第8讲 整式的除法（4大考点）（解析版）

第8讲整式的除法（4大考点）考点考向考点考向一：同底数幂的除法1、同底数幂相除：同底数的幂相除，底数不变，指数相减．用式子表示为：（，，都是正整数）．2、规定；（，是正整数）．二：单项式除以单项式1、单项式除以单项式：两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．三：多项式除以单项式1、多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加．（1）多项式除以单项式，商式与被除式的项数相同，不可丢项，如（2）中容易丢掉最后一项．（2）要求学生说出式子每步变形的依据．（3）让学生养成检验的习惯，利用乘除逆运算，检验除的对不对．考点精讲考点精讲一．同底数幂的除法（共4小题）1．（2022春•金山区月考）计算：x7÷x2＝x5．【分析】根据同底数幂的除法法则进行解答即可．【解答】解：x7÷x2＝x7﹣2＝x5，故答案为：x5．【点评】此题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂相除，底数不变指数相减是解题的关键．2．（2022春•普陀区校级期中）计算：（y3）2÷y5＝y．【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减的运算性质计算即可．【解答】解：（y3）2÷y5，＝y6÷y5，＝y．【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．3．（2022春•浦东新区期中）计算：（﹣a6）÷（﹣a）2＝﹣a4．【分析】根据同底数幂相除的法则：底数不变，指数相减即可得出答案．【解答】解：（﹣a6）÷（﹣a）2＝﹣（a6÷a2）＝﹣a4．故答案为：﹣a4．【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂相除的法则：底数不变，指数相减．4．（2021秋•普陀区期末）已知3m＝4，3n＝5，分别求3m+n与32m﹣n的值．【分析】利用同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入运算即可．【解答】解：当3m＝4，3n＝5时，3m+n＝3m×3n＝4×5＝20；32m﹣n＝32m÷3n＝（3m）2÷3n＝42÷5＝16÷5＝．【点评】本题主要考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．二．整式的除法（共6小题）5．（2022春•金山区校级月考）计算：4a3÷2a＝2a2．【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：4a3÷2a＝2a2．故答案为：2a2．【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．6．（2021秋•普陀区期末）计算：（9a6﹣12a3）÷3a3＝3a3﹣4．【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：（9a6﹣12a3）÷3a3＝9a6÷3a3﹣12a3÷3a3＝3a3﹣4．故答案为：3a3﹣4．【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．7．（2022春•松江区校级期中）计算：x÷（x2﹣x）＝．【分析】先把除法运算写成分式的形式，再根据分式的基本性质进行化简即可．【解答】解：原式＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了利用分式的基本性质进行化简，对于分子或分母是多项式时，要先进行因式分解再约分．8．（2021秋•静安区期末）计算x÷2x2的结果是（）A． B． C． D．2x【分析】根据整式的除法法则计算即可得出答案．【解答】解：原式＝（1÷2）（x÷x2）＝•＝，故选：B．【点评】本题考查了整式的除法，掌握单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式是解题的关键．9．（2021秋•浦东新区期末）计算：（18x3y2﹣12x2y3+x2y2）÷（﹣6x2y2）＝．【分析】用多项式的每一项与单项式相除，然后相加即可得出答案．【解答】解：（18x3y2﹣12x2y3+x2y2）÷（﹣6x2y2）＝﹣3x+2y﹣；故答案为：﹣3x+2y﹣．【点评】此题考查了整式的除法，熟练掌握整式的除法法则是解题的关键，是一道基础题．10．（2021秋•宝山区期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到3x，如果小明没有错抄题目，并且计算依然正确，那么得到的结果应该是什么？【分析】根据小明的做法求出第一个多项式，根据多项式乘多项式的法则即可得出答案．【解答】解：3x（x﹣2y）＝3x2﹣6xy，（3x2﹣6xy）（x﹣2y）＝3x3﹣6x2y﹣6x2y+12xy2＝3x3﹣12x2y+12xy2．答：得到的结果应该是3x3﹣12x2y+12xy2．【点评】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键．三．整式的混合运算（共5小题）11．（2022春•宝山区校级月考）如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为（2a+b），宽为（a+b）的矩形，需要B类卡片3张．