四边形性质探索

四边形性质探索课前预习复习老知识，为学新知识扫清障碍，每周日进行。课前预习复习老知识，为学新知识扫清障碍，每周日进行。课前预习(在老师讲新课前完成这些内容，可参考知识导学(#250258)；自己完成的用蓝色笔作答，上网学习作答的用黑色笔；订正用红色笔)重点：___________________________________________________________难点：___________________________________________________________疑点：___________________________________________________老知识点：课堂笔记(左侧课堂上蓝色笔记录作答，回家参考知识导学用黑色笔作答，右侧记录老师补充的知识，订正用红色笔作答；)知识点一：平行四边形〔一〕定义：两组对边分别的四边形叫做平行四边形。〔二〕性质：1〕对边____________；2〕对角______；邻角_____；3〕对角线___________；4〕中心对称图形〔三〕面积：〔四〕平行线的性质〔1〕平行线间的距离都〔2〕等底等高的两个三角形或平行四边形的面积相等。〔五〕判定：边：1〕两组对边分别________的四边形是平行四边形2〕两组对边分别________的四边形是平行四边形3〕一组对边________的四边形是平行四边形角：4〕两组对角分别________的四边形是平行四边形5〕两组邻角分别________的四边形是平行四边形一边一角：6〕一组对边________，一组对角_________的四边形是平行四边形对角线：7〕对角线____________的四边形是平行四边形〔六〕取值范围：利用三角形的性质：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边如：平行四边形ABCD两对角线的长分别为6和8，那么较短边长x的取值范围为.〔在中，，AO＝，BO＝〕〔七〕平行四边形的作图〔1〕两邻边和夹角；〔2〕一边、一条对角线及其夹角；〔3〕一边和两条对角线；〔4〕两邻边和一条对角线；〔5〕一边和一个内角以及过这个角顶点的一条对角线.知识点二：矩形〔一〕定义：有一个角是的平行四边形叫做矩形。〔二〕性质：1〕具有平行四边形的所有性质；2〕四个角都是______；3〕对角线_____；4〕中心对称图形，轴对称图形.〔三〕面积：〔四〕由矩形得直角三角形的性质：〔1〕直角三角形斜边上的中线等于的一半.如：∵在中，且AO＝CO∴BO===〔2〕直角三角形中，30度角所对应的直角边等于的一半.如：∵在中，且∴AB=AO=CO=〔五〕判定：1)有一个角是_____________的平行四边形是矩形.2〕对角线______________的平行四边形是矩形.3〕三个角都是____________的四边形是矩形.知识点三：菱形〔一〕定义：有一组邻边的平行四边形叫做菱形.〔二〕性质：1〕具有平行四边形的一切性质；2〕四条边________；3〕两条对角线__________，并且每一条对角线平分________；4〕中心对称图形，轴对称图形.〔三〕面积：〔四〕判定：1〕一组邻边__________的平行四边形是菱形.2〕对角线____________的平行四边形是菱形.3〕四边______的四边形是菱形.知识点四：正方形〔一〕定义：有一组邻边相等且有一个角是的平行四边形叫做正方形.〔二〕性质：1〕对边_______；2〕四个角都是_______；3〕四条边都______；4〕对角线_________________，对角线____________；5)两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.6〕中心对称图形，轴对称图形.〔三〕面积：〔四〕判定：1〕有一个角是______的菱形是正方形；2〕一组邻边_______的矩形是正方形；3〕对角线________的菱形是正方形；4〕对角线________的矩形是正方形；5〕对角线_______________的四边形是正方形；6〕四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形知识点五：梯形〔一〕定义：一组对边平行而另一组对边的四边形叫梯形；有一个角是直角的梯形叫；有两条腰相等的梯形叫做梯形.〔二〕等腰梯形性质：1〕两底平行，两腰相等；2〕同一底边上的________相等；3〕两条对角线_________；4〕轴对称图形〔底的中垂线就是它的对称轴〕．〔三〕面积：〔四〕等腰梯形判定：1〕_____________的梯形是等腰梯形；2〕同一底边上的__________的梯形是等腰梯形；3〕对角线_____________的梯形是等腰梯形．〔五〕解决梯形问题的常用方法〔如下列图所示〕：〔1〕“作高〞：使两腰在两个直角三角形中．〔2〕“移对角线〞：使两条对角线在同一个三角形中．〔3〕“延长腰〞：构造具有公共角的两个三角形．〔4〕“等积变形〞：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形．综上，解决梯形问题的根本思路：梯形问题三角形或平行四边形问题，这种思路常通过平移或旋转来实现．