河北省“五个一”名校联盟2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题

河北省“五个一”名校联盟2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题一、单选题1．已知向量a=(1A．(32，1C．(−122．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则正确的（）A．高中部产生20个样本B．初中部产生20个样本C．不同级部每个学生被抽取的可能性不相同D．可以从两个级部各抽取30个样本3．已知i为虚数单位，若复数z=(1+i)A．|z|=2B．若z是复数z的共轭复数，则zC．复数z的虚部为iD．复数z在复平面内对应的点位于第一象限4．若ΔABC的周长等于20，面积是103,A=60A．5 B．6 C．7 D．85．已知平面向量a，b满足a=(1，−3)，|A．π6 B．π4 C．π36．元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节，很多地区家家户户都挂花灯．下图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为40cm和20cm，正六棱台与正六棱柱的高分别为10cm和60cm，则该花灯的体积为（）A．460003cm3 B．480003c7．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P−AC−O为45°，则下列各选项正确的是（）A．该圆锥的体积为2πB．该圆锥的侧面积为4C．AC=2D．过圆锥任意两条母线的截面中面积最大的为△APB8．已知0<x1<x2<2π，OA=A．79 B．−79 C．7二、多选题9．设z1A．如果z1−B．如果|z1C．如果|z1D．如果z1210．小明在一次面试活动中，10位评委给他的打分分别为：70、85、86、88、90、90、92、94、95、100．则下列说法正确的有（）A．这10个分数的中位数为90B．这10个分数的第60百分位数为91C．这10个分数的平均数大于中位数D．去掉一个最低分和一个最高分后，平均分数会变大，而分数的方差会变小11．已知ω>0，函数f(x)=cosA．若f(x)的最小正周期T=2，则ω=πB．当ω=2时，函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度后得到g(x)=C．若f(x)在区间(2π3，π)D．若f(x)在区间(0，π)上只有一个零点，则ω12．素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，如图是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为6的正四棱柱构成，则（）A．一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直B．该“十字贯穿体”的表面积是112−16C．该“十字贯穿体”的体积是48−D．CE与BF所成角的余弦值是6三、填空题13．已知向量a=(1，2)，b=(−3，x)14．若复数z满足z−1=cosθ+isinθ（θ为实数），则|z15．已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=42，则四棱锥P−ABCD外接球表面积为；若点Q是线段AC上的动点，则|PQ|+|QB|的最小值为16．已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若四、解答题17．已知复数z1=4−m2+(m−2（1）若z1为纯虚数，求m（2）若z1=z18．为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了物理测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，（1）求图中a的值；（2）试估计本次物理测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（3）该校准备对本次物理测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前13%的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？19．如图是函数f(x)（1）求ω；（2）若f(2)20．如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=π2，（1）证明：EF⊥BC；（2）若AC=BC=2，直线EF与平面ABC所成的角为π3，求三棱锥B21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，（1）求a2（2）若1tanB=22．如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB=AC=25，BC=4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED（1）求证：EF // 平面A1（2）求证：平面A1OB⊥平面（3）线段OC上是否存在点G，使得OC⊥平面EFG？说明理由．

答案解析部分1．【答案】B【知识点】单位向量；共线（平行）向量【解析】【解答】解：因为向量a=(1，3)，得故答案为：B.

【分析】根据已知条件以及向量共线的性质，单位向量的定义求解即可.2．【答案】A【知识点】分层抽样方法【解析】【解答】解：根据已知条件，易知分层抽样的抽样比为60×1200+400=110故答案为：A.

【分析】先利用分层抽样确定抽样比，再分别计算各部产生的样本容量即可.3．【答案】B【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数【解析】【解答】解：因为z=(1+i)21−i=2i1−i=2i(1+i)(1−i)(1+i)=i(1+i)=−1+i，所以故答案为：B.

【分析】先利用复数的乘除运算化简复数z，然后再利用复数的模长公式、共轭复数的定义、利用复数的概念以及复数的几何意义逐项判断即可.4．【答案】C【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算【解析】【解答】因为面积公式S=1所以103=1又周长为20，故a+b+c=20,b+c=20−a，由余弦定理得，a=b故a2=(20−a)故答案为：C.

