2022届重庆第二高高三第五次模拟考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知/（X）=1-2COS2（^X+-）（«〉0）.给出下列判断：

①若/（尤1）=1,/（尤2）=-1，且后一马1=兀，则。=2；

②存在（0,2）使得Ax）的图象向右平移?个单位长度后得到的图象关于y轴对称；

O

③若/（X）在［0,2兀］上恰有7个零点，则。的取值范围为为，叫）；

nTil（2

④若/（X）在一工,二上单调递增，则。的取值范围为0=.

_64」I3一

其中，判断正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

2.在满足0<%<%<4,可尹=婷的实数对（看,凹）（，=1,2,3,〃「一）中，使得％+电+…+Z-I<3x“成立的正整

数〃的最大值为（）

A.5B.6C.7D.9

0,x<l

3.已知函数=若不等式/（%）«|无一看对任意的xeR恒成立，则实数A的取值范围是（)

Inx,x>1J

A.B.[1,+℃)C.[0,1)D.(-1,0]

4.已知函数/(x)=x—«(x>0),g(x)=x+e*,/?(%)=%+1!1%(%>0)的零点分别为*,x2,刍，则()

A.xx<x2<x3B.x2<x]<x3

C.x2<x3<x]D.x3<X]<x2

5.已知复数2=2一+5，，则|z|=()

2-z

A.B.5&C.3亚D.2石

6.设复数二满足二=1+3贝!!z=（)

1.11.

2222

7.如图所示，在平面直角坐标系中，尸是椭圆［+。=13>6>0）的右焦点，直线y=，与椭圆交于B,。两

点，且48尸。=90。，则该椭圆的离心率是（）

8.关于圆周率；r,数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可

以通过设计下面的实验来估计》的值：先请全校〃?名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对（x,y）;再统计两数

能与1构成钝角三角形三边的数对（X,田的个数a;最后再根据统计数a估计71的值，那么可以估计71的值约为（）

4。。+2a+2加4。+2m

A.—B.---------C.------------D.---------------

mmmm

9.已知产为抛物线C：V=8x的焦点，点4（1,〃。在C上，若直线A尸与C的另一个交点为8,贝!!|4同=（）

A.12B.10C.9D.8

10.已知函数/（x）=hw-2+a在xw［l,e］上有两个零点，则。的取值范围是（）

—]X>0

11.己知函数/(尤)=<,/'.'c若函数/(x)的图象上关于原点对称的点有2对，则实数人的取值范围是()

—In(-x),x<U,

A.(f,0)B.(0,1)C.(0,+力)D.10,；

12.执行如图所示的程序框图，若输出的5=3二，则①处应填写()

A.左<3?B.鼠3?C.鼠5?D.左<5?

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知一组数据-1,1,0,-2,x的方差为10,则工=

14.函数“X)满足/(x)=.f(%-4),当xe[—2,2)时，/(x)=，2"+3a+a,2"，若函数”司在[o,2O2O)

\l-x,a<x<2

上有1515个零点，则实数。的范围为.

15.已知函数是偶函数，直线y=f与函数y=/(x)的图象自左向右依次交于四个不同

点A,B,C,D.若AB=5C,则实数，的值为.

16.如图梯形A8CO为直角梯形，AB±AD,CD±AD,图中阴影部分为曲线y=/与直线x=x+2围成的平面图形,

向直角梯形ABC。内投入一质点，质点落入阴影部分的概率是

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点。，其短半轴长为1,一个焦点坐标为(1,0),点A在椭圆C上，点B在

直线y=夜上，且OA_LQ6.

（1）证明：直线AB与圆f+y2=i相切；

（2）设AB与椭圆C的另一个交点为。，当AAOB的面积最小时，求8的长.

221

18.（12分）已知椭圆。：「+2=13＞。＞0）的焦点为F2,离心率为7,点尸为椭圆C上一动点，且6K

a~b~2

的面积最大值为6,。为坐标原点.

⑴求椭圆C的方程；

⑵设点M（x，y）,N（%,%）为椭圆C上的两个动点，当m々+%已为多少时，点0到直线MN的距离为定值.

19.（12分）椭圆W：1+六=1（。＞人＞0）的左、右焦点分别是A，K，离心率为斗,左、右顶点分别为A，

B.过月且垂直于x轴的直线被椭圆W截得的线段长为1.

