河南省洛阳市2022-2023学年高二下学期期末数学理科试题

河南省洛阳市2022-2023学年高二下学期期末数学理科试题一、单选题1．若limΔx→0f(xA．2 B．1 C．12 2．已知随机变量X~N(3，σ2A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.73．已知两条直线l1：x+a2y+6=0，l2：(a−2)x+3ay+2a=0A．-1或0或3 B．-1或3 C．0或3 D．-1或04．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（）A．3 B．4 C．5 D．65．已知随机变量X的分布列为：X1234P0.10.20.30.4则D(2X+7)=（）A．1 B．3 C．4 D．96．已知直线y=x−2与抛物线y2A．14 B．13 C．127．曲线y=sinxxA．x+πy−π=0 B．x−πy−π=0C．πx+y−π=0 D．πx−y−π=08．某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.5；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.9．请问王同学第2天去A餐厅用餐的概率是（）A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.459．已知点P为直线y=x+1上的一点，M，N分别为圆C1：(x−3)2+(y−1)2=1与圆A．5 B．3 C．2 D．110．平面内有两组平行线，一组有6条，另一组有8条，这两组平行线相交，由这些平行线可以构成平行四边形的个数为（）A．14 B．48 C．91 D．42011．如图，F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点，|F1F2A．y=±2x B．y=±3x C．12．已知f′(x)是定义在R上的函数f(x)的导函数，对于任意的实数x，都有f(x)=f(−x)e2x，当x>0A．[−12，C．(−∞，−1二、填空题13．将5名大学生分配到4个乡镇去当村干部，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．14．投掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，记在30次试验中成功的次数为X，则E(X)=．15．已知数列{an}的首项a1=3216．在正方体ABCD−A1B1C1D①存在λ，μ，使得B1P∥平面②当λ=μ=1时，D1P⊥平面③当λ=μ时，C1P与平面A1④若点P到直线BB其中所有真命题的序号是．三、解答题17．在(2x+1（1）求n的值；（2）求展开式中含1x18．已知{an}是等比数列，前n项和为S（Ⅰ）求{a（Ⅱ）若对任意的n∈N∗，bn是lo19．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP=AB=AD=1，且直线PB与CD所成角的大小为π3（1）求BC的长；（2）求二面角D−PB−C的余弦值．20．已知圆S：x2+y2+4x−20=0（1）求曲线C的方程；（2）过S(21．第40届中国洛阳牡丹文化节以“花开洛阳、青春登场”为主题，紧扣“颠覆性创意、沉浸式体验、年轻化消费、移动端传播”，组织开展众多文旅项目，取得了喜人的成绩，使洛阳成为最热门的全国“网红打卡城市”之一．其中“穿汉服免费游园”项目火爆“出圈”，倍受广大游客喜爱，带火了以“梦里隋唐尽在洛邑”为主的汉服体验活动为了解汉服体验店广告支出和销售额之间的关系，在洛阳洛邑古城附近抽取7家汉服体验店，得到了广告支出与销售额数据如下：体验店ABCDEFG广告支出/万元3468111516销售额/万元6101517233845对进入G体验店的400名游客进行统计得知，其中女性游客有280人，女性游客中体验汉服的有180人，男性游客中没有体验汉服的有80人．附：参考数据及公式：i=17xi2=727，i=17yi2相关系数r=i=1在线性回归方程中y=bx+a中，χ2=nα0.050.010.001x3.8416.63510.828（1）请将下列2×2列联表补充完整，依据小概率值α=0.性别是否体验汉服合计体验汉服没有体验汉服女180280男80合计400（2）设广告支出为变量x（万元），销售额为变量y（万元），根据统计数据计算相关系数r，并据此说明可用线性回归模型拟合y与x的关系（若|r|>0.（3）建立y关于x的经验回归方程，并预测广告支出为18万元时的销售额（精确到0.1）．22．已知函数f(x)=1（1）若函数f(x)是增函数，求a的取值范围；（2）设函数f(x)的两个极值点分别为x1，x2（x1

答案解析部分1．【答案】C【知识点】导数的概念【解析】【解答】解：因为limΔx→0所以f′(x故答案为：C.【分析】根据题意结合导数的定义运算求解.2．【答案】B【知识点】正态密度曲线的特点【解析】【解答】解：因为X~N(3，σ2)可知正态曲线的对称轴为x=3，