经典例题经典例题题目千千万，题型一二三，总结经典例题，掌握解题规律，学会举一反三。类型一：平行四边形例1．如图，在□ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交与点M，CE与DF交于点N．求证：四边形MFNE是平行四边形．思路点拨：此题告诉我们DF∥BE，要证明四边形MFNE是平行四边形，故只要说明MF∥NE即可。举一反三：☆【变式1】如图，等腰△ABC中，D是BC边上的一点，DE∥AC，DF∥AB，通过观察分析线段DE，DF，AB三者之间有什么关系，试说明你的结论．【变式2】一块形状如下图的玻璃，其中DEF局部不小心被打碎了，现AE∥BC，并测得AB=60cm，BC=80cm，∠A=120°，∠C=150，你能设计一个方案，根据测得的数据求出AD的长吗？类型二：矩形例2．如右图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线A—B—C—D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t〔s〕，t为何值时，四边形APQD也为矩形？思路点拨:要学会用代数法解几何问题．举一反三：【变式1】〔2023山东青岛〕把一张矩形纸片〔矩形ABCD〕按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．假设AB3cm，BC5cm，那么重叠局部△DEF的面积AABCFE′〔〕D类型三：菱形例3．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，那么∠CDF等于〔〕A．80°B．70°C．65°D．60°思路点拨:考查线段中垂线的性质及菱形的特征，并借助全等解决问题，平时应对重点知识注意积累.举一反三：☆【变式1】如图，平行四边形中，，，．对角线相交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于点．〔1〕证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形；〔2〕试说明在旋转过程中，线段与总保持相等；〔3〕在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数．AABCDOFE类型四：正方形☆例4．〔2023湖北黄冈〕如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。思路点拨:猜测AE=EF，证明线段相等，需证明含有这两条线段的三角形△AHE≌△ECF举一反三：【变式1】如图〔1〕，正方形ABCD和正方形CEFG有一公共顶点C，且B、C、E在一直线上，连接BG、DE．〔1〕请你猜测BG、DE的位置关系和数量关系？并说明理由．〔2〕假设正方形CEFG绕C点向顺时针方向旋转一个角度后，如图〔2〕，BG和DE是否还存在上述关系？假设存在，试说明理由；假设不存在，也请你给出理由．类型五：梯形例5．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，AB＝7，BC＝12，求∠B的度数．思路点拨:在梯形中，假设有关腰的条件，一般平移一腰，产生三角形和平行四边形，使分散的条件集中起来，为解决问题创造条件，这是梯形中作辅助线的常用方法．举一反三：【变式1】梯形ABCD，如下图，其中AB∥CD，现要求添加一个条件．例如AD＝BC，使梯形ABCD是等腰梯形，那么除了AD＝BC外，还可添加一个什么条件，能使梯形ABCD是等腰梯形？甲、乙、丙、丁四名同学分别添加了一个条件．甲：∠A＝∠B；乙：∠B＋∠D＝180°；丙∠A＝∠D；丁：梯形是轴对称图形．你认为哪些同学的条件符合要求？理由是．你能另外添加一个其他的条件，使梯形ABCD是等腰梯形吗？总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了。稳固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了。稳固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。总结与测评〔一〕转化思想〔又叫化归思想〕转化思想就是将复杂的问题转化为简单的问题，或将陌生的问题转化为熟悉的问题来处理的一种思想，本章应用化归思想的内容主要有两个方面：〔1〕四边形问题转化为三角形问题来处理．〔2〕梯形问题转化为三角形和平行四边形来处理．〔二〕代数法〔计算法〕代数法是用代数知识来解决几何问题的方法，也就是说运用几何定理、法那么，通过列方程、方程组或不等式及解方程、方程组、恒等变形等代数方法，把几何问题转化成代数问题来解决的方法．〔三〕变换思想即运用平移变换、旋转变换、对称变换等方法来构造图形解决几何问题．〔四〕应注意的几个问题〔1〕不能把判定方法与性质混淆，应加深对判定方法中条件的理解，重视判定方法中的根本图形，不要用性质代替了判别．解题时不能想当然，更不要无视重要步骤．〔2〕在判别一个四边形是正方形时，容易无视某个条件，致使判断失误，要防止这种错误的产生就必须认真熟记正方形的定义、特征