（1）求椭圆W的标准方程；

（2）经过点P（l,0）的直线与椭圆W相交于不同的两点C、D（不与点A、3重合），直线C8与直线X=4相交于

点M,求证：A、。、M三点共线.

20.（12分）已知等比数列｛%｝中，％=2,%+2是生和小的等差中项.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

（2）记bn=anlog2an,求数列也｝的前〃项和Tn.

21.（12分）已知三棱锥A-BCD中侧面与底面BC。都是边长为2的等边三角形,且面43。，面BCD,M、N

分别为线段A。、A3的中点.尸为线段BC上的点，且MNLNP.

（D证明：P为线段8C的中点；

（2）求二面角A-NP-M的余弦值.

22.（10分）在A48c中，角A,8,C所对的边分别为a,Z7,c,向量相=（2a-符,gc）,向量京=（cosB,cosC）,且说//兀

（1）求角C的大小;

(2)求y=s加4+Gs加(3-马的最大值.

3

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

JT

对函数/(X)化简可得/(x)=sin(28+F),进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换,

6

对四个命题逐个分析，可选出答案.

【详解】

因为fM=l-2cos2(69x+—)=-cos(2d9x+—)=sin(269x+—),所以周期7.

3362a)co

1jr।

对于①，因为.=R=-T,所以T=2TT=—,即④=二，故①错误；

1lm,n2co2

对于②，函数Ax)的图象向右平移?个单位长度后得到的函数为y=sin(2ax-丝+乙)，其图象关于>轴对称，则

636

一笠+w=7+E(%eZ),解得口=—1—3代女eZ),故对任意整数左，口仁(0,2),所以②错误；

362

对于③，令r(x)=sin(2Gx+P)=0,可得2。工+四=E(%£Z),则工=包>———,

66Ico12。

TT

因为/'(0)=sin2>0,所以f(x)在［0,2可上第1个零点%>0,且玉=△,所以第7个零点

62co12a)

71Tl兀7T3兀4171人工-i

电=----—F3T=------------—I-----=—,若存在第8个零点/，则

2①12a)2G12G①12①

7i兀7兀717Tt47K

s2a)12a)22a)\2CD2a)12G'

41兀47K4147

所以x42Tl<4,即——<2n<——，解得一Ko<—,故③正确；

712a)12。2424

TT71兀所以，,6J62,解得又。>(),所以0<啰42,

对于④，因为/(0)=sin—,且

66'471717133

故④正确.

故选：B.

【点睛】

本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算

求解能力与推理能力，属于中档题.

2.A

【解析】

InX：Iny；,、Inf、

由题可知：0<%<4,且x”短可得一=一么，构造函数恤）=——（0<Y4）求导，通过导函数求出/巾）

xiy>t

的单调性，结合图像得出入n=2,即2WX]<e得出3x“<3e,

从而得出〃的最大值.

【详解】

因为0<%<y<4,xJ=短

则InX,=In，即yiInxj=x,.Inyi

lnx;Inv,

整理得----=——.令f=x,.=y,.,

Xi%

设〃"）=皿（0<区4）,

1-

,.—,/—1,Inzii,

贝n"'①"^^=中，

令〃'（f）>0,则0<f<e,令则e</W4,

故〃（。在（0,e）上单调递增，在（e,4）上单调递减，则/7（e）=1，

e

因为七<y，〃（%）="（y）,

由题可知：〃（f）=；ln4时，则，mm=2,所以2W/<e,

所以<e<y,<4,

当x“无限接近e时，满足条件，所以24x,<e,

所以要使得内+/+…+ZT<3x“<3ea8.154

故当X]=%=%3~x4=2时，可有玉+X2+&+X4=8<8.154,

故“―1«4,即〃W5,

所以：〃最大值为5.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法，同时考查转化思想和解题能力.

3.A

【解析】

/、zxf0,x<1,.

先求出函数/(x)在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数/(x)=和g(x)=|x-4的图象,

111人,人—JL

利用数形结合进行求解即可.

【详解】

当时，/(x)=lnx,n/(x)=gn/()=l,所以函数/(x)在(1,0)处的切线方程为：y=x-l,令

g(x)=|x-《，它与横轴的交点坐标为(A,0).