【分析】先求出长为2a+b，宽为a+b的矩形面积，然后对照A、B、C三种卡片的面积，进行组合．【解答】解：长为2a+b，宽为a+b的矩形面积为（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，A图形面积为a2，B图形面积为ab，C图形面积为b2，则可知需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片1张．【点评】本题主要考查多项式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．12．（2022春•崇明区校级期中）计算（1﹣）（）﹣（1﹣﹣）（）的结果是．【分析】设a＝1﹣﹣﹣﹣，b＝+++，然后根据整式的乘法与加减混合运算进行计算即可得解．【解答】解：设a＝1﹣﹣﹣﹣，b＝+++，则原式＝a（b+）﹣（a﹣）•b＝ab+a﹣ab+b＝（a+b），∵a+b＝1﹣﹣﹣﹣++++＝1，∴原式＝．故答案为：．【点评】本题考查了整式的混合运算，利用换元法可以使书写更简便且形象直观．13．（2022春•宝山区校级月考）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若，则x＝2．【分析】根据题中的新定义将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为x的值．【解答】解：根据题意化简＝8，得：（x+1）2﹣（1﹣x）2＝8，整理得：x2+2x+1﹣（1﹣2x+x2）﹣8＝0，即4x＝8，解得：x＝2．故答案为：2【点评】此题考查了整式的混合运算，属于新定义的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键．14．（2022•闵行区校级开学）0.125（x﹣y）3•（y﹣x）4﹣0.875（y﹣x）•（y﹣x）6+（x﹣y）2•（y﹣x）5+0.5（y﹣x）7．【分析】根据同底数幂的乘法法则化简后，再合并同类项即可．【解答】解：0.125（x﹣y）3•（y﹣x）4﹣0.875（y﹣x）•（y﹣x）6+（x﹣y）2•（y﹣x）5+0.5（y﹣x）7＝0.125（x﹣y）7+0.875（x﹣y）7﹣（x﹣y）7﹣0.5（x﹣y）7＝（0.125+0.875）（x﹣y）7+（﹣﹣0.5）（x﹣y）7＝（x﹣y）7﹣2（y﹣x）7＝﹣（y﹣x）7．【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．15．解关于x的方程：（k+1）（k﹣1）x﹣2（k+1）（k+2）＝0．【分析】将k看作已知数，按一元一次方程的解法步骤求解即可．【解答】解：移项，（k+1）（k﹣1）x＝2（k+1）（k+2），当k+1≠0，且k﹣1≠0，即当k≠±1时，系数化为1，得x＝，化简，得x＝．【点评】此题考查了解决含字母参数的一元一次方程问题的能力，关键是能将字母参数看作已知数进行求解，并讨论字母参数符号的条件．四．整式的混合运算—化简求值（共1小题）16．（2022春•宝山区校级月考）先化简，再求值：（1）2（x2）3﹣x（2x5﹣x），其中x＝3；（2）[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）]÷（2x），其中x＝1，y＝﹣2．【分析】（1）先用幂的乘方、乘法分配律计算，再合并同类项，化简后将x＝3代入即可；（2）先用完全平方、平方差公式，将括号内合并后再算除法，化简后将x＝1，y＝﹣2代入即可．【解答】解：（1）原式＝2x6﹣2x6+x2＝x2，把x＝3代入得：原式＝32＝9；（2）原式＝（x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2）÷（2x）＝（2x2﹣4xy）÷（2x）＝x﹣2y，把x＝1，y＝﹣2代入得：原式＝1﹣2×（﹣2）＝1+4＝5．【点评】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握整式运算的相关法则、公式，将整式化简．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2022·上海·七年级期中）计算（﹣6xy2）2÷（﹣3xy）的结果为（）A．﹣12xy3 B．2y3 C．12xy D．2xy3【答案】A【分析】先算积的乘方，再进行除法计算【详解】原式＝36x2y4÷（﹣3xy）＝﹣12xy3，故选：A．【点睛】本题考查了积的乘方，单项式的除法，掌握计算方法和计算顺序是解题关键．2．（2022·上海·七年级期中）已知，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据幂的公式逆运算即可求解.【详解】∵，∴=()2÷()3=32÷23=故选B【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式.二、填空题3．（2022·上海·七年级期末）计算__________．【答案】【分析】根据单项式除以单项式运算法则，本题只需要把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，计算得出答案即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了单项式除以单项式，掌握单项式除以单项式的运算法则是解题关键．4．（2022·上海·七年级期末）如果，，那么________________．