所以P(1<X<5)=1−P(X>5)−P(X<1)=1−0.3×2=0.4，故答案为：B.【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解.3．【答案】D【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】【解答】解：若l1∥l2，则3a−a2(a−2)=0，

整理得a(a+1)(a−3)=0当a=0时，l1：x+6=0，l当a=−1时，l1：x+y+6=0，l当a=3时，l1：x+9y+6=0，l2：x+9y+6=0，则l1与l2故答案为：D.【分析】由l1∥l4．【答案】A【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的实际应用【解析】【解答】解：设从上至下层的灯数是an，n=1，2，3，⋯，7，

由题意可知：数列{a因为S7=a所以塔的顶层的灯数是a1故答案为：A.【分析】设从上至下层的灯数是an，n=1，2，3，⋯，7，由题意可知：数列{a5．【答案】C【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】解：由题意可得：E(X)=1×0.1+2×0.2+3×0.3+4×0.4=3，则D(X)=(1−3)2×0.1+(2−3)2×0.2+(3−3)2×0.3+(4−3)2×0.4=4×0.1+1×0.2+0×0.3+1×0.4=1，所以D(2X+7)=2故答案为：C.【分析】先根据分布列求E(X)，D(X)，再结合方差的性质运算求解.6．【答案】C【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】解：设A(x1，y1)，B(x2，因为kAB=y1−y2所以D(4，2)，故kOD故答案为：C.【分析】根据题意利用点差法可得D(4，2)，进而可得结果.7．【答案】A【知识点】导数的几何意义；导数的乘法与除法法则；基本初等函数导函数公式【解析】【解答】解：由题意可得：y′=xcosx−sinx所以曲线y=sinxx在点M(π，0)处的切线方程是y=−故答案为：A.【分析】根据题意结合导数的几何意义运算求解.8．【答案】B【知识点】全概率公式【解析】【解答】解：记事件Ai表示“第i天去A餐厅用餐”，事件Bi表示“第i天去B餐厅用餐”，由题意可知：P(A1)=P(所以王同学第2天去A餐厅用餐的概率为P=P(A故答案为：B.【分析】根据题意结合全概率公式运算求解.9．【答案】B【知识点】用斜率判定两直线垂直；平面内中点坐标公式；圆的标准方程；直线与圆相交的性质；直线和圆的方程的应用【解析】【解答】解：因为圆C1：(x−4)2+(y−1)2=1的圆心为C1(3，1)，半径r1=1，所以|PM|+|PN|≥|PC设C1(3，1)关于直线y=x+1的对称点为则b+12=a+12+1如图所示：

所以|PC1|+|PC所以|PM|+|PN|的最小值为5−2=3.故答案为：B.【分析】根据圆的性质可得|PM|+|PN|≥|PC1|+|PC2|−2，再求C110．【答案】D【知识点】分步乘法计数原理；简单计数与排列组合【解析】【解答】解：由题意可知：因此从这两组直线中各选两条直线，即可构成平行四边形，所以构成不同的平行四边形个数为C6故答案为：D.【分析】根据题中条件，从这两组直线中各选两条直线，即可构成平行四边形，由分步乘法计数原理结合组合数运算求解.11．【答案】A【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质【解析】【解答】解：设△APF1内切圆与AP切于点N，与

由切线的性质可知：|AM|=|AN|，|F1又因为|AF1|=|A可得|PF即2a=23又因为|F1F2|=2c=6所以此双曲线的渐近线方程为y=±2故答案为：A.【分析】根据切线的性质以及双曲线的半实轴长定义可得a=3，再由|F112．【答案】B【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合；导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：因为f(x)=f(−x)e2x令g(x)=exf(x)，则g(−x)=g(x)，所以g(x)为偶函数，