在同一直角坐标系内画出函数/(x)=1和g(x)=|x-4的图象如下图的所示：

111—A

利用数形结合思想可知：不等式-M对任意的xeR恒成立，则实数A的取值范围是攵W1.

故选：A

【点睛】

本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.

4.C

【解析】

转化函数f(x)=x-y/x(x>Q),g(x)=x+e*,Zz(x)=x+lnx(x>o)的零点为y=x与y=4(x>0),y=-ex,

y=-lnx(x>0)的交点，数形结合，即得解.

【详解】

函数y(x)=x-Vx(x>0),g(x)=x+e*,/2(x)=x+lnx(x>0)的零点，即为y=x与旷=&*>。)，y=-ex,

)=—lnx(x>0)的交点，

作出y=x与y=J7(x>0),y=—e"y=-lnx(x>0)的图象，

故选：C

【点睛】

本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题.

5.B

【解析】

利用复数除法、加法运算，化简求得二，再求得忖

【详解】

z=三+51=5，：匕"+5i=—l+7i,故|z=，(-1)2+72=50.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.

6.D

【解析】

根据复数运算，即可容易求得结果.

【详解】

_『_-i（l-i）_T-i_11.

'-T77-（I+D（I-O-2

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的四则运算，属基础题.

7.A

【解析】

联立直线方程与椭圆方程，解得3和。的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示可得3c2=24,由离心率定义可得结

果.

【详解】

’22

%y1

----F—=1x=±——a(八(、

2«百b

由1,，得9所以3——a,—,C,

bb2222

y=—77

[2y=-

由题意知R（c,O）,所以即=c+与a,—g,CF=c一与a,—g.

因为ZBFC=90°,所以8尸，CE,所以

[工62323212

BFCF=CH--a\\c------a+—=c——aH------------c——a=0n.

（2乂2）44442

所以3c2=2〃，所以e=£=迈，

a3

故选：A.

【点睛】

本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率公式，属于基础题.

8.D

【解析】

0<x<l

由试验结果知加对0〜1之间的均匀随机数x，y，满足,，面积为1,再计算构成钝角三角形三边的数对（x，y）,

[0<y<l

满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计》的

值.

【详解】

0cx<1

解：根据题意知，加名同学取〃对都小于1的正实数对(x,y),即＜

0<"1'

对应区域为边长为1的正方形，其面积为1,

x2+y2<\1

x+y>1

若两个正实数乂丁能与1构成钝角三角形三边，则有〈

0<x<1

0<y<1

一，…cn1r_aTV1eh4a+2m

其面积s=1一，；则有蔡=^一，'解得〃=r-

故选：D.

【点睛】

本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题.线性规划可行域是一个封闭的图形，可以

直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个

变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.

9.C

【解析】

求得A点坐标，由此求得直线A尸的方程，联立直线A尸的方程和抛物线的方程，求得3点坐标，进而求得|A8|

【详解】

抛物线焦点为尸(2,0),令x=l,/=8,解得y=±2及，不妨设A(l,20),则直线Af的方程为

)，=言(x—2)=—20(x—2),由解得4(1,2加),8(4,-4闾，所以

|阴=“4—炉+㈠夜—2何=9.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查抛物线的弦长的求法，属于基础题.

10.C

【解析】

对函数求导，对a分类讨论，分别求得函数/(x)的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解.

【详解】

•••r(x)W+?=管，辿回

当心一1时，f'(x)>0,〃x)在［l,e］上单调递增，不合题意.

当e时，f\x)<0,/(x)在［l,e］上单调递减，也不合题意.

当时，则xe［l,-a)时,/,(x)<0,/(x)在［1,一。)上单调递减，xe(-a,e］时，/,(x)>0,/(x)在

(-a,e］上单调递增，又/.(1)=0,所以/(x)在xe［l,e］上有两个零点，只需/(e)=l-?+aNO即可，解得

—^―<6T<-1.

l-e

综上，。的取值范围是一1.

I［Fl-e，)

故选C.

【点睛】

本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题.

11.B

【解析】

考虑当x〉0时，"一l=lnx有两个不同的实数解，令〃(x)=lnx+1,则/z(x)有两个不同的零点，利用导数和

零点存在定理可得实数攵的取值范围.