【答案】【分析】根据同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用变形，然后利用整体代入法求值即可．【详解】解：∵，，∴=====故答案为：．【点睛】此题考查的是幂的运算性质的应用，掌握同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用是解题关键．5．（2022·上海市徐汇中学七年级期中）已知＝2，＝9，则＝_______【答案】【分析】根据同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用进行计算即可得．【详解】解：因为，，所以，故答案为：．【点睛】本题考查了同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握各运算法则是解题关键．6．（2022·上海普陀·七年级期末）计算：（9a6﹣12a3）÷3a3＝_____．【答案】【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【详解】解：，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．7．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）______．【答案】【分析】根据整式乘除运算中，多项式除以单项式的运算法则：多项式除以单项式等于多项式中的每一项分别除以单项式，即可求出结果．【详解】解：原式=

=故答案为：．【点睛】此题主要考察的是整式的除法，正确掌握相关运算是解题的关键．8．（2022·上海浦东新·七年级期末）计算：___________.【答案】【分析】根据多项式除以单项式的运算法则即可求解.【详解】故填：.【点睛】此题主要考查整式的除法，解题的关键是熟知整式的乘除运算法则.9．（2022·上海·七年级专题练习）________；___________．【答案】

【分析】利用同底数幂的乘法、除法、幂的乘方化简，先算乘方，再算乘除．【详解】解：===，====．故答案为：，．【点睛】此题考查了同底数幂的乘法、除法、幂的乘方运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、除法、幂的乘方的运算法则．10．（2022·上海·七年级期末）计算：（-x2y）2÷y=___．【答案】3x2y【分析】根据单项式除以单项式的法则计算即可.【详解】原式=3x2y，故答案为3x2y．【点睛】本题考查整式的运算有关知识，根据整式的运算法则即可求出答案.11．（2022·上海·七年级期末）计算：（4x2y﹣2xy2）÷2xy＝_____．【答案】2x-y【分析】原式利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果．【详解】解：故答案为2x-y．【点睛】此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（2022·上海·七年级期末）计算：____________.【答案】【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算即可.【详解】；故答案为.【点睛】本题考查了整式的除法，解题的关键是熟练掌握多项式除以单项式的运算法则.13．（2022·上海·七年级期末）我们定义一种新运算：记，如果设为代数式，若，则______（用含，的代数式表示）.【答案】【分析】先对新定义规定的运算运用平方差公式化简，根据新定义规定的运算转化为方程求的值．【详解】即：即：故答案是：【点睛】本题考查了代数式的运算．关键是根据新定义规定的运算，准确代值计算．三、解答题14．（2022·上海·七年级开学考试）【答案】2x【分析】原式被除数利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算，再利用单项式除以单项式法则计算即可得到结果．【详解】解：原式．故答案为2x．【点睛】本题考查整式的除法，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．15．（2022·上海·七年级期末）【答案】-3a【分析】先计算乘方，再计算除法，最后相减即可．【详解】==-3a．【点睛】考查了多项式除以单项式和单项式除以单项式，解题关键是熟记其计算法则和运算顺序．16．（2022·上海·七年级期末）计算：[(xy2)(xy2)2(xy2)](xy)【答案】【分析】原式被除数括号中第一项利用平方差公式化简,合并后利用多项式除以单项式法则计算,得到化简结果即可.【详解】解：；故答案为：.【点睛】本题考查了整式的混合运算,涉及的知识有:平方差公式,多项式除以单项式法则,去括号法则,以及合并同类项法则,熟练掌握法则是解本题的关键.17．（2022·上海普陀·七年级期末）已知3m＝4，3n＝5，分别求3m+n与32m﹣n的值．【答案】20，【分析】利用同底数幂的乘法的逆用法则，同底数幂的除法的逆用法则，幂的乘方的逆用法则对所求的式子进行整理，再代入运算即可．【详解】解：；．【点睛】本题考查同底数幂的乘法的逆用，同底数幂的除法的逆用，幂的乘方的逆用．掌握各运算法则是解题关键．18．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）计算：32（x3y2z）3÷（-8x5y4z2）．【答案】-4x4y2z【分析】根据单项式除以单项式进行计算即可求解．