函数极限与连续性知识点及典例

高等数学电子教案1a------高等数学------高等数学主要内容典型例题习题

课第一章函数极限与连续2a------高等数学------高等数学一、基本要求1、理解函数的概念、了解函数的性质.2、理解数列和函数极限的定义；掌握极限的性质、存在准则，熟练应用极限运算法则求数列和函数极限。3、了解无穷小与无穷大的定义和性质，掌握等价无穷小的运算性质。4、掌握函数连续性和间断点，理解连续函数的性质。3a------高等数学------高等数学（一）极限的概念（二）连续的概念二、主要内容4a------高等数学------高等数学左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限函数极限等价无穷小及其性质唯一性无穷小两者的关系无穷大5a------高等数学------高等数学1.极限的定义6a------高等数学------高等数学7a------高等数学------高等数学左极限右极限8a------高等数学------高等数学9a------高等数学------高等数学★另两种情形:10a------高等数学------高等数学无穷小:极限为零的变量称为无穷小.绝对值无限增大的变量称为无穷大.无穷大:在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系2.无穷小与无穷大11a------高等数学------高等数学定理1在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质12a------高等数学------高等数学定理推论1推论23.极限的性质13a------高等数学------高等数学4.求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.14a------高等数学------高等数学5.判定极限存在的准则(夹逼准则)15a------高等数学------高等数学(1)(2)6.两个重要极限16a------高等数学------高等数学定义:7.无穷小的比较17a------高等数学------高等数学定理(等价无穷小替换定理)8.等价无穷小的性质9.极限的唯一性18a------高等数学------高等数学左右连续在区间[a,b]上连续连续函数的性质初等函数的连续性间断点定义连续定义连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性

振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类19a------高等数学------高等数学1.连续的定义20a------高等数学------高等数学定理3.连续的充要条件2.单侧连续21a------高等数学------高等数学4.间断点的定义22a------高等数学------高等数学(1)跳跃间断点(2)可去间断点5.间断点的分类23a------高等数学------高等数学跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点:可去型第一类间断点跳跃型0yx0yx24a------高等数学------高等数学0yx无穷型振荡型第二类间断点0yx第二类间断点25a------高等数学------高等数学6.闭区间的连续性7.连续性的运算性质定理26a------高等数学------高等数学定理1

严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.定理28.初等函数的连续性定理327a------高等数学------高等数学定理4

基本初等函数在定义域内是连续的.定理5

一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.9.闭区间上连续函数的性质定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.28a------高等数学------高等数学定理上连续，且那末在开区间点3(零点定理)设函数)(xf在闭区间

[]ba,)(af与)(bf异号(即0)()(<b.faf),()ba,内至少有函数)(xf的一个零,即至少有一点x)(ba<x<，使0)(=xf.定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.29a------高等数学------高等数学推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.定理4(介值定理)设函数)(xf在闭区间

[]ba,

上连续，且在这区间的端点取不同的函数值

Aaf=)(

及

Bbf=)(,那末，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间()ba,内至少有一点x，使得cf=x)(

)(ba<x<.30a------高等数学------高等数学2.1.3.

典型例题31a------高等数学------高等数学6.4.5.32a------高等数学------高等数学

典型例题解答1.33a------高等数学------高等数学解将分子、分母同乘以因子(1-x),则34a------高等数学------高等数学解解法讨论2.35a------高等数学------高等数学36a------高等数学------高等数学解3.37a------高等数学------高等数学4.解38a------高等数学------高等数学39a------高等数学------高等数学40a------