,b>0,那么如果a,b都是正数，我们就称为a,b的算术平均数几何平均数这样，基本不等式可以表述为：注意：1、重要不等式与基本不等式有什么区别与联系？基本不等式可以看作是重要不等式的变形，但它们的前提条件不同。重要不等式中a,b属于全体实数，而基本不等式中a,b均为大于0的实数。2、重要不等式与基本不等式的几个推广公式：（当且仅当a=b时，取“=”号）算术平均数几何平均数平方平均数调和平均数例2：若，则（）（1）（2）（3）B例1：设a>0，b>0，给出下列不等式其中成立的是

等号能成立的是

。（1）（2）（3）(4)题型一：利用基本不等式判断代数式的大小关系题型二：解决最大（小）值问题（1）一正：各项均为正数（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。两个正数和为定值，积有最大值。（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”。结论：利用求最值时要注意下面三条：积定，和最小和定，积最大2、已知则xy的最大值是

。1、当x>0时，的最小值为

，此时x=

。21

3、若实数，且，则的最小值是（）

A、10B、C、D、D练习：例4、求函数的最小值题型三：构造积为定值，利用基本不等式求最值例5、求函数的最小值例6、已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值例7、求函数的值域题型四：利用基本不等式证明不等式三个正数算数——几何平均不等式一、知识扫描:上述推导体现了数学中由一般到特殊的思想问题1

基本不等式给出了两个正数数的算术平均数与几何平均数的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的不等式成立呢？类比思想应用问题2问题2语言表述：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。1.从代数结构（数运算角度）：和与积的相互转化，可用于含和积不等式的证明。2.积定和最小，和定积最大，可用于最值求解。在求最值时仍然应该注意条件：一正，二定，三相等，缺一不可3.推广

≥

当且仅当ａ1＝a2＝…=an时，等号成立．一、用基本不等式证明不等式例２:解:构造三个数相加等于定值.一、用基本不等式求最值（2）求函数的最小值．下面甲、乙、丙三为同学解法谁对？试说明理由甲：由知，则

(错解原因是等号取不到)(错解原因是不满足积定)丙：构造三个数相乘等于定值.小结：利用三个正实数的基本不等式求最值时注意：2、不能直接利用定理时，注意拆项、配项凑定值的技巧1、一正、二定、三相等；缺一不可（拆项时常拆成两个相同项）。A、6

B、C、9

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