【详解】

因为/(%)的图象上关于原点对称的点有2对，

所以x>0时，依一l=lnx有两个不同的实数解.

令/?(x)=lnx—丘+1,则〃(x)在(0,+力)有两个不同的零点.

又/(力=匕*,

当ZWO时，〃'(x)>0,故/i(x)在(O,+e)上为增函数，

/z(x)在(0,+力)上至多一个零点，舍.

当%>0时，

若则〃(x)>0,〃(x)在(0,£|上为增函数；

若Xe(：,+oo),则〃'(X)<O,〃(X)在上为减函数；

故〃

yAt/ft

因为〃(x)有两个不同的零点，所以ln：＞0,解得0＜女＜1.

K

<0,故〃(x)在[o]

又当0＜女＜1时，且〃上存在一个零点.

ek

又〃目

=In=——+1=2+2Inf—e/其中r=，>l.

k2kk

令g(f)=2+21nf-ef,则=

当£>1时，g'(f)<0,故g(。为(Lx)减函数,

所以8(。<8(1)=2_0<()即力<0.

因为台亲＞卜所以〃(力在1

,+oo上也存在一个零点.

综上，当0＜攵＜1时，A(x)有两个不同的零点.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的零点，一般地，较为复杂的函数的零点，必须先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在定理说

明零点的存在性，本题属于难题.

12.B

【解析】

模拟程序框图运行分析即得解.

【详解】

k—\,S-O',k-2,S=0H------=—

22+26

Z=3,S='+]_A=4,S」+13

632+34442+410

所以①处应填写“鼠3?”

故选：B

【点睛】

本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.7或一8

【解析】

依据方差公式列出方程，解出即可.

【详解】

Y—2

-b1,0,-2,X的平均数为每一，

,x-2丫八x-2?x-2丫(X—2丫(x-2?l

所以.一1一亍卜卜亍J+/—亏J+卜2—亍J+卜一亍Jj=1i0n

解得x=7或％=-8.

【点睛】

本题主要考查方差公式的应用.

14.--,0

2

【解析】

由已知，〃力在［-2,2)上有3个根，分2>a»l,0<a<l,-l<tz<0,一2<aW—l四种情况讨论“X)的单调

性、最值即可得到答案.

【详解】

由已知，/(X)的周期为4,且至多在［-2,2)上有4个根，而［0,2020)含505个周期，所以/(X)在“2,2)上有3个

根，^g(x)=2x3+3x2+a,g'(x)=6/+6x,易知g(x)在(一1,0)上单调递减，在(9,一1),(L”)上单调递增,

又g(—2)=a-4<0,g⑴=a+5>0.

若2>aNl时，/(x)在(a,2)上无根，在［-2,0必有3个根,

/(-1)>Q+1>0

即《此时。W0；

/(0)<0a<0

若0<a<l时，“X)在(”,2)上有1个根，注意到/(0)=a>0,此时“X)在［-2,a］不可能有2个根，故不满足;

/(-1)>01

若—l<a40时，要使“力在［-2,0有2个根,只需，,解得<«<0；

/(«)<02

若一2<aW—1时，/(x)在［—2,a］上单调递增，最多只有1个零点，不满足题意;

综上，实数。的范围为-LsaWO.

2

故答案为：一了。

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，涉及到函数的周期性、分类讨论函数的零点，是一道中档题.

15.--

2

【解析】

由/(x)是偶函数可得x>0时恒有/(—x)=/(%),根据该恒等式即可求得。c的值，从而得到，令，=/(x),

可解得A,B,。三点的横坐标，根据A8=3。可列关于/的方程，解出即可.

【详解】

解：因为f(x)是偶函数，所以x>0时恒有/(一幻=/(幻，gp2x2-bx+c=ax2-4x-l,

所以(a—2)x2+(/?-4)x—c—1=0>

a—2=0

所以<匕-4=0,解得。=2,b=4,c=-l；

c+l=0

2d—4x—1,x..0

所以f(x)=<

2x2+4x-l,x<0

由f=2d+4x-l,即2d+4x-l-f=0,解得x=T±「j2f+6；

-—

故xA=1—J2t+6,4=-1+5J2t+6.