【分析】利用三角形面积公式结合三角形周长公式求出bc的值和b,c与a的关系式，再利用余弦定理求出a的值，从而求出BC边的长。5．【答案】D【知识点】向量的模；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解：∵a=(1，−3又∵|b|=1，|a+2b|=2，∴a→+2b→2=a→2+4a→·b

【分析】根据已知条件先求向量a的模，再化简|a+2b6．【答案】C【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】依题意，花灯的体积等于上面的正六棱台体积与下面的正六棱柱体积的和，正六棱台的两个底面积分别为S1=6×3所以花灯的体积V=60S故答案为：C

【分析】根据棱柱和棱台的体积公式，准确计算，即可求解.7．【答案】C【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；扇形的弧长与面积【解析】【解答】解：由∠APB=120°，PA=2，得0P=1，OA=OB=3，即底面圆半径为3，

A、圆锥的体积为13×π×32×1=π，故A错误；

B、圆锥的侧面积展开图为扇形，扇形弧长为2π×3=23π，所以圆锥的侧面积为12×23π×2=23π，故B错误；

C、设D为的中点，连接OD，PD，则AC⊥OD，AC⊥PD，所以二面角的平面角为∠PDO，并且∠PDO=45°，所以OD=OP=1，故AD=CD=2，得AC=22，故C正确；

8．【答案】B【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算；二倍角的余弦公式【解析】【解答】解：由sinx1=sinx2=13，0<x1<x2<2π，可知x故答案为：B.

【分析】先根据已知条件sinx1=sinx2=13，0<9．【答案】B,C【知识点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】对于A项，取z1=3+i，z2对于B项，由|z1|=|又z1z1=|对于C项，因为|z1z对于D项，取z1=1，z2=i，满足故答案为：BC.

【分析】通过反例判断A、D项错误；根据复数的模与复数的关系判断B、C.10．【答案】A,B,D【知识点】众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数【解析】【解答】解：A、将10位评委的打分从小到大排列，第5个和第6个平均值为90+902=90，即中位数为90，故A正确；

B、由于10×60%=6，所以第60百分位数是第6个数和第7个数的平均数，即90+922=91，故B正确；

C、计算这10个数的平均数70+85+86+88+90+90+92+94+95+10010=89，中位数是90，故C错误；故答案为：ABD.

【分析】分别计算中位数、百分位数、平均数和方差，再逐项判断即可.11．【答案】A,C,D【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】解：由余弦函数图象与性质，可得T=2πω=2当ω=2时，可得f(x)=cos将函数f(x)的图象向右平移π3f(x−π若f(x)在区间(2π3，解得1+3k≤ω≤5又因为ω>0，所以只有当k=0时，此不等式有解，即1≤ω≤5若f(x)在区间(0，π)上只有一个零点，则πω+π故答案为：ACD．

【分析】由余弦型函数的周期公式，可判定A符合题意；当ω=2时，结合三角函数的图象变换，可判定B不符合题意；根据f(x)在区间(2π3，π)上单调递增，列出不等式组，求得ω的范围，可判定C符合题意；根据f(x)在区间12．【答案】B,C,D【知识点】平面内两直线的夹角与到角问题；组合几何体的面积、体积问题；棱柱的结构特征；简单组合体的结构特征【解析】【解答】解：A、如图一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱锥的两个侧面的交线分别为CE、DE，则

在梯形BDEF中，可知BD=3−2，BF=2，EF=3，DE=6，BE=13，设∠DEF=α，∠BEF=β，可得cosα=B、由图可知该“十字贯穿体”是由4个正方形和16个与梯形BDEF全等的梯形组成，故其表面积为S=4×4+16×3+3−22×2=112−162，故B正确；

C、如图两个正四棱锥的重叠部分为多面体CDGEST，取CS得中点I，将多面体CDGEST分成8个全等三棱锥C−GEI，GI=12CD=2，则S△GEI=12×2×2=2，且CI⊥平面GEI，由三棱锥体积

【分析】先根据图形分别求出CE、DE和CD的长度，再结合勾股定理判断交线是否垂直；由图形可知该“十字贯穿体”是由4个正方形和16个与梯形BDEF全等的梯形组成，分别计算正方形和梯形的面积，即可求得该“十字贯穿体”的表面积；体积用两个柱体体积减去重叠部分体积；由CE与BF的长度，通过图形构造直角三角形计算两条直线所成角的余弦．13．【答案】4【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示【解析】【解答】解：∵a⊥(a−b)，故答案为：4.