当x>0时，则g′(x)=e所以函数g(x)在(0，+∞)上单调递增，则g(x)在(−∞，0)上单调递减，因为f(a+1)≥e2a−1f(3a)即g(a+1)≥g(3a)，可得|a+1|≥|3a|，解得−14≤a≤1故答案为：B.【分析】令g(x)=exf(x)，根据f(x)=f(−x)e2x，可得g(−x)=g(x)，即g(x)为偶函数，求导，结合当x>0时，f(x)+f′(x)>0，利用导数判断函数g(x)在(0，+∞)上单调递增，进而可得在13．【答案】240【知识点】分步乘法计数原理；排列及排列数公式；组合及组合数公式；简单计数与排列组合【解析】【解答】解：先从5名大学生中选出2人做为整体看成一个人，共有C5再将4人分派到4个乡镇当村干部，有A4结合分步计数原理，共有10×24=240不同的分配方案.故答案为：240.【分析】利用捆绑法，先从5名大学生中选出2人做为整体看成一个人，再将4人分派到4个乡镇，根据分步计数原理运算求解.14．【答案】10【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布【解析】【解答】解：因为每次成功概率为p=26=13，则X~B(30，故答案为：10.【分析】由题意可知X~B(30，115．【答案】15【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列与不等式的综合【解析】【解答】解：因为an+1=3an可知数列{1an}是首项为1a所以1a1+1a2+1a3+⋅⋅⋅+1a所以n的最大值为15.故答案为：15.【分析】根据等差数列定义得出可知数列{1an}是首项为1a16．【答案】①②③【知识点】抛物线的定义；空间中直线与平面之间的位置关系；直线的方向向量；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面的位置关系【解析】【解答】解：以D为坐标原点，DA，DC，DD设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，D可得DA→=(1，0，0)，因为DP→=λDA设平面A1DC1的法向量为取x=1，则y=1，z=−1，所以法向量为m→对于①：因为B1P→=(λ−1，μ−1，−1)，

若B1P∥平面A1DC1，则B1P→对于②：当λ=μ=1时，D1P→=(1，1，−1)=m→，所以对于③：当λ=μ时，可知点P在线段DB上运动，

因为平面A1B1C1D1∥平面ABCD，

则C1P与平面ABCD所成角即为C1P与平面A1B1C1D1所成角，

对于④：由于BP⊥BB1，故点P到直线BB故答案为：①②③【分析】对于①②：建立空间直角坐标系，求平面A1DC1的法向量，利用空间向量分析判断；对于③：根据平行的性质可得∠C1PC17．【答案】（1）解：在(2x+1x)因为(2x+1所以2Cn2化简得：n3−9n2+14n=0解得n=7或n=2.n=2时，展开式只有3项，不符合题意；所以n=7.（2）解：由（1）知，(2x+1x)令7−32r=−2，得r=6所以展开式中含1x2的项为【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项【解析】【分析】(1)根据二项式系数结合等差中项可得2Cn218．【答案】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由已知，有1a1−1a1q=(II)由题意，得bn=12(设数列{(−1)nbT【知识点】对数的概念与表示；等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和【解析】【分析】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，根据等比数列的通项公式运算求解；

19．【答案】（1）解：由于PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AB，AD，AP两两垂直，故分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，∵AP=AB=AD=1，∴A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(设C(1，y，0)，则PB=(1，0，−1)∵直线PB与CD所成角大小为π3∴|cos即12×1+(1−y)2∴C(1，2，0)（2）解：设平面PBD的一个法向量为m=(x，y∵PB=(1，0，−1)，PD∴PB⋅m=x−z=0PD⋅m=y−z=0，令x=1，则∵平面PBC的一个法向量为n=(a∴PB⋅n=a−c=0BC⋅n=2b=0，令∴cos由几何体的特征可知二面角D−PB−C的平面角为锐角，∴二面角D−PB−C的余弦值为63【知识点】直线的方向向量；平面的法向量；异面直线；二面角的平面角及求法【解析】【分析】(1)建系．由直线PB与CD所成角大小为π3列式可求点C的坐标，进而可求得BC的长；

20．【答案】（1）解：圆S：x2+y由题意得，S(−2，0)，T(2，0)，QG是所以|GS|+|GT|=|GS|+|GP|=|PS|=26所以点G的轨迹是以S，T为焦点的椭圆，设其方程为x2a2则2a=262c=4b2=（2）解：由题意知，直线l的斜率不为0，设l：x=ty−2，M(x1，y1)，N(x联立x=ty−2x26当Δ＞0时，y1+y所以x0因为B是OA中点，所以A(−12因为A在曲线C：x2所以(−12化简得，t4得t2=5或t2所以直线l的方程为x=±5即x+5y+2=0或【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)根据题意可得|GS|+|GT|=26，结合椭圆定义即可求解方程；

(2)设l：x=ty−2，M(x121．【答案】（1）解：根据题意，列联表完成如下：性别是否体验汉服合计体验汉服没有体验汉服女180100280男