由1=2丁-4》-1,8P2x2-4A-l-r=0,解得x=l士;,2r+6.

故%=1-gJ2f+6,xD=1+—>j2t+6.

因为AB=BC,所以乙一乙=七一乙，即\/2f+6=2-j2f+6,解得》=-3,

故答案为：—-.

2

【点睛】

本题考查函数奇偶性的性质及二次函数的图象、性质，考查学生的计算能力，属中档题.

16.之

5

【解析】

联立直线与抛物线方程求出交点坐标，再利用定积分求出阴影部分的面积，利用梯形的面积公式求出S"。，最后根

据几何概型的概率公式计算可得；

【详解】

y=x2[x=2fx=-1-八

解：联立厂解得，或1，即8(2,4),C(-l,l),D(-1,O),A(2,0),

y=x+2[y=4[y=i

2

阴影=j[(x+2)-巧公=吴+2%一=5,S^CD=(l+4)x3xl=y

-1一.一

9

2

3

故答案为：-

【点睛】

本题考查几何概型的概率公式的应用以及利用微积分基本定理求曲边形的面积，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)见解析；(2)亚.

3

【解析】

(1)分斜率为0,斜率不存在，斜率不为0三种情况讨论，设。4的方程为>=依，可求解得到|OAf=;言，

|。8『=2+2/，可得。到AB的距离为1,即得证；

12+2女2

(2)表示△498的面积为S=；；|Q4|-|O8|=/,利用均值不等式，即得解.

【详解】

(1)由题意，椭圆C的焦点在x轴上，且匕=c=l,所以及.

所以椭圆C的方程为三+产=1.

2

由点B在直线y=啦上，且。4_L05知。4的斜率必定存在，

当。4的斜率为0时，|OA|=a,\OB\=y[2,

于是|AB|=2,。到AB的距离为1,直线AB与圆f+>21相切.

9

当。4的斜率不为0时，设。4的方程为了=丘，与5+9=1联立得(1+2F)/=2,

由八]2_222&-II-3JTIA|22+2氏2

所以4二■;―T7T>y]=----7，从而04「二------7•

1+2&2人1+2廿1+2公

而。3J_Q4,故QB的方程为％=一6，而3在)，=后上，故x=_叵k，

从而|。*2+2也于是高+苏=1.

此时，。到AB的距离为1,直线与圆龙2+丁=1相切.

综上，直线与圆f+y2=i相切.

(2)由(1)知，AAQB的面积为

12+2左21+(1+2公U1

51J1+2A:?

上式中，当且仅当k=0等号成立，所以AAOB面积的最小值为1.

此时，点A在椭圆的长轴端点，8为(0,0).

不妨设A为长轴左端点，则直线AB的方程为了=%+血，

代入椭圆C的方程解得先,=2包

即_)4=1,^=|-所以|0。|=半・

【点睛】

本题考查了直线和椭圆综合，考查了直线和圆的位置关系判断，面积的最值问题，考查了学生综合分析，数学运算能

力，属于较难题.

18.(1)土+片=1；(2)当％工,+%%=0时，点O到直线MN的距离为定值空I.

437

【解析】

(1)耳用的面积最大时，P是短轴端点，由此可得历=6，再由离心率及〃=£+，可得a,b,从而得椭圆

方程；

(2)在直线MN斜率存在时，设其方程为.'，="+加，现椭圆方程联立消元()')后应用韦达定理得怎+々，％毛，

注意/>0,一是计算玉々+凹必，二是计算原点到直线MN的距离，两者比较可得结论.

【详解】

(1)因为。在椭圆上，当P是短轴端点时，P到X轴距离最大，此时公尸耳工面积最大，所以;x2cxb=bc=C，

be=6

a=2

c_1,解得,=石,

由＜

a2

C=1

a2=b2+c2

92

所以椭圆方程为土+匕=1.

43

m\nr2

(2)在玉wx,时，设直线MN方程为、="+加，原点到此直线的距离为"=/,，即/

Jl+k2\+k2

y=kx+m

由,x2y2，得（3+4攵2）/+8的a+4>—12=0,

143

2222

A=Mkm-4（3+4左2）（4加2_]2）>0,m<4k+3，

8km4m2-12

所以％+x=—XiX2~~，

23+4公1-3+4k2

2

xtx2+y{y2-x,x2+（kxi+m）（kx2+m）=（l+k}xix2+km{x}+x2）+nr

4m2-127川一12（公+1）

=（1+攵2）2

3+4公3+4公3+4k2

所以当玉工2+y％=0时，加2=?(1+公)，筋=4.=口，"=冬包为常数.