【分析】根据a⊥(14．【答案】2【知识点】复数的模；余弦函数的性质；同角三角函数间的基本关系；共轭复数【解析】【解答】解：因为z−1=cosθ+isinθ，得z=1+cosθ+isinθ，所以z=1+cosθ−isinθ，

根据复数模得计算公式得z=(1+cosθ)2+(−sinθ)2=2+2cos15．【答案】40π；2【知识点】棱锥的结构特征；球的体积和表面积；球内接多面体；余弦定理的应用【解析】【解答】解：如图，

设PC的中点为O，由PA⊥底面ABCD，推出PA⊥AC，PA⊥BC，PA⊥CD，

又BC⊥AB，AB∩PA=A，AB，PA⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB，同理可得CD⊥PD，因为PA=42，AC=22，所以PC=AC2+PA2=32+8=210，所以在Rt△PAC，Rt△PBC，Rt△PCD中，有OP=OC=OD=OB=OA=10，所以O为四棱锥P−ABCD外接球的球心，该球的半径为10，所以外接球的表面积为4π102=40π；

将△PAC绕AC翻折到与△DAC所在面重合时，P运动到P'处，连接P'B，交AC于点Q，如图，此时|PQ|+|QB|=

【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质确定球心，计算外接球的半径和表面积，将△PAC绕AC翻折到与△DAC所在面重合时，P运动到P'处，连接P'B，交AC于点Q，利用翻折后，平面上两点之间距离最短确定Q的位置，再由余弦定理求解最小值即可.16．【答案】−2【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理【解析】【解答】解：由余弦定理可知a2=b2+2bcsinA=b2+c2−2bccosA所以tanB=tanA2tanA+1，即tanA−9tanB=tanA−9tanA2tanA+1=2

【分析】由余弦定理，正弦定理以及两角和的正弦公式化简条件可得tanB=tanA17．【答案】（1）解：由z1为纯虚数，则4−m（2）解：由z1=∴λ=4−∵−1≤sin∴当sinθ=12时，λmin=∴实数λ的取值范围是[【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；同角三角函数间的基本关系【解析】【分析】（1）由z1为纯虚数，则4−m2=0m−2≠0，求解参数值；

（2）由z1=18．【答案】（1）解：由(0.（2）解：45×0.故本次防疫知识测试成绩的平均分为71（3）解：设受嘉奖的学生分数不低于x分，因为[80，90所以(90−x)×0故受嘉奖的学生分数不低于88分．【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数【解析】【分析】（1）由直方图区间频率和为1求参数a；

（2）根据直方图求物理测试成绩的平均分即可；

（3）根据直方图求出成绩从高到低排列且频率为0.19．【答案】（1）解：设A(x0，则AB=(故AB⋅AC=(所以2πω=4（2）解：由（1）得f(f(2)即−sin所以sin(φ+又因0<φ<π2，则所以φ+π3=【知识点】平面向量的数量积运算；三角函数的化简求值；含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】【分析】（1）设A(x0，0)，函数的最小正周期为π，得B(x0+T4，1)，C(x0+3T20．【答案】（1）证明：取BC中点H，分别连结EH，FH，因为F为B1C1所以BB1⊥所以FH⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以FH⊥BC，又E为AB的中点，则EH//AC，且AC⊥BC，所以因为EH，FH⊂平面EFH，EH∩FH=H，所以BC⊥平面EFH，因为EF⊂平面EFH，所以EF⊥BC；（2）解：由（1）知∠FEH为EF与平面ABC所成的角，所以∠FEH=π由AC=BC=2，得CCV【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角【解析】【分析(1)取BC中点H，分别连接EH，FH，由F为B1C1的中点以及三棱柱为直棱柱，推导出FH⊥平面ABC，即FH⊥BC，再由E为AB的中点得到EH⊥BC，最后根据线面垂直的判断定理、性质定理即可证明；

(2)由（1）知∠FEH为EF与平面ABC所成的角，根据AC=BC=2，求C21．【答案】（1）解：因为ab结合余弦定理，得a2即a2所以a（2）解：由1tan即cosB=si即a2+c所以b=32c所以cos【知识点】弦切互化；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理【解析】【分析】(1)由已知条件结合余弦定理角化边即可求解；

(2)根据弦化切以及两角和的正弦公式将原等式变为1tanB=sinBsinAsinC，即cos22．【答案】（1）证明：取线段A1B的中点H，连接HD，因为在△ABC中，D，E分别为A