【详解】原式=32×（x9y6z3）÷（-8x5y4z2）=-4x4y2z．【点睛】本题考查了单项式除以单项式，正确的计算是解题的关键．19．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）3.456×2.456×5.456﹣﹣．【答案】2.912【分析】可设3.456＝a，则2.456＝a﹣1，5.456＝a+2，1.456＝a－2，将原式变形化简为2a﹣4，再代入计算即可求解．【详解】解：设3.456＝a，则2.456＝a﹣1，5.456＝a＋2，1.456＝a－2，可得3.456×2.456×5.456﹣﹣＝a（a﹣1）（a＋2）﹣a3﹣（a﹣2）2＝a3＋a2﹣2a﹣a3﹣a2＋4a﹣4＝2a﹣4＝2×3.456﹣4＝6.912﹣4＝2.912【点睛】本题主要考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．20．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）解方程．【答案】【分析】依据去括号、移项、合并同类项、系数化为，解答即可．【详解】解：去括号，得：，移项，得：，合并同类项，得：，系数化为，得：．【点睛】本题考查解一元一次方程，整式的混合运算，解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为．掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．21．（2022·上海普陀·七年级期末）计算：．【答案】【分析】根据完全平方公式和平方差公式化简即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查整式的混合运算．掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键．22．（2022·上海·七年级期末）计算：【答案】【分析】根据多项式除以单项式法则和合并同类项法则计算即可．【详解】解：==．【点睛】此题考查的是整式的混合运算，掌握多项式除以单项式法则和合并同类项法则是解题关键．23．（2022·上海·七年级专题练习）已知：，求的值．【答案】或【分析】利用幂的乘方及积的乘方运算法则求出a与b的值，原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将a与b的值，代入计算即可求出值．【详解】解：∵，∴，∵，∴，原式＝＝＝；当，时，原式＝＝，当，时，原式＝＝．【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24．（2022·上海·七年级专题练习）如图，数轴上从左到右依次有A，B，C，D四个点，它们对应的实数分别为a，b，c，d，如果存在实数λ，满足：对线段AB和CD上的任意一点，其对应的数为x，实数对应的点N仍然在线段AB或CD上，则称（a，b，c，d，λ）为“完美数组”．例如：（1，2，3，6，6）就是一组“完美数组”，已知|AB|＝1，|BC|＝5，|CD|＝4，求此时所有的“完美数组”，写出你的结论和推算过程．【答案】（2，3，8，12，24）或（﹣2，﹣1，4，8，﹣8）或（﹣4，﹣3，2，6，12）【分析】认真阅读题干，理解“完美数组”的定义即可解答；【详解】解：设A表示的数是x，则B表示x+1，C表示x+6，D表示x+10，由“完美数组”的定义，可知有如下情况：①x（x+10）＝（x+1）（x+6）；∴x＝2，∴“完美数组”是（2，3，8，12，24）；②x（x+6）＝（x+1）（x+10）；∴x＝﹣2∴“完美数组”是（﹣2，﹣1，4，8，﹣8）；③x（x+1）＝（x+6）（x+10）；∴x＝﹣4，∴“完美数组”是（﹣4，﹣3，2，6，12）；【点睛】本题考查新定义，数轴与整式的运算；熟练掌握多项式乘多项式，单项式与多项式的运算法则，能够通过题意将点与“完美数组”的关系转化为整式的运算是解题的关键．25．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）计算：(1)；(2)．【答案】(1)a4(2)b4－9a2【分析】（1）根据幂的乘方、同底数幂的除法、同底数幂的乘法求解即可；（2）根据平方差公式求解即可；（1）解：原式==（2）解：原式===【点睛】本题主要考查整式的混合运算，掌握运算的相关法则是解题的关键．26．（2022·上海·七年级期末）计算：．【答案】【分析】先计算多项式除以单项式，再合并同类项即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查整式的混合运算．本题中主要涉及多项式除以单项式，多项式除以单项式就是用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得结果相加．27．（2022·上海·七年级期末）计算：．【答案】【分析】利用乘法分配律去括号，再合并同类项．【详解】原式==．【点睛】此题考查整式的混合运算，掌握单项式乘以多项式法则，去括号法则是解题的关键．28．（2022·上海·七年级期末）已知：，，，求的值．【答案】【分析】依据(ac+bd)2+(ad﹣bc)2=(a2+b2)(c2+d2)，即可得到ad﹣bc的值．【详解】∵(ac+bd)2+(ad﹣bc)2=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2﹣2abcd+b2c2=a2c2+b2d2+a2d2+