71+k77

若％=工2，则弘=一必，修々+必必=x；-y：=°，x；=y:,/=一,d=|R=r——，

7117

综上所述，当玉々+,%=()时，点0到直线MN的距离为定值上叵.

7

【点睛】

本题考查求椭圆方程与椭圆的几何性质,考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力.解题方法是“设而不求”法.在

直线与圆锥曲线相交时常用此法通过韦达定理联系已知式与待求式.

19.（1）—+y2=l；（2）见解析

4-

【解析】

2b2

（1）根据已知可得竺=1,结合离心率和。，仇c关系，即可求出椭圆W的标准方程；

a

（2）CD斜率不为零，设CO的方程为+与椭圆方程联立，消去x,得到C,。纵坐标关系，求出8c方

程，令x=4求出M坐标，要证A、D、加三点共线，只需证3"一"”=0,将心/,一心,“分子用纵坐标表示,

即可证明结论.

【详解】

22

（1）由于02=/一从，将X=-C代入椭圆方程=+4=1,

CTb2

得了=±工，由题意知祖=1,即a=2〃.

aa

又e=±=&,所以a=2,b=L

a2

r2

所以椭圆W的方程为—+/=1.

4

（2）解法一：

依题意直线8斜率不为0,设co的方程为X=〃?y+1,

x-my+\

联立方程,Y

消去x得(〃/+4)丁+2my-3=0，

—+/=1

14•

由题意，得/>0恒成立，设。（孙>2），

bi।2m3

所以X+%=一->x%=一一;-7

ITT+4ITT+4

直线CB的方程为y=-A;（x-2）.令x=4,得知（4,一冯）.

玉一2玉_2

又因为4—2,0）,。（々，必），

则直线AD,AM的斜率分别为原。=上7，卜,.=豕）1、，

x2+23（X|-2）

21_3%a-2)一y(12+2)

所以-^AM

X)+23(百一2)3(X—2)(^2+2)

上式中的分子3y2(*-2)—%(x2+2)=3%。孙一1)一X(加％+3)

，心“一的M=0.所以A，D,M三点共线・

解法二：

当直线CO的斜率攵不存在时，由题意，得CO的方程为x=l,

代入椭圆卬的方程，得C(l,立)，0(1,-立)，

22

直线CB的方程为y=一日(x-2).

则M(4,-G),AM=(6,-G)，AD=(3,-—),

所以布=2•方，即A,D,"三点共线.

当直线CD的斜率攵存在时，

设cr＞的方程为'=&"-1)(%H0),C(M，y),。(々,〉2)，

'y=k(x-l),

联立方程’Y消去y,得(4/+1)/-8公》+4/一4=(

~+rT，

I4

“24*2—4

由题意，得』〉0恒成立，故石+看=—"，％々=竺一・

直线CB的方程为y=4X(x-2).令x=4,得M(4,2\).

须一2玉一2

又因为A(—2,0),D(x2,y2)9

则直线AD,AM的斜率分别为心°=一三，kAM=,

入2+23(玉一2)

213)，2」-2)一%(々+2)

所以心。一心”=

9+23(Xj-2)3(x)-2)(X2+2)

上式中的分子3%(%-2)-y(w+2)=-1)(西一2)—2(%—1)(工2+2)

4k2-4

=2辰］三一5%(%+*)+84=2kx―：----5kx---+8女=0

4k~+14A:+1

所以怎。-脑=0.

所以A,D,M三点共线.

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要熟练掌握根与系数关系，设而不求方法解决相交弦问题，考查

计算求解能力，属于中档题.

20.(1)a„=2n(2)4=2+(〃-1)・2"+1

【解析】

(1)用等比数列的首项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果;

(2)把(1)中求得的结果代入瓦=a"・log2a",求出瓦”利用错位相减法求出A,.

【详解】

⑴设数列｛%｝的公比为夕，

由题意知：2(%+2)=4+4，

<y3—